Закупка пирожных

     Владельцу торговой точки по продаже кондитерских изделий в начале каждого дня необходимо решить вопрос: сколько пирожных следует иметь в запасе, чтобы удовлетворить спрос? Каждое пирожное приобретается по Ц₁=0,5 долл., а продается по Ц₂=1,2 долл. Продать невостребованные пирожные на следующий день невозможно, поэтому остаток распродается в конце дня по Ц₃=0,2 долл. за штуку.  

Таблица 1

     Нужно определить, сколько пирожных должно быть закуплено в начале каждого  дня. 

     Решение:

     В начале дня можно закупить для  последующей продажи 1, 2, 3, 4 или 5 пирожных в день. Проблема заключается в  неопределённости исходов, так как  покупатели определяют их сами конкретным спросом на пирожные каждый день.

     Чтобы разрешить эту проблему, вначале  составим матрицу возможных исходов и затрат в день. По строкам расположим возможные решения о количествах закупаемых для продажи пирожных в день, по столбцам - возможные ситуации, отражающие фактическое количество проданных пирожных в конкретный день; а в клетках: в северо – западном углу – возможный доход от продажи закупленных пирожных, в юго – восточном – фактические затраты на закупку соответствующего количества пирожных.

Таблица 2

     Затем на основании этой таблицы составим таблицу возможной прибыли в  день путем вычитания в каждой клетке из величины возможного дохода величины фактических затрат.  
 
 
 

Таблица 3

     Теперь, используя соответствующие правила  принятия управленческих решений в  условиях риска и неопределенности, выясним, сколько пирожных следует  закупить для реализации в начале каждого дня. Следует убедиться  в том, что применение стратегий  оптимизма и пессимизма при принятии решения приводит к различным  результатам.

     Сперва  используем критерий оптимизма: чем выше предпочтение, тем больше соответствующее ему число. Коэффициенты важности решений определим по формуле:

     β_i = max f _ij, (i=1… m)  

     Y₁  β₁=0,7

     Y₂  β₂=1,4

     Y₃  β₃=2,1

     Y₄  β₄=2,8

     Y₅  β₅=3,5

       По формуле Y*<= max max f _ij, оптимальное решение, соответствующее критерию оптимизма, - это Y_5.

     Затем используем критерий пессимизма. Коэффициенты важности решений определим по формуле:

     β_i = min f _ij, (i=1… m)  

     Y₁  β₁=0,7

     Y₂  β₂=0,1

     Y₃  β₃=0,1

     Y₄  β₄=-0,2

     Y₅  β₅=-0,5

     По  формуле Y*<= max min f _ij, оптимальное решение, соответствующее критерию оптимизма, - это Y_1.

     Следовательно, применение стратегий оптимизма  и пессимизма при принятии решения  приводит к различным результатам.   

     Минимизация возможных потерь

     Рассмотрим  максимально возможные потери и  минимизируем их. Составим таблицу возможных потерь, которая даст представление о прибылях каждого исхода потерянных в результате принятия каждого конкретного решения по закупке пирожных в день. 
 
 
 

     Таблица 4

     Затем, применим правило минимакса выберем  из таблицы по каждому решению  максимально возможные потери, на основании котрых определим решение, приводящее к минимальному значению максимальных потерь.

     По  формуле β_i = max f _ij, (i=1… m) определим вектор коэффициентов важности решений – максимально возможные потери по каждому решению:

     Y₁  β₁=2,8

     Y₂  β₂=2,1

     Y₃  β₃=1,4

     Y₄  β₄=0,9

     Y₅  β₅=1,2

     По  формуле Y*<= min max f _ij, (выбор лучшего из худших вариантов) найдем оптимальное решение, приводящее к минимальному значению максимальных потерь, - это Y_4. 

     Критерий  Гурвица (критерий пессимизма – оптимизма)

     Y*<= max [hmin f _ij + (1-h)max f _ij ],

     где f _ij – значения функций в предпочтении при оценке i- го решения в j- й ситуации, измеренные в количественной шкале так, что чем больше предпочтение, тем больше значений числа; h – коэффициент веса пессимизма, изменяющийся в диапазоне 0 ≤ h ≤ 1. При h = 1 соответственно имеем критерий пессимизма. Выбор значения коэффициента веса пессимизма осуществляет ЛПР в соответствии со своими представлениями о доле пессимизма и оптимизма при выборе решения.

     На  основании табл.3 возможной прибыли  определим оптимальное решение, задав коэффициенту веса пессимизма значение h = 0,3.

     Таблица 5

     Решение по правилу Гурвица будет состоять в закупке пяти пирожных в день при установленном значении h = 0,3. 
 

     Правило максимальной вероятности

     Применив  ПМВ – максимизация наиболее вероятных  доходов для рассмотренных в  табл. 1 относительных частот (вероятностей) дневного спроса на пирожные, найдем решение, обеспечивающее максимальную прибыль, используя данные табл.3.

     Рассмотрим  в табл.1 вероятности дневного спроса на пирожные: 

     Из  таблицы следует, что наибольшая вероятность спроса на пирожные равна 0,4. Это соответствует спросу на четыре пирожных.

     Используем  данные табл.3:

     Устанавливаем, что максимальная прибыль при  максимальной вероятности спроса на пирожные равна 2,8 долл., что соответствует  решению Y₄. 

     Оптимизация математического  ожидания

     Выполним  оптимизацию мат.ожидания с целью  нахождения решения с наибольшей ожидаемой прибыль, используя данные табл.1 и табл.3 и критерий максимума  среднего выигрыша

     ( β_i = ∑p_k f _ik, (i=1… m), Y*<= max (β_1….β_n)), и с целью нахождения решения с наименьшими ожидаемыми поетрями, используя данные табл.1 и табл.4 и критерия минимума средних потерь

     ( β_i = ∑p_k f _ik, (i=1… m), Y*<= min (β_1….β_n)). 

     Для нахождения решения с наибольшей ожидаемой прибылью, используя данные табл.1, табл.3 и критерия максимума  среднего выигрыша

     ( β_i = ∑p_k f _ik, (i=1… m), Y*<= max (β_1….β_n)), рассчитаем значения β_i: 

     КВР1 = 0,2*0,7+0,1*0,7+0,1*0,7+0,4*0,7+0,2*0,7= 0,7

     КВР2 = 0,08+0,14+0,14+0,56+0,28= 1,2

     КВР3 = 0,02+0,11+0,21+0,84+0,42= 1,6

     КВР4 = -0,04+0,08+0,18+1,12+0,56= 1,9

     КВР5 = -0,1+0,15+0,25+1+0,7= 2

     Наибольшая  ожидаемая прибыль при оптимизации  математического ожидания будет  получена при закупке пяти пирожных в день.

     Для нахождения решения с наименьшими ожидаемыми потерями, используя данные табл.1, табл.4 и критерия минимума средних потерь

     ( β_i = ∑p_k f _ik, (i=1… m), Y*<= min (β_1….β_n)), рассчитаем значения β_i:

     КВР1 = 0,2*0+0,1*0,7+0,1*1,4+0,4*2,1+0,2*2,8= 1,61

     КВР2 = 0,06+0+0,07+0,56+0,42= 1,11

     КВР3 = 0,12+0,03+0+0,28+0,28= 0,71

     КВР4 = 0,18+0,06+0,03+0+0,14= 0,41

     КВР5 = 0,24+0,09+0,06+0,12+0= 0,51

     Наименьшие  ожидаемые потери при оптимизации  математического ожидания будут  получены при закупке четырех  пирожных в день. 

     Зависимость решения от изменения  значений вероятности

     Установим, какова чувствительность решений для  альтернативных вероятностей , соответствующих исходам S₁ S₂ S₃ S₄ S₅. Суть анализа заключается в числовой оценке изменения вероятностей, определяющих выбор решений.

     Например, рассмотрим ситуацию с одним основным и одним альтернативным вариантом  решения. Зададим значения альтернативных вероятностей:

     = 0,1, = 0,1, = 0,3, = 0,2, = 0,3.

     Рассчитаем  математическое ожидание прибыли для  альтернативных вероятностей :

     КВР1 = 0,1*0,7+0,1*0,7+0,3*0,7+0,2*0,7+0,3*0,7= 0,77

     КВР2 = 0,04+0,14+0,42+0,28+0,42= 1,3

     КВР3 = 0,01+0,11+0,03+0,42+0,63= 1,8

     КВР4 = -0,02+0,08+0,54+0,56+0,84= 2

     КВР5 = -0,05+0,15+0,75+0,5+1,05= 2,4

     Наибольшая  ожидаемая прибыль при оптимизации  математического ожидания с использованием альтернативных вероятностей будет  получена при закупке пяти пирожных в день.

     Теперь  рассмотрим зависимость выбора решений  от изменения значений вероятностей:

     Таблица 6

     Решение, дающее максимальный доход – закупать 5 пирожных, не потерпело изменений, однако средняя прибыль в альтернативном варианте возросла на 0,4 долл. в день.  В данном случае выбор решения нечувствителен к незначительным изменениям вероятности, то есть не происходит замены выбранного варианта решения на новый.