Анализ капитала вложений

1. Временные издержки по капиталовложениям 

Как вы помните в введений было  высказано о том, что фирмы  в основном стремятся максимизировать  приведенную стоимость будущих  чистых поступлений денежной наличности. поэтому важно, чтобы вы интуитивно понимали термин приведенная стоимость.

  Каждый человек может  вкладывать деньги  в ценные  бумаги, купленные на рынках ценных  бумаг. Если вы предпочтете  избежать риска, можно  вложить  деньги в государственные ценные  бумаги, которые будут приносить  постоянный доход. С другой  стороны, вы можете предпочитать  вкладывать деньги в рисковые  ценные бумаги, такие, как обычные  акций компаний, котирующиеся на  фондовой бирже. Если вы  вложите   деньги в обычные акции какой-либо  компаний, то обнаружится, что  доход будет варьировать от  года к году  в зависимости  от результатов  деятельности  компаний и ее намерений. Вкладчики  капитала обычно предпочитают  избегать риска,  если  это возможно, и  вкладывают деньги  в рисковые  ценные бумаги в основном только  тогда, когда считают, что получают  более высокий доход за большой  риск. Допустим, что  особо надежные  первоклассники ценные бумаги, выпущенные  государством, приносят   доход  10%. Поэтому вы готовы вложить  капитал в обычные акций,  только  если ожидаете, что доход от  них будет выше 10%.  Предположим,  вы ставите  условием, что только  ожидаемый доход в 15% склонит  вас вложить деньги в обычные  акций, а не в особо надежные  ценные бумаги. Заметим, что под  ожидаемым доходом понимается  средний доход. Вы можете ожидать,  что получите  в среднем15% дохода, но в некоторые годы – больше, а в другие- значительно меньше.

 Допустим, вы положили  деньги в обычные акции компании  X.Захотите ли вы, чтобы компания x поместила ваши деньги в программу капиталовложений, которая дает менее 16% прибыли? Конечно, нет, допуская, что программа столь же рискованна, как и альтернативные вложения в акции других компаний, которые дают доход в 15%.Вы предпочитаете, чтобы компания  X вложила капитал в обычные акций других компаний с 15% дохода или же в качестве альтернативы вернула ваши вложенные деньги с тем, чтобы вы могли сами вложить их под 15% дохода.

Норма прибыли по инвестициям  в такие ценные  бумаги на финансовых рынках, как обычные акций и  особо  надежные  государственные  ценные бумаги, представляют собой  вмененные издержки по капиталовложениям, т.е. если денежная наличность помещена в программу капиталовложений, она  не может быть инвестирована куда-либо еще для получения прибыли. Поэтому  фирма должна помещать средства в  программы капиталовложений, только если они дадут прибыль выше  вмененных издержек по этим капиталовложениям. Вмененные издержки по инвестициям  называются минимальной необходимой  нормой прибыли, стоимостью капитала, учетной ставкой, иди ставкой  процента.

 

По доходу от ценных бумаг, обращающихся на финансовых рынках, мы можем судить о временных издержках, т.е. о необходимой норме прибыли  на ценные бумаги. Ожидаемые вкладчиками  доходы от обычных акций различных  компаний  варьируют потому, что  вложения в акций некоторых компаний более рискованны, чем в акций  других компаний. Чем больше риска, тем выше ожидаемый доход. Рассмотрим рисунок 1.1. Мы видим, что риск вложений в ценные бумаги позволяет увеличить  доход, требуемый вкладчиками для  компенсации дополнