Контрольная работа по "Статистике". 230

контрольная работа

по  курсу  «Статистика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

I. Задание на контрольную работу: 

Задание 1.

     На  основании исходных данных, необходимо:

1. Построить интервальный ряд распределения, определив величину интервала с помощью формулы Стерджесса.
2. Определить показатели центра распределения.
3. Вычислить показатели вариации.
4. Рассчитать показатели формы распределения.
5. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона (или Романовского)

 

     Задание 2.

     Считая  первые 4 значения первой строки исходных данных уровнями интервального временного ряда, определить показатели динамики. При расчете базисных показателей в качестве базы сравнения принять первый уровень ряда. 

     Задание 3.

     Считая  исходные данные 10%-ой простой случайной бесповторной выборкой определить:

1. Пределы, в которых будет находиться генеральное среднее значение признака для всей совокупности с доверительной вероятностью 0.954.  
2. Пределы в которых будет находиться генеральная доля единиц совокупности, обладающих значением признака большим или равным нижней границе 5-го интервала, с доверительной вероятностью 0.997.
3. Объем выборки, обеспечивающий получение среднего значения признака с предельной ошибкой не превышающей (σ/5), и вероятностью 0.954.

Исходные  данные:

Вариант № 41

 

 

II. выполнение контрольной работы

     Задание 1.

1. Построение интервального вариационного ряда распределения

      Ряд распределения – упорядоченное расположение единиц (элементов) изучаемой совокупности по группам в соответствии с  выбранным группировочным признаком.

      Ряд распределения представляет собой  таблицу, которая состоит из двух основных колонок. В первой указываются значения, которые принимает признак в изучаемой совокупности, а во второй – количество, того или иного значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке в виде интервалов «от - до».

      В некоторых случаях, в зависимости  от целей исследования, ряд распределения, состоящий из двух граф, иногда дополняется другими графами, необходимыми для вычисления отдельных статистических показателей.

     Для построения интервального ряда вначале  определяем размер интервала:

,

где x_max – максимальное значение признака в совокупности;

x_min - минимальное значение признака в совокупности;

m – число интервалов

Количество  интервалов определим с помощью  формулы Стерджесса:

,

где n – объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

      Количество  интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Для удобства дальнейших вычислений примем  m=6. Тогда размер интервала будет равен:

3,5.

      Определяем  границы интервалов. Нижняя граница первого интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем случае равна 0. Верхняя граница первого интервала равна нижней границе плюс размер интервала, т.е. 0+3,5=3,5. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, т.е. 3,5. Верхняя граница второго интервала равна нижней границе второго интервала плюс размер интервала, т.е. 3,5+3,5=7,0 и т.д. В итоге получаем границы для шести интервалов. Заносим границы интервалов в таблицу (табл. 1, колонка 2).

      Далее подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в тот или иной интервал и заносим это число в колонку «Частота». Сумма всех частот обязательно должна совпадать с объемом совокупности (в нашем случае со значением 50).

      Вычисляем частости, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности: 

;

;

;

и т. д.

                                                         Таблица 1.

Интервальный  ряд распределения

        

     Накопленная частота показывает сколько единиц изучаемой совокупности имеет значение признака не более чем некоторое заданное. Она вычисляется по формуле:

 

;

;

 и т. д.

      Последнее значение накопленной частоты должно быть равно объему совокупности.

      Плотность распределения показывает сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

 и т.д. 

      Строим  графические изображения ряда распределения. 

Рис. 1. Структурная  диаграмма 

Рис.2. Полигон  распределения

Рис. 3. Гистограмма распределения 

Рис. 4. Кумулятивная кривая 

2. Определение показателей центра распределения

 

      К показателям центра распределения  относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

       

      Средняя арифметическая

где x_i –середина i-го интервала.

Для расчета  используем таблицу:

11,27

      Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

      Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 20 до 27,5 (3-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

     - размер  модального интервала;

     - частота  модального интервала;

     - частота  интервала, предшествующего модальному;

     - частота  интервала, следующего за модальным. 

9,258

      Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряда на две равные по численности части.

      Для нахождения медианы по интервальному  ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 7 до 10,5 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

      Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

     - размер  медианного интервала;

     - частота  медианного интервала;

     - накопленная  частота интервала, предшествующего  медианному. 

9,870 

3. Определение показателей вариации

 

     Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

     Для характеристики изменчивости отдельных  значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации.   

     Абсолютные  показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

 

      Относительные показатели вариации: 

      Коэффициент осцилляции

 

      Относительное линейное отклонение

 

      Коэффициент вариации

      Поскольку коэффициент вариации больше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является не однородной.

       

4. Определение показателей формы распределения

 

      Показатель  асимметрии

      На  основе показателя асимметрии могут быть сделаны следующие выводы.

      Если  As < 0, то асимметрия левосторонняя, а если As > 0 – то правосторонняя.

      Если |As|<0.25, то асимметрия незначительная (несущественная), т.е. распределение может быть признано симметричным.

      Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

      В нашем случае асимметрия правосторонняя, значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным..

       

       

      Показатель эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

 -0,118

      Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное. 

5. Проверка  соответствия эмпирического  распределения нормальному закону

 

      Теоретические частоты для нормального распределения  вычисляются по формуле

15,922

Таблица 2

Вычисление  теоретических частот

 

      По  результатам вычислений строим график (рис. 5).

 

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое распределения 

      Для проверки соответствия эмпирического  и теоретического распределений будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

      Применение  критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

      1)  число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

      2) теоретические частоты в интервалах  должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для первых двух и последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов – первого, второго и третьего, последнего и предпоследнего. Таким образом, из 6 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 3.

                                                         Таблица 3

Расчет критерия Пирсона 
 
 
 

 

      Применение  критерия согласия Пирсона требует  использования специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

      m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* = 3);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=3-2-1=0;

Так как  число степеней свободы получилось равным 0, следовательно применение критериев Пирсона и Романовского невозможно, и сделать вывод о соответствии нормальному распределению нельзя. Необходимо увеличить число интервалов.

 

      Задание 2. 

      Ряд динамики (временной ряд) – значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй – значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

      Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4. 

                                                         Таблица 4

Временной ряд

       

      Для анализа временных рядов используются специальные показатели, которые  называются показателями динамики. Существует два способа расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики y_i сравнивается с базисным уровнем y₀. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 5). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда y_i сравнивается с предыдущим y_i-1. 

      1. Абсолютные приросты

      а) базисные

;

;

;

      б) цепные

;

;

. 

      2. Коэффициенты роста

      а) базисные

0,5;

0,5;

0,35;

      б) цепные  

0,5;

1,0;

0,7. 

      3. Темпы роста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные 

;

;

. 

      4. Темпы прироста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные

;

;

. 

      5. Абсолютное значение одного процента прироста

;

;

;

. 

      6. Средний уровень интервального ряда динамики, состоящего из абсолютных величин, определяется по формуле средней арифметической

,

где k – число уровней ряда динамики. 

      7. Средний абсолютный  прирост

. 

      8. Средний коэффициент  роста