Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Концепция максимизации полезности и ее использование в процессе разработки и принятия управленческого решения

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет»

ГОУ ВПО «ЧелГУ»

Факультет заочного и дистанционного обучения

Кафедра ГМУ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Разработка управленческих решений

Тема: «Концепция максимизации полезности и ее использование в процессе разработки и принятия управленческого решения»

Выполнил:
Студент гр. 15МПС-201

Ештокин О.И.

Проверил:

Жигарь О.В.

Преподаватель

Челябинск 2012 г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………...3

1. Сущность концепции максимизации полезности……………………5

2. Алгоритм построения функции полезности……………...................11

3. Разработка и принятие решений в условиях риска и неопределенности с условием максимизации полезности……………………15

Заключение………………………………………………………………23

Список используемых источников и литературы……………………..24

Введение

Актуальность темы исследования определяется тем, что в настоящее время все большую популярность приобретает использование концепции максимизации полезности при принятии управленческих решений.

Теория принятия решений – это научная дисциплина, состоящая в исследовании того, как человек принимает решения, и в разработке специальных методов принятия решений, помогающих обосновать выбор наилучшего варианта из нескольких возможных.

Теорию принятия решений можно разделить на две относительно независимые части: описательную (дескриптивную) и предписывающую (прескриптивную). Первая описывает реальное поведение и мышление людей в процессе принятия решений и называется психологической теорией решения. Вторая составляющая предписывает людям, как им следует принимать решения и называется нормативной теорией.

Нормативная теория решений – это система методов, обеспечивающих поддержку принятия решений. Эти методы «Организуют» мышление человека и предписывают ему, как следует себя вести в процессе принятия решения. В настоящее время разработано большое число разнообразных методов и процедур, помогающих людям разобраться в сложной ситуации, грамотно поставить цели, ограничения и принять решения. Нормативная теория базируется на двух концепциях: концепция полезности и концепция рациональности.

Цель работы – изучить теоретические основы максимизации полезности и учет их при принятии и разработке управленческих решений.

Основные задачи работы:

- рассмотреть сущность концепции максимизации полезности в теории принятия решений;

- описать алгоритм построения функции максимизации полезности при принятии управленческих решений;

- рассмотреть практический пример принятия управленческих решений в условиях риска и неопределенности при условии максимизации полезности.

1. Сущность концепции максимизации полезности

В большинстве случаев предполагается, что ЛПР желает максимизировать ожидаемый денежный выигрыш или минимизировать ожидаемый денежный проигрыш. Однако иногда этот критерий не будет верным и нам понадобится сформулировать более подходящий критерий. Для того, чтобы проиллюстрировать, почему для ЛПР не всегда приемлем критерий максимизации ожидаемого денежного выигрыша, рассмотрим следующую ситуацию.

Предположим, что ЛПР должен сделать выбор из следующих двух альтернатив:

• получить 1 000 000 руб наверняка;

• игра, в которой с вероятностью 0,5 ЛПР выигрывает 2 100 000 руб, либо же вероятностью 0,5 проигрывает 50 000 руб.

Для того, чтобы сделать рациональный выбор из двух предложенных альтернатив, необходимо рассчитать ожидаемый денежный выигрыш для игры и сравнить полученные результаты.

Ожидаемый доход от второй альтернативы составит:

0,5 (2 100 000) + 0,5 (-50 000) = 1 025 000 руб.

Если использовать критерий максимизации ожидаемого денежного выигрыша, ЛПР должен предпочесть игру, а не получение суммы 1 млн. руб наверняка. Однако большинство людей в этой ситуации, видимо, предпочтут гарантированность выигрыша первой альтернативы, даже несмотря на то, что больший ожидаемый выигрыш соответствует игре, представленной второй альтернативой. Напротив, в этой ситуации вполне вероятно, что президент крупной фирмы может предпочесть альтернативу 2. Следовательно, на выбор предпочтительного управленческого решения влияет не только размер ожидаемого дохода от операции, но и отношение субъекта к риску.

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что доход брокера может быть получен двумя способами: 15 000 руб в виде фиксированного заработка либо получение дохода от пакета акций с разбросом величины дохода от 10 000 руб до 30 000 руб. Вероятность альтернатив получения дохода от пакета акций составляет 0,5. Функция полезности, отражающая соотношение уровня полезности и уровня дохода для рассматриваемых вариантов, представлена на рис.1.

Приведенный рисунок показывает, что уровень полезности растет с 10 до 18 единиц по мере роста дохода с 10 000 руб. до 30 000 руб. При этом предельная полезность постепенно уменьшается.

Чтобы оценить новый пакет акций, брокер может подсчитать ожидаемую величину конечного дохода. Ожидаемая полезность является суммой полезностей, связанных со всеми возможными результатами, взвешенных на вероятность каждого из результатов. В данном случае для пакета акций она составит:

Е(и) = 0,5-10 000 + 0,5-30 000 = 0,5-10 + 0,5-18 = 14.

Рис. 1. Соотношение дохода и полезности

Новый пакет акций, связанный с риском, является, таким образом, более предпочтительным, чем стабильный заработок, так как ожидаемая полезность 14 больше полезности 13 единиц, соответствующей доходу в 15 000 руб.

Люди различаются по своей готовности пойти на риск. Некоторые не хотят рисковать, некоторым это нравится, а иные к риску безразличны.

Человек, который предпочитает стабильный доход акциям, связанным с риском, является не расположенным к риску. Для него характерна низкая предельная полезность дохода. Не расположенность к риску — наиболее распространенный случай. Доказательство тому — огромное число ситуаций, при которых люди страхуются /5, с.118/. Множество людей не только заключают договоры по страхованию жизни, здоровья, автомобиля, но также ищут работу с относительно стабильной заработной платой, вкладывают деньги в наиболее стабильные ценные бумаги.

Рис. 1 иллюстрирует не расположенность человека к риску. Предположим, что он может выбирать ценные бумаги со стабильным доходом 20 000 руб или пакет, состоящий из акций с доходом 30 000 руб и вероятностью 0,5, акции с доходом в 10 000 руб и вероятностью 0,5. В этом случае средний ожидаемый доход от владения пакетом рисковых акций составляет 20 000 руб Ожидаемая полезность пакета акций равна 14 (расчет приведен выше) и обозначена на рис. 1 точкой Е. Затем сравнивается ожидаемая полезность акций, связанных с риском, с полезностью стабильного дохода в 20 000 руб. Уровень полезности стабильного дохода составляет 16 и на рис. 1 обозначен точкой Д. Очевидно, что ожидаемая полезность стабильного дохода на 2 единицы больше, чем полезность от пакета акций, связанных с риском. Следовательно, такой вид функции полезности характеризует негативное отношение человека к риску.

Человеку, нейтрально относящемуся к риску, безразлично, получать ли стабильный доход или купить акций с неопределенным доходом. В этом случае ожидаемая полезность от этих двух вариантов должна быть одинакова.

На рис. 2 ожидаемая полезность, связанная с акциями, дающими доход 10 000 или 30 000 руб с одинаковой вероятностью 0,5, составляет 12, тогда как и ожидаемая полезность при получении стабильного дохода в 20 000 руб равна тоже 12.

Е(и) = 0,5 -10 000 + 0,5 -30 000 = 0,5- (8) + 0,5 -(18) =12;

Е(20 000) = 12; 12 = 12.

Свидетельством расположенности к риску является, прежде всего, то, что многим-людям нравится предпринимательство. Некоторые криминалисты могут также характеризовать ряд уголовников как любителей риска, особенно когда грабеж сулит относительно высокую добычу, а угроза наказания невелика. Оставив эти особые случаи в стороне, можно утверждать, что очень немногие люди расположены к риску, в особенности в отношении крупных покупок или больших размеров дохода или ущерба.

Рис. 3 отражает расположенность к риску. В данном случае ожидаемая полезность дохода от владения пакетом акций выше, чем полезность стабильного дохода. В числовом выражении это выглядит следующим образом:

Е(и) = 0,5-10 000 + 0,5-30 000 = 0,5 -(3) + 0,5-(18) = 0,5;

Е(20000) = 8,8 < 10,5.

Рисунки, иллюстрирующие вид функции полезности для различных по отношению к риску категорий людей, построены с использованием аксиом Неймана — Моргенштерна. Данные аксиомы были сформулированы Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном более 50 лет тому назад и характеризуют элементы рационального поведения субъекта. Рассмотрим содержание наиболее широко используемых аксиом.

Аксиома транзитивности Неймана — Моргенштерна предполагает, что предпочтения ЛПР являются транзитивными /3, с.87/.

Например, если Вы предпочитаете исход А исходу В, а исход В исходу С, то можно сделать вывод, что вы предпочитаете исход А исходу С. Аксиома транзитивности играет важную роль в теории потребительского поведения.

Аксиома безразличия утверждает, что если имеется три возможных исхода — А, В и С и если ЛПР предпочитает исход А исходу В, а исход В — исходу С, то должна существовать такая вероятность Р, что для ЛПР следующие две альтернативы будут иметь одинаковую ценность:

1) получить В наверняка;

2) игра, в которой ЛПР выигрывает А с вероятностью Р, либо выигрываете с вероятностью (1 — Р).

Значение вероятности может быть больше или меньше, однако это не имеет принципиального значения. Важно то, что существует определенное значение Р, при котором для ЛПР будет безразлично: либо принять участие в игре, в которой можно выиграть А или С, либо получить выигрыш В.

Аксиома независимости утверждает, что если выигрыши А и В имеют для ЛПР одинаковую ценность, то одинаковую же ценность будут иметь для ЛПР два идентичных лотерейных билета, отличающихся лишь тем, что первый предлагает в качестве выигрыша А, а второй — В.

Аксиома рациональности предполагает, что ЛПР, которому предложено два лотерейных билета с идентичными призами, выберет билет с большей вероятностью выигрыша /4, с.118/.

Хотя кое-кто из статистиков и экономистов оспаривает некоторые из этих аксиом, большинство специалистов рассматривают их как достаточно разумные допущения, позволяющие строить теорию выбора решения в условиях неопределенности. Важно отметить, однако, что не предполагается, что действия всех индивидуумов при выборе решения соответствуют всем этим аксиомам. Даже если человек согласен со всеми этими аксиомами, он может ошибаться либо совершать нерациональные поступки. Данная теория показывает, как люди должны принимать решения, чтобы эти решения согласовывались с их предпочтениями, однако это не всегда соответствует тому, что менеджеры принимают на практике.

2. Алгоритм построения функции полезности

Функция полезности отражает предпочтения ЛПР по отношению к риску, а ее построение осуществляется в два этапа.

На первом этапе выбирается наилучшее и наихудшее значение исхода, выраженное в денежной форме. Полезность лучшего исхода устанавливается большей величиной, чем полезность худшего. Зачастую полезность самого плохого исхода устанавливается равной нулю, а полезность наилучшего исхода приравнивается единице.

Практической иллюстрацией применения статистической теории принятия решений в условиях неопределенности и риска является задача "обработки" ураганов. В начале 70-х годов Стэнфордский исследовательский институт в США анализировал эту проблему по заказу министерства торговли США и для определения наиболее целесообразного решения использовал деревья решений /2, с.94/.

Министерство торговли (ЛПР) должно сделать выбор между двумя возможными курсами действий — "засевать" ураган (т. е. обработать ураган с помощью специальных химических веществ, сбрасываемых с самолета) или его не "засевать". На рис. 4 дерево решений представляет собой вилку решений с двумя ветками, одна из которых соответствует решению "засевать" ураган, а вторая — решению не "засевать" ураган. Если правительство выбирает ветку, соответствующую "засеванию", то далее исход определяет вилка шанса с пятью ветками, соответствующими значительному увеличению, умеренному увеличению, неизменному, умеренному уменьшению или значительному уменьшению скорости ветра в эпицентре урагана. Имущественный Ущерб, соответствующий каждому из этих исходов, показан на правом конце каждой из этих веток. То, какой именно из этих исходов реализуется на практике, определяется "шансом".

Вероятности каждого из этих исходов проставлены в скобках возле стоимости ущерба. Если же правительственное ведомство выбирает нижнюю ветку дерева решений, соответствующую решению не "засевать" ураган, то далее возможны те же пять исходов. Имущественный ущерб, соответствующий каждому из этих исходов, а также их вероятности проставлены на правом конце из веток.

Для определения оптимального решения в случае "засевать" или не "засевать" ураган статистики Стэнфордского института вычислили ожидаемую стоимость ущерба в вершине вилки шанса, соответствующей "засеванию" и не "засеванию" урагана /2, с.106/.

По данным первого варианта, ущерб составил

0,038 (336.05)+0,143 (191,35)+0,392 (100,25)+0,255 (46,95)+

+0,172(16,55)= 94,31 млн долл.

По данным второго варианта —

0,054 (335,8) +0,206 (191,0)+0,480 (100,0) + 0,206 (46,7) +

+0,54 (16,3) = 116,0 млн долл.

Анализ полученных результатов позволил сделать однозначный вывод — целесообразнее проводить "засевание" ураганов с целью снижения ущерба от проводимых ими разрушений.

В задаче про ураганы, например, можно установить полезность наихудшего исхода, соответствующего наибольшему возможному ущербу, т. е. U(-336,05), равной нулю, а полезность наилучшего исхода U(-16,3), т. е. самого маленького ущерба, равной единице. Надо отметить, что конечные результаты анализа не зависят от того, какие численные значения полезности были выбраны, до тех пор, пока полезность лучшего исхода выбрана больше полезности худшего. Таким образом, можно, например, установить полезность U(-336,05), равной 4, а полезность U(-16,3), равной 10.

Второй этап является более сложным. Необходимо предоставить ЛПР выбор между двумя альтернативами. Первая альтернатива представляет собой определенное значение денежного выигрыша, который ЛПР может получить наверняка. Вторая альтернатива представляет собой игру с двумя возможными исходами, полезности которых заданы нами произвольно на первом этапе, предположим, например, что мы хотим определить значение U(-91,1). Тогда мы должны задать ЛПР следующий вопрос: предпочитает ли он определенность потери, оцениваемой в 191,1 млн. долл., игру, в которой потеря составляет 16,3 млн. долл. с вероятностью Р, а потеря в 336,05 млн. долл. с вероятностью (1-Р), Задача ЛПР состоит в том, чтобы определить значения Р, при котором для ЛПР потеря в 191,1 млн. долл. и игра будут иметь одинаковую полезность. Предположим, что значение Р для условий данной задачи равно 0,45, тогда ожидаемая полезность потери в 191,1 млн. долл. равна ожидаемой полезности этой игры, т.е.

U (-191,1) = (1-Р) U (-336,05) + РU (-16,3),

U (-191,1) = 0,55 U (-336,05) + 0,45 U (-16,3).

Поскольку установлено, что полезность U(-336,05) равна нулю а полезность U(-16,3) равна единице, то полезность U(-191,1) равна 0,45. Аналогичным образом можно найти U(-100,0), U(-46,7) другие значения полезностей, которые необходимо знать для определения ожидаемой полезности "обработки" урагана. Например, полезность ущерба 100 млн. долл. равна:

U(-100,0) = 0,26 U (-336,05) +0,74 U (-16,3)= 87,49 + 12,06 = 99,55.

Поскольку U(-336.05) равно нулю, а и U(-16.3) равно единице, то это означает, что U(-100.0) равна 0,74.

Функцию полезности ЛПР можно представить в виде графика отображающего значения уровня полезности, которые ЛПР приписывает тому или иному количественному значению денежного выигрыша или потери. По виду графика функции полезности можно судить о склонности ЛПР к риску.

3. Разработка и принятие решений в условиях риска и неопределенности с условием максимизации полезности

Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать четыре культуры: С1, С2, С3 и С4. Необходимо принять решение, как сеять культуры, если урожай зависит от погоды.

План посева должен обеспечить максимальную прибыль, а планирование должно осуществляться с учетом погоды.

Стратегии природы (вероятность исхода):

В1 – засушливое лето (0,1);

В2 – нормальное лето (0,55);

В3 – дождливое лето (0,35).

В распоряжении менеджера девять стратегий:

Все поля засеять культурой С1 в этом случае прибыль составит 11 у.е. при засушливой погоде, 9 у.е. при нормальной и 7 при дождливой погоде.
Все площади засеять культурой С2. В этом случае прибыль соответственно составит 10 у.е., 12 у.е., 9 у.е.
Все площади засеять культурой С3. В этом случае прибыль составит 8у.е., 10 у.е., 12,2 у.е.
Все площади засеять культурой С4. В этом случае прибыль составит 6у.е., 9 у.е., 13 у.е.
Под все культуры выделить равные доли засеваемой площади, т.е. под каждую культуру выделить 25% посевных площадей. – 0,25*С1 + 0,25*С2 +0,25*С3 +0,25*С4. В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,25*11+0,25*10+0,25*8+0,25*6=8,75 (у.е.)

При нормальной погоде 0,25*9+0,25*12+0,25*10+0,25*9=10 (у.е.)

При дождливой погоде 0,25*7+0,25*9+0,25*12,2+0,25*13=10,3 (у.е.)

Под культуру С1 выделить 40% посевных площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,4*С1 + 0,2*С2+ 0,2*С3 +0,2*С4. Величина прибыли в этом и последующих вариантах определяется аналогично предыдущему пункту, т.е. пропорционально площадям засеваемым культурам Ск.

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,4*11+0,2*10+0,2*8+0,2*6=9,2 (у.е.)

При нормальной погоде 0,4*9+0,2*12+0,2*10+0,2*9=9,8 (у.е.)

При дождливой погоде 0,4*7+0,2*9+0,2*12,2+0,2*13=9,64 (у.е.)

Под культуру С2 выделить 40% площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,2*С1 + 0,4*С2 +0,2*С3 +0,2*С4

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,2*11+0,4*10+0,2*8+0,2*6=9 (у.е.)

При нормальной погоде 0,2*9+0,4*12+0,2*10+0,2*9=10,4 (у.е.)

При дождливой погоде 0,2*7+0,4*9+0,2*12,2+0,2*13=10,04 (у.е.)

Под культуру С3 выделить 40% площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,2*С1 + 0,2*С2 +0,4*С3 +0,2*С4

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,2*11+0,2*10+0,4*8+0,2*6=8,6 (у.е.)

При нормальной погоде 0,2*9+0,2*12+0,4*10+0,2*9=10 (у.е.)

При дождливой погоде 0,2*7+0,2*9+0,4*12,2+0,2*13=10,68 (у.е.)

Под культуру С4 выделить 40% площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,2*С1 + 0,2*С2 +0,2*С3 +0,4*С4

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,2*11+0,2*10+0,2*8+0,4*6=8,2 (у.е.)

При нормальной погоде 0,2*9+0,2*12+0,2*10+0,4*9=9,8 (у.е.)

При дождливой погоде 0,2*7+0,2*9+0,2*12,2+0,4*13=10,84 (у.е.)

Для анализа альтернативных решений составим матрицу эффектов (результатов, дохода, прибыли), элементы которой определяются для каждой альтернативы при различных погодных условиях.

Перейдем к «платежной» матрице игры, которую будем называть матрицей эффектов.

Таблица 1

Матрица эффектов и критерии выбора

	Стратегии природы Pj			Критерии выбора
i/j	1	2	3	4	5	6	7
Альтернативы	Р1	Р2	Р3	maximaxj	maximinj	Лаплас	Б-Лаплас
1	11	9	7
2	10	12	9
3	8	10	12,2
4	6	9	13
5	8,75	10	10,3
6	9,2	9,8	9,64
7	9	10,4	10,04
8	8,6	10	10,68
9	8,2	9,8	10,84
Рекомендуемая альтернатива

1. Макси-максный критерий

Найдем максимум выигрыша по формуле:

Ем = maxi maxj eij

Таблица 2

Максимальный критерий

	Стратегии природы Pj			Критерии выбора
i/j	1	2	3	4	5	6	7
Альтернативы	Р1	Р2	Р3	maximaxj	maximinj	Лаплас	Б-Лаплас
1	11	9	7	11
2	10	12	9	12
3	8	10	12,2	12,2
4	6	9	13	13
5	8,75	10	10,3	10,3
6	9,2	9,8	9,64	9,8
7	9	10,4	10,04	10,4
8	8,6	10	10,68	10,68
9	8,2	9,8	10,84	10,84
Рекомендуемая альтернатива				4

Согласно этому критерию, т.е. когда лицо, принимающее решение, полностью оптимистично, то наиболее подходящей стратегией является под культуру С4 выделить 100% посевных площадей при дождливой погоде.

2. Критерий Уолда

Найдем минимум выигрыша по формуле:

Еу = maxi minj e ij

Таблица 3

Критерий Уолда

	Стратегии природы Pj			Критерии выбора
i/j	1	2	3	4	5	6	7
Альтернативы	Р1	Р2	Р3	maximaxj	maximinj	Лаплас	Б-Лаплас
1	11	9	7	11	7
2	10	12	9	12	9
3	8	10	12,2	12,2	8
4	6	9	13	13	6
5	8,75	10	10,3	10,3	8,75
6	9,2	9,8	9,64	9,8	9,2
7	9	10,4	10,04	10,4	9
8	8,6	10	10,68	10,68	8,6
9	8,2	9,8	10,84	10,84	8,2
Рекомендуемая альтернатива				4	4

Концепция максимизации полезности и ее использование в процессе разработки и принятия управленческого решения 📙 Контрольная → 🆔 79978