Контрольная работа по "Статистика". 59

 

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1.

Задание 1.

Имеются данные о численности наличного населения города А за 2001–2009 гг. (на начало года), тыс. чел.

2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
119	120	119	118	118,6	118	117,9	117,7	117,4

 

1. Постройте  прогноз численности наличного  населения города А на 2010-2011 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

2. Постройте  график фактического и расчетных  показателей.

3. Рассчитайте  ошибки полученных прогнозов  при использовании каждого метода.

4. Сравните полученные  результаты, сделайте вывод.

Решение

Скользящая средняя (n = 3):

m 2002 = (У2001 + У2002 + У 2003)/ 3 = (119+120+119)/3 =119,3

m 2003 = (У2002 + У2003 + У 2004)/ 3 = (120+119+118)/3 = 119

m 2004 = (У2003 + У2004 + У 2005)/ 3 = (119+118+118,6)/3 =118,5

m 2005= (У2004 + У2005 + У 2006)/ 3 = (118+118,6+118)/3 =118,2

m 2006 = (У2005 + У2006 + У 2007)/ 3 = (118,6+118+117,9)/3 =118,2

m 2007 = (У2006 + У2007 + У 2008)/ 3 = (118+117,9+117,7)/3 =117,8

m 2008 = (У2007 + У2008 + У 2009)/ 3 = (117,9+117,7+117,7)/3 =117,8

 

 

Таблица 1

Годы	Данные о численности наличного населения города А, тыс. чел. Уt	Скользящая средняя m	Расчет средней относительной ошибки |Уф – Ур| Уф * 100
2001	119	-	-
2002	120	119,3	0,58
2003	119	119	0
2004	118	118,5	0,42
2005	118,6	118,2	0,34
2006	118	118,2	0,17
2007	117,9	117,8	0,08
2008	117,7	117,8	0,08
2009	117,7	117,3	-
Итого			0,33
Прогноз
2010	117,8	117,755556
2011	117,766667	117,77037
2012	117,744444	117,758025
2013	117,762963	117,757202
2014	117,764198	117,761591
2015	117,757613	117,760402
2016	117,759396	117,759335
2017	117,760997	117,760087
2018	117,759869	117,760192
2019	117,759711

 

Рис. 1 График фактических до 2010 года и расчетных показателей с 2010 по 2019 год. (Составлено по таблице 1)

Прогноз на 2010 г.: У2010=117,8+(117,7-117,7)/3=117,8

m 2009 =(117,7+117,7+117,8)/3=117,3

Прогноз на 2011 г.: У2011=117,3+(117,8-117,7)/3=117,766667 и т.д. (Таблица 1).

Средняя относительная ошибка: ε=0,33/7=0,05

Метод экспоненциального сглаживания:

Значение параметра сглаживания: 2/(n+1)=2/(9+1)=0,2

Начальное значение Uo двумя способами:

1 способ (средняя  арифметическая): Uo = 1065,9/9 = 118,4

2 способ (принимаем  первое значение базы прогноза): Uo = 119

 

 

 

Таблица 2

Годы	Данные о численности наличного населения города А, тыс. чел.	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
	У t	1 способ	2 способ	1 способ	2 способ
2001	119	118,4	119	-0,47619048	0
2002	120	118,546667	119	-1,21111111	-0,8333333
2003	119	118,837333	119,2	-0,13669468	0,1680672
2004	118	118,869867	119,16	0,737175141	0,9830508
2005	118,6	118,695893	118,928	0,080854413	0,2765599
2006	118	118,676715	118,8624	0,573487006	0,7308475
2007	117,9	118,541372	118,68992	0,543996381	0,6699915
2008	117,7	118,413097	118,531936	0,605860142	0,7068275
2009	117,7	118,270478	118,365549	0,484688113	0,565462
Итого	1065,9	1067	1069	1,20206493	3,2674731
прогноз
2010		75,6200847	75,668761
2011		60,4960678	60,5350088

Рис. 2. График фактических и расчетных показателей экспоненциально взвешенных средних 1 и 2 способ. (Составлено по таблице 2)

Экспоненциально взвешенная средняя для каждого года:

U2001 = 117,8*0,2+(1-0,2) * 118,4=118,546667 1 способ

U2001 = 119*0,2+(1-0,2) * 119=119 2 способ

Средняя относительная ошибка:

ε = 1,2/9 = 0,13% (1 способ)

ε = 3,27/9 = 0,36% (2 способ)

Метод наименьших квадратов:

Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b

1. Находим параметры уравнения  методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑t = ∑y

a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

9a0 + 45a1 = 1065.9

45a0 + 285a1  = 5315.2

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = -0.24, a1 = 119.63

Уравнение тренда:

y = -0.24 t + 119.63

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = -0.24 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на -0.24.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Средние значения

 

 

 

Дисперсия

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора t с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1%.

