Контрольная работа по "Статистике". 446

Контрольная работа 2.

 

Задача 1.

В течении трех лет  использовались 4 различные технологии по выращиванию сельскохозяйственной культуры. Данные по эксперименту ( в  ц/га) приведены в таблице:

№ Год	Технология (фактор А)
	А1	А2	А3	А4
1	6,7	5,9	6,2	5,9
2	6,4	6,0	6,4	6,3
3	6,6	6,1	6,0	6,0

Установить на уровне значимости 0,05 влияние различных  технологий на урожайность культуры.

 

Решение

 

Находим групповые средние:

 

N	А1	А2	А3	А4
1	6.7	5.9	6.2	5.9
2	6.4	6	6.4	6.3
3	6.6	6.1	6	6
xср	6.57	6	6.2	6.07

 

Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=3.

В последней строке помещены групповые  средние для каждого уровня фактора.

Общую среднюю можно получить как  среднее арифметическое групповых средних:

 

На разброс групповых средних  процента отказа относительно общей  средней влияют как изменения  уровня рассматриваемого фактора, так  и случайные факторы.

Для того чтобы учесть влияние данного  фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной S²_ф, а вторая - остаточной S²_ост.

С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма  квадратов отклонений вариант от общей средней:

 

и факторная сумма  квадратов отклонений групповых  средних от общей средней, которая  и характеризует влияние данного  фактора:

 

Последнее выражение  получено путем замены каждой варианты в выражении R_общ групповой средней для данного фактора.

Остаточная сумма квадратов  отклонений получается как разность:

R_ост = R_общ - R_ф

Для определения общей  выборочной дисперсии необходимо R_общ разделить на число измерений pq:

 

а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq/(pq-1):

 

Соответственно, для несмещенной  факторной выборочной дисперсии:

 

где p-1 - число степеней свободы несмещенной факторной  выборочной дисперсии.

С целью оценки влияния  фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина:

 

Так как отношение  двух выборочных дисперсий S²_ф и S²_ост распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение f_набл сравнивают со значением функции распределения

 

в критической точке f_кр, соответствующей выбранному уровню значимости a.

Если f_набл>f_кр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.

Для расчета R_набл и R_ф могут быть использованы также формулы:

 

 

Находим общую среднюю  по формуле (1):

Для расчета Rобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:

N	П21	П22	П23	П24
1	44.89	34.81	38.44	34.81
2	40.96	36	40.96	39.69
3	43.56	37.21	36	36
∑	129.41	108.02	115.4	110.5

Общая средняя вычисляется  по формуле (1):

 

R_общ  = 129.41 + 108.02 + 115.4 + 110.5 - 3 • 4 • 6.21² = 0.81

Находим R_ф по формуле (5):

R_ф = 3(6.57² + 6² + 6.2² + 6.07²) - 4 • 6.21² = 0.58

Получаем R_ост: R_ост = R_общ - R_ф = 0.81 - 0.58 = 0.23

Определяем факторную и остаточную дисперсии:

 

 

Если средние значения случайной величины, вычисленные  по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий  являются несмещенными оценками генеральной  дисперсии и различаются несущественно.

Тогда сопоставление  оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую  гипотезу о равенстве факторной  и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.

Оценка факторной дисперсии  больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.

Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину.

Проверим нулевую гипотезу H₀: равенство средних значений х.

Находим f_набл

 

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 8 находим f_кр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.

f_кр(0.05; 3; 8) = 4.07

В связи с тем, что  f_набл > f_кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

Распределение 100 предприятий  по уровню механизации х (в %) и выпуску  продукции У (млн.руб.) дано в таблице:

 

У\Х	4	9	14	19	24	29	Итого
30	3	3					6
40		5	4				9
50			40	2	8		50
60			5	10	6		21
70				4	7	3	14
Итого	3	8	49	16	21	3	100

 

Необходимо:

1. построить эмпирические линии регрессии
2. найти уравнения прямых регрессии, построить их графики
3. вычислить выборочный коэффициент корреляции и оценить его значимость
4. найти интервальные оценки для генеральных коэффициентов регрессии.

 

Решение

 

Найдем условные средние  воспользовавшись формулами:

Получаем:

Для Х:

Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

С помощью таблиц находим  общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения:

Х	nx	x*nx	x2*nx	yx	x*nx*yx
4	3	12	48	30	360
9	8	72	648	36,25	2610
14	49	686	9604	50,2	34437,2
19	16	304	5776	61,25	18620
24	21	504	12096	59,52	29998,08
29	3	87	2523	70	6090
сумма	100	1665	30695		92115,28

 

 

 

 

 

Y	ny	y*ny	y2*ny	xy	y*ny*xy
30	6	180	5400	6,50	1170
40	9	360	14400	11,22	4039,2
50	50	2500	125000	15,8	39500
60	21	1260	75600	19,24	24242,4
70	14	980	68600	23,64	23167,2
	100	5280	289000		92118,8

 

Тогда коэффициент корреляции равен:

Связь является высокой, прямой.

 

Находим линейное уравнение регрессии У на Х:

 

Аналогично находим  уравнение регрессии X поY:

 

 

 

 

 

Графики уравнений регрессии:

 

 

 

 

Задание 3.

Имеются данные о младенческой смертности Х1, заболеваемости злокачественными новообразованиями Х2 (на 100000 чел.населения) и уровне техногенной нагрузки У (в %) по 6 районам:

№	Х1	Х2	У
1	8	206	10
2	11	210	12
3	12	212	15
4	9	184	11
5	20	302	30
6	22	230	25

 

Необходимо:

1. найти парные, частные и множественный R коэффициенты корреляции между переменными
2. оценить их значимость.

 

Решение

 

Матрица парных коэффициентов корреляции.

Число наблюдений n = 6. Число  независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с  учетом единичного вектора равно  числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (6 х 4). Матрица Х^T Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.

Матрица составленная из Y и X

 

1	10	8	206
1	12	11	210
1	15	12	212
1	11	9	184
1	30	20	302
1	25	22	230

 

Транспонированная матрица.

 

1	1	1	1	1	1
10	12	15	11	30	25
8	11	12	9	20	22
206	210	212	184	302	230

 

Матрица A^TA.

 

6	103	82	1344
103	2115	1641	24594
82	1641	1294	19258
1344	24594	19258	309440

 

Полученная матрица  имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2

 

Найдем парные коэффициенты корреляции.

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi
Для y и x1	82	13.67	103	17.17	1641	273.5
Для y и x2	1344	224	103	17.17	24594	4099
Для x1  и x2	1344	224	82	13.67	19258	3209.67

 

 

 

 

Признаки  x и y					Коэф кор
Для y и x1	28.89	57.81	5.37	7.6	0.95
Для y и x2	1397.33	57.81	37.38	7.6	0.89
Для x1  и x2	1397.33	28.89	37.38	5.37	0.74

 

Матрица парных коэффициентов  корреляции.

-	y	x1	x2
y	1	0.95	0.89
x1	0.95	1	0.74
x2	0.89	0.74	1

 

Частные коэффициенты корреляции.

Коэффициент частной  корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что  он измеряет парную корреляцию соответствующих  признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи сильная

 

Множественный коэффициент корреляции:

Связь является высокой.

 

 

Значимость  коэффициента корреляции.

 

По таблице Стьюдента  находим Tтабл

T_крит(n-m-1;α/2) = (3;0.025) = 3.182

 

Наблюдаемое значение больше критического, поэтому коэффициент  множественной корреляции статистически  значим.

 

 

 

Задание 4.

Два контролера расположили 10 объектов в порядке улучшения  их качества:

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
У	1	2	10	3	6	5	7	9	4	8

 

Вычислить ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла и оценить  их значимость на уровне 0,05.

 

Решение

 

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку Y и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d².

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

 

X	Y	ранг X, dx	ранг Y, dy	(dx - dy)2
1	1	1	1	0
2	2	2	2	0
3	10	3	10	49
4	3	4	3	1
5	6	5	6	1
6	5	6	5	1
7	7	7	7	0
8	9	8	9	1
9	4	9	4	25
10	8	10	8	4
сумма				82

 

 

Связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая.

 

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Для того чтобы при  уровне значимости α проверить нулевую  гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе H_i. p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:

 

где n - объем выборки; p - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.

Если |p| < Т_kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| > T_kp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

 

По таблице Стьюдента  находим t(α, k):

t(α, k) = (8;0.05) = 1.86

Поскольку T_kp > p, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая.

 

Коэффициент Кендэла.

 

Упорядочим данные по X.

В ряду Y справа от 1 расположено 9 рангов, превосходящих 1, следовательно, 1 породит в Р слагаемое 9.

Справа от 2 стоят 8 ранга, превосходящих 2 (это 10, 3, 6, 5, 7, 9, 4, 8), т.е. в Р войдет 8 и т.д. В итоге Р = 32 и с использованием формул имеем:

X	Y	ранг X, dx	ранг Y, dy	P	Q
1	1	1	1	9	0
2	2	2	2	8	0
3	10	3	10	0	7
4	3	4	3	6	0
5	6	5	6	3	2
6	5	6	5	3	1
7	7	7	7	2	1
8	9	8	9	0	2
9	4	9	4	1	0
10	8	10	8	0	0
сумма				32	13

 

 

Для того чтобы при  уровне значимости α проверить нулевую  гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н₁: τ ≠ 0,надо вычислить критическую точку:

 

где n - объем выборки; z_kp - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству Ф(z_kp)=(1 — α)/2.

Если |τ| < T_kp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначима. Если |τ| > T_kp — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Найдем критическую точку z_kp

Ф(z_kp) = (1 - α)/2 = (1 - 0.05)/2 = 0.475

По таблице Лапласа  находим z_kp = 1.96

Найдем критическую  точку:

 

Так как τ < T_kp — принимаем нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая.