ЗМІСТ

    ВСТУП…………………………………………………………………………..3

    РОЗДІЛ 1 АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ………………………….4

                   1.1 Споріднені та афінні відображення та їх властивості………….4

                   1.2 Вираз афінного перетворення через координати………….......12

                   1.3 Однорідні координати точки……..…………………………….17

    РОЗДІЛ 2 АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОСТОРУ…………………….......21

                   2.1 Основні властивості афінного перетворення………..…….......21

                   2.2 Поворот, зрушення і масштабування…………………………..24

                   2.3 Перетворення в однорідних координатах……………………..28

                   2.4 Застосування афінних перетворень……………………………34

    ВИСНОВКИ………………………………………………………………..….40

    ЛІТЕРАТУРА………………………………………………………………….41

      ВСТУП

      Метою цієї роботи є розгляд і вивчення афінних перетворень площини і простору.

      Теорія  афінних перетворень уперше була розглянута Дарбу. У роботі розглянута загальна теорія для усіх афінних перетворень площини Евкліда в зв'язаних комплексних координатах, а також такі приватні види афінних перетворень, як подібність, спорідненість, еліптичний поворот, параболічний поворот. Перше з них має два різновиди - подібності першого і другого роду, і теорія для нього розроблена Скопецом З.А. спільно з Понаріним Я.П.

      Спорідненість - афінне перетворення, що має пряму нерухомих точок, у якого є приватні види, також розглянуті в роботі. Теорія цього афінного перетворення для комплексних чисел розроблена Понаріним Я.П. Еліптичний і параболічний повороти - це еквіафінні перетворення, що є композицією інших афінних перетворень. Вони також визначені науковим керівником.

      Для кожного з чотирьох розглянутих  афінних перетворень і приватних видів деяких з них отримані координатні формули в зв'язаних комплексних координатах, вивчені їх прості властивості.

      Метою курсової роботи є дослідити афінні перетворення площини та простору.

      Поставлена  мета досягається такими завданнями:

      1. Дослідити споріднені та афінні  перетворення площини та простору.

      2. Виразити афінні перетворення  через координати.

      3. Описати застосування афінних перетворень площини і простору.

      Предмет дослідження: афінні перетворення площини  і простору.

      Об’єкт дослідження: площина та простір.

      Загальний обсяг курсової: вступ, два розділи, висновки та список літератури. Кількість сторінок 42.  

      РОЗДІЛ I АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ

      1.1 Споріднені та афінні відображення, їх властивості

      Розглянемо розтягування і стискування плоских фігур.

      Якщо  розтягнути вздовж якогось напряму коло, то вийде лекальна крива - еліпс. Якщо розтягнути квадрат у напрямку, паралельному одній парі сторін, то вийде прямокутник. Якщо ж квадрат розтягнути або стиснути в напрямку його діагоналі, то вийде ромб.

      Але що таке розтягування і стиснення? Як їх строго визначити?

      Розтягування  і стискування, про які ми будемо говорити, в певному сенсі, рівномірні. Ця рівномірність означає, що всі шматочки площини будуть розтягуватися (стискатися) однаково. Крім того, коли ми розтягуємо (стискуємо) квадрат, його боки - відрізки залишаються відрізками.

      Такі  рівномірні розтягування (стиснення) називаються афінними перетвореннями.

      Перетворення площини називається афінним, якщо воно взаємно однозначне і образом будь-якої прямої є пряма. Перетворення називається взаємно однозначним, якщо воно різні точки переводить у різні, і в кожну точку переходить якась точка.

      Нагадаємо, що перетворення - це відображення множини на саму себе. Відображення називається взаємнооднозначним (біективним), якщо різні елементи переходять в різні, і в кожний елемент, якийсь елемент переходить.

      Окремим випадком афінних перетворень є просто рух (без будь-якого стиснення або розтягування). Рух - це паралельні переноси, повороти, різні симетрії та їх комбінації.

      Інший важливий випадок афінних перетворень - це розтягування і стиснення відносно прямої.

      На  малюнку 1 показано різні рухи площини з намальованим на ній будиночком. А на малюнку 2 показані різні афінні перетворення на цій площині.

Рисунок 1. Приклади руху

Рисунок 2. Приклади афінних перетворень

      Позначимо множину рухів площини як , а множину афінних перетворень як . Тоді вірно наступне твердження:

      Множина рухів є підмножина множини афінних перетворень.

      Це  здається очевидним. Потрібно в першу  чергу зрозуміти, що нам власне потрібно довести. Для цього потрібно ще раз подивитися на визначення руху та афінних перетворень. Потрібно довести, що будь-який рух є афінним. Тобто треба показати, що при русі різні точки переходять у різні, і образ будь-якої прямої є пряма.

      Це  інтуїтивно зрозуміло - при русі фігури взагалі не змінюють своєї форми і розмірів, а міняють лише своє становище на площині. Також і прямі будуть зберігати свою форму - залишатися прямими. Рух можна представляти як переміщення листка паперу з малюнком по парті. При русі різні точки залишаються різними, оскільки відстані зберігаються. Якщо точки були «поділені» деякою відстанню, то й після руху вони будуть «розділені» цією ж відстанню.

      Розтягування  і стискування 

      Розтягуванням площини відносно прямої з коефіцієнтом називається перетворення площини, при якому кожна точка переходить в таку точку , що відстань від прямої до в разів більша, ніж до точки , і проекція точок і на пряму збігаються. Якщо коефіцієнт позитивний, то точки і лежать по один бік від прямої , якщо негативний - то по різні.

Рисунок 3. Стиснення і розтягнення відносно прямої.

      Давайте доведемо, що розтяг (стиск) щодо прямої є афінним перетворенням. По-перше, ці перетворення взаємно однозначні. Щоб довести це зауважимо, що для кожного стиснення є розтягнення, яке всі точки повертає на свої місця, і навпаки, для кожного розтягування є повертаючий все на свої місця стиск. А зараз скористаємося теоремою:

      Теорема 1

      Якщо  перетворення зворотне перетворенню , а перетворення зворотне перетворенню , то і взаємно однозначні перетворення.

      Перетворення називається зворотнім до перетворення , якщо перетворення , застосоване після перетворення , всі точки повертає на свої місця. Якщо перетворення точку переводить в точку , то зворотне перетворення точку переводить в точку .

      Розтягування (стискування) відносно прямої є афінним перетворенням.

      Доказ.

      Нехай розтяг здійснюється відносно прямої . Спрямуємо вздовж неї вісь . Розглянемо будь-яку пряму . Можливі два випадки.

      1) Якщо вона перетинається з , то проведемо через точку перетину вісь , перпендикулярну . Тоді рівняння прямої буде мати вигляд:

      При розтягуванні щодо прямої (осі) з коефіцієнтом точка переходить в точку :

      розтяг  відносно осі 'X': .

      Точка прямої перейде в точку з координатами . А значить, координати нових точок будуть задовольняти рівнянню

      - це рівняння прямої. Отже образи точок прямої лежать на прямій .

      2) Якщо вона не перетинається з .

      Отже, крім рухів площини афінні перетворення містять ще стиснення і розтягування відносно прямої. Якщо ми застосуємо розтяг відносно однієї прямої, а потім відносно іншої прямої, то знову отримаємо афінне перетворення, так як і перше, і друге розтягнення зберігало прямі а також різні точки переводило в різні. Взагалі вірно

      Композиція афінних перетворень є знову афінним перетворенням:

      Ми  тут використали значок «о» композиції. Вираз слід розуміти як перетворення площини, яке виходить після застосування перетворення і подальшого застосування перетворення . Значок « » слід читати як «належить», тобто «містяться всередині як елемент». 

      Рисунок 4. При паралельному проектуванні з  однієї площини на іншу фігура піддається розтягуванню (стиснення) відносно прямої перетину площин.

      Гомотетія

      Є ще важливий клас афінних перетворень - це стиснення і розтягування відносно точки. Вони називаються перетвореннями подібності або гомотетія.

      Гомотетія відносно точки з коефіцієнтом точку переводить в точку , яка віддалена від точки в разів сильніше ніж точка і лежить на прямій з тієї ж сторони від точки , що і точка , якщо . Якщо , то і лежать по різні сторони від точки . Іншими словами,

      Як  ми дізналися, розтяг (стиск) відносно прямої можна реалізувати як проекцію фігури за допомогою паралельного пучка променів з однієї площини на іншу площину, не паралельну їй. А гомотетія виходить при проекції за допомогою центрального пучка променів з однієї площини на іншу, паралельну їй площину (рис.5).

      Рисунок 5. Гомотетія як проекція фігури з  однієї площини на іншу, паралельну їй площину за допомогою центрального пучка променів.

      Позначимо як розтяг відносно прямої з коефіцієнтом (якщо , то це стиск). І, в той же час, буде позначати гомотетію відносно точки з коефіцієнтом .

      Ми  вже з'ясували, що

      Приклад.

      Доведіть, що гомотетію відносно точки можна представити як композицію двох розтягувань (стиснень) відносно перпендикулярних прямих і , що перетинаються в точці :

       . Точніше

      (Цей  запис слід читати так: «Для  будь-якого дійсного числа і двох перпендикулярних прямих і , що перетинаються в точці , вірно рівність ».)

      Підказка. Дивіться рисунок 6.

      Рисунок 6. З двох розтягувань вздовж перпендикулярних напрямків виходить гомотетія.

      Що  афінні перетворення зберігають?

      З визначення афінних перетворень видно, що вони зберігають прямі і властивість різниці двох точок:

• - Пряма,   - прямий.

      Ці  дві властивості можна позначити  так:

      Ці  дві властивості є визначальними  властивостями афінних перетворень. Безпосередньо з цих властивостей слідують, як ми вже показали раніше, наступні дві важливі властивості:

 Композиція афінних перетворень є знову афінне перетворення.

• Перетворення, протилежне до афінності, є знову афінне перетворення.

      Ці  властивості можна позначити  так:

      Наступні  властивості відносяться до класу  «законів збереження», тобто вони говорять, які властивості фігур афінних  перетворення зберігають (не змінюють).

      Примітка. Перетворення інверсії зберігає властивість кола та кути між кривими. Інший тип перетворень - рухи, вони зберігають відстані. Рухи, афінності перетворення та інверсію можна грубо визначити так:

      1. Рухи зберігають відстань.

      2. Афінні перетворення зберігають «прямоту» ліній.

      3. Інверсії зберігають властивість «круглоти».

      Приклад

      Доведіть, що при перетворенні афінному

 пересічні прямі переходять у пересічні,

• паралельні переходять в паралельні.

Ці властивості  можна позначити так:

      Рішення

      Дійсно, прямі переходять у прямі. Припустимо, що дві прямі перетинаються. Значить, у них є спільна точка А. Якщо після афінного перетворення вони стали паралельними, значить у них не стало загальної точки А. Виходить, що образ точки А (точка в яку вона перейшла під час перетворення) повинен лежати як на першій, так і на другий прямій. Але цього бути не може, оскільки точка А має тільки один образ. Точка не може перейти у дві різні точки. Значить, пересічні прямі не могли перейти в паралельні.

      Задача На основі попередніх властивостей, доведіть наступні дві властивості:

• паралелограм переходить в паралелограм,

 трапеція переходить у трапецію:

      Рисунок 7. Відношення площ зберігається.

      Наступна  важлива властивість стосується площі. Подивіться на рисунок 7. Там намальована прямокутна сітка і дві фігури. Площі цих фігур приблизно рівні (пропорційна) кількості квадратиків. А ставлення площ двох фігур приблизно дорівнює відношенню квадратиків всередині цих фігур.

      При афінному перетворенні квадратики переходять в однакові паралелограми, прямокутна сітка переходить в скособочену сітку. Але важливо, що відношення площ приблизно дорівнює відношенню числа цих паралелограмчиків, тобто тому ж, чому було одно це ставлення до афінної перетворення. Якщо намалювати сітку дуже-дуже дрібною, точніше як завгодно дрібною, тоді площа буде точно виражатися через число квадратиків і паралелограмчиків і наші міркування стануть строгими.

      Таким чином, ми довели ще одну властивість:

      Нехай і - образи фігур і при деякому афінному перетворенні, тоді відносини їх площ однакові, тобто

      Цю властивість можна записати так:

      1.2 Вираз афінного перетворення через координати 

      У комп'ютерній графіці все, що відноситься  до двовимірного випадку прийнято позначати  символом (2d) (2-dimention).

      Припустимо, що на площині введена прямолінійна координатна система. Тоді кожній точці М ставиться у відповідність впорядкована пара чисел (х, у) її координат (рис. 8).

      Вводячи на площині ще одну прямолінійну систему координат, ми ставимо у відповідність тій же точці М іншу пару чисел – (x*, y*). 

                   Рис. 8

     Перехід від однієї прямолінійної координатної системи на площині до іншої описується наступними співвідношеннями: 

                                   x^* = ax + by +l, (1.1)

                                   y^* = gx + by + m, (1.2)

де a, b, g, l, m -- довільні числа, зв’язані нерівністю:

  a b

  = 0.                                                                                      (1.3)

  g d

     Формули (1.1) і (1.2) можна розглядати двояко: або зберігається точка і змінюється координатна система (рис. 9) – в цьому випадку довільна точка М залишається тією ж, змінюються лише її координати (х, у) | (х*, y*), або змінюється точка і зберігається координатна система (рис.10) – в цьому випадку формули (1.1) і (1.2) задають відображення, що переводить довільну точку   М (х, у) в точку М* (х*, у*), координати якої визначені в тій же координатній системі. 

                                                         X*

                                 Y*                                                                 
 
 
 
 

                    Рис. 9 

                       Рис. 10 

      Надалі, формули (1.1) і (1.2) розглядатимуться як правило, згідно з яким в заданій системі прямолінійних координат перетворяться точки площини. У афінних перетвореннях площини особливу роль відіграють декілька важливих окремих випадків, що мають добре прослідковані геометричні характеристики. При дослідженні геометричного сенсу числових коефіцієнтів у формулах (1.1) і (1.2) для цих випадків зручно вважати, що задана система координат є прямокутною декартовою.

1. Поворот навколо початкової точки на кут j (рис.11) описується формулами:

х* = x cosj - y sinj, (1.3)

      y* = x sinj - y cosj. (1.4)

       2. Розтяг (стиск) вздовж координатних осей можна задати так:

                              x* = ax,                                                            (1.5)

                              y* = dy,                                                             (1.6)

                                 a > 0, d > 0.    (1.7)

      Розтяг (стиск) вздовж осі абсцис забезпечується при умові, що a > 1 (a < 1). На рис. 12 a = d > 1.

1. Відбиття (відносно осі абсцис) (рис. 13) задається за допомогою формул:

                              x* = x,                                                           (1.8)

                              y* = -y.                                                          (1.9)

2. На рис.14 вектор переноса ММ* має координати l, m. Перенос забезпечує співвідношення:

                             x* = x + l,   (1.10)

                          y* = y + m.    (1.11) 

        Рис. 11 
 

                      Рис. 12 

      Рис. 13

                            Рис. 14

      Вибір цих чотирьох окремих випадків визначається двома обставинами.

      1. Кожне з приведених вище перетворень має простий і наочний геометричний сенс (геометричним сенсом наділені і постійні числа, що входять в приведені формули).

     2. Як відомо з курсу аналітичної геометрії, будь-яке перетворення вигляду (1.1) завжди можна представити як послідовне виконання (суперпозицію) простих перетворень вигляду 1 – 4 (або частини цих перетворень). Таким чином, справедлива наступна важлива властивість афінних перетворень площини: будь-яке відображення вигляду (1.1) можна описати за допомогою відображень, що задаються формулами  (1.3), – (1.11). Для ефективного використання цих відомих формул в завданнях комп'ютерної графіки зручнішим є їх матричний запис.