 

 

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние t на Y не существенно.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

где

 

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма  высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t существенно влияет на y.

Коэффициент детерминации.

 

 

т.е. в 70.13% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

Таблица 3

t	y	t 2	y 2	t•y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t))2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
1	119	1	14161	119	119.39	0.32	0.15	16	0.0032
2	120	4	14400	240	119.15	2.45	0.73	9	0.0071
3	119	9	14161	357	118.91	0.32	0.008	4	0.0008
4	118	16	13924	472	118.67	0.19	0.45	1	0.0057
5	118.6	25	14065.96	593	118.43	0.0277	0.0277	0	0.0014
6	118	36	13924	708	118.2	0.19	0.038	1	0.0017
7	117.9	49	13900.41	825.3	117.96	0.28	0.0032	4	0.0005
8	117.7	64	13853.29	941.6	117.72	0.54	0.0003	9	0.0002
9	117.7	81	13853.29	1059.3	117.48	0.54	0.0483	16	0.0019
45	1065.9	285	126242.95	5315.2	1065.9	4.86	1.45	60	0.0224

2. Анализ точности определения  оценок параметров уравнения  тренда.

 

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

 

 

 

 

S a = 0.055

Доверительные интервалы для зависимой переменной

 

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (7;0.025) = 2.365

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 6

(119.63 -0.24*6 - 2.365*1.07 ; 119.63 -0.24*6 - 2.365*1.07)

(117.13;119.26)

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

 

m = 1 - количество  влияющих факторов в уравнении  тренда.

 

где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n-2.

3. Проверка гипотез относительно  коэффициентов линейного уравнения  тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

 

 

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

 

 

Статистическая значимость коэффициента b подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(-0.24 - 2.365•0.055; -0.24 + 2.365•0.055)

(-0.3684;-0.1083)

(b - t набл S b; b + t набл S b)

(119.63 - 2.365•0.31; 119.63 + 2.365•0.31)

(118.8932;120.3568)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

 

 

Fkp = 5.32

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

Проверка на наличие автокорреляции остатков.

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений   от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.

В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).

Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:

1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо  важной объясняющей переменной  либо неправильный выбор формы  зависимости обычно приводят  к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

2. Инерция. Многие  экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают  определенной цикличностью, связанной  с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

3. Эффект паутины. Во многих производственных и  других сферах экономические  показатели реагируют на изменение  экономических условий с запаздыванием (временным лагом).

4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают  усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к  определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод

Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения εi с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения εi (либо оценки отклонений).

Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости εi от εi-1

2. Коэффициент автокорреляции.

 

Если коэффициент автокорреляции rei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.

3. Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

Таблица 4

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
119	119.39	-0.39	0.15	0
120	119.15	0.85	0.73	1.53
119	118.91	0.09	0.0081	0.58
118	118.67	-0.67	0.45	0.58
118.6	118.43	0.17	0.0278	0.7
118	118.2	-0.2	0.038	0.13
117.9	117.96	-0.0567	0.0032	0.0191
117.7	117.72	-0.0183	0.0003	0.0015
117.7	117.48	0.22	0.0484	0.0568
			1.45	3.6

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

 

 

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 9 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:

d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 2.48 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует.

Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=9 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.08; d2 = 1.36.

Поскольку 1.08 < 2.48 и 1.36 < 2.48 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков отсутствует.

Проверка наличия гетероскедастичности.

1) Методом графического анализа  остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения ei, либо их квадраты e2i.

Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости, скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку ei и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d2.

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

 

Таблица 5

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
1	0.39	1	8	49
2	-0.85	2	1	1
3	-0.09	3	4	1
4	0.67	4	9	25
5	-0.17	5	3	4
6	0.2	6	7	1
7	0.0567	7	6	1
8	0.0183	8	5	9
9	-0.22	9	2	49
				140

 

Связь между признаком ei и фактором X  слабая и обратная

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

 

По таблице Стьюдента находим tтабл:

tтабл (n-m-1;α/2) = (7;0.05/2) = 2.365

Поскольку Tнабл < tтабл , то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента ранговой корреляции

r(-0.9331;0.5998)

Проверим гипотезу H0: гетероскедастичность отсутсвует.

Поскольку 2.365 > 0.45, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Проведем прогноз на 2010 и 2011 год.

Год	Фактические данные и прогноз
2001	119
2002	120
2003	119
2004	118
2005	118.6
2006	118
2007	117.9
2008	117.7
2009	117.7
Прогноз
2010	117,23
2011	116,99

 Рис. 3. График фактических и расчетных показателей методом наименьших квадратов

Теперь проведем сравнение результатов прогноза показателей проведенный тремя методами и который из них является самым точным методом прогнозирования.

Метод	Средняя относительная  ошибка
Скользящих средних	0,05%
Экспоненциальное сглаживание	1 способ = 0,13%. 2 способ – 0,36%
Наименьших квадратов.	0,25%

Таким образом,  наиболее точным методом прогнозирования численности наличного населения города А является метод скользящего среднего, у которого наблюдается наименьшая средняя относительная ошибка прогноза 0,05%, и который даст наиболее точный прогноз, чем остальные методы прогнозирования.

Задание 2.

 

Объем продажи плодоовощных консервов в городе

за 2006-2009 гг. (тыс.тонн)

Квартал	2006	2007	2008	2009
1-й	11,9	11,8	13,1	14,6
2-й	13,6	13,6	14,7	16,6
3-й	5,8	6,6	7,9	7,2
4-й	12,3	12,0	15,0	15,5

 

1. Постройте  график исходных данных и определите наличие сезонных колебаний.

2. Постройте  прогноз объема продажи плодоовощных  консервов в городе на 2010-2011 гг. с разбивкой по кварталам.

3. Рассчитайте  ошибку и доверительный интервал  прогноза.

Решение

I 1 = 110,2

I 2 = 109,1

I 3 = 122,2

I 4 = 55,9

У = 0,190х+10,39

Прогноз 2010 года

У1=15,01

У2=15,08

У3=17,1

У4=7,9

Прогноз 2011 года

У1=15,85

У2=15,9

У3=18

У4=8,4

Средняя относительная ошибка: 161/16=10,06%

Год	Квартал	Объем продажи плодоовощных консервов в городе Уф	Показатели сезонности
			4-квартальные суммы	обозначение времени				Объем продажи плодоовощных консервов в городе
				4-квартальные средние	Х^2	Уф*Х	Ур
					Центрированные средние	Показатели сезонности	Х
2006	1	11,9					1	1	11,9	10,58	11,092437
	2	13,6					2	4	27,2	10,77	20,8088235
	3	5,8		10,9			3	9	17,4	10,96	-88,9655172
	4	12,3	43,6	10,875	10,8875	53,272101	4	16	49,2	11,15	9,3495935
2007	1	11,8	43,5	10,875	10,875	113,103448	5	25	59	11,34	3,89830508
	2	13,6	43,5	11,075	10,975	107,517084	6	36	81,6	11,53	15,2205882
	3	6,6	44,3	11	11,0375	123,216308	7	49	46,2	11,72	-77,5757576
	4	12,0	44	11,325	11,1625	59,1265398	8	64	96	11,91	0,75
2008	1	13,1	45,3	11,6	11,4625	104,689204	9	81	117,9	12,1	7,63358779
	2	14,7	46,4	11,925	11,7625	111,370882	10	100	147	12,29	16,3945578
	3	7,9	47,7	12,675	12,3	119,512195	11	121	86,9	12,48	-57,9746835
	4	15,0	50,7	13,05	12,8625	61,4188533	12	144	180	12,67	15,5333333
2009	1	14,6	52,2	13,525	13,2875	112,888053	13	169	189,8	12,86	11,9178082
	2	16,6	54,1	13,35	13,4375	108,651163	14	196	232,4	13,05	21,3855422
	3	7,2	53,4	13,475	13,4125	123,765144	15	225	108	13,24	-83,8888889
		15,5	53,9	15,5	14,4875	49,6980155	16	256	248	13,43	13,3548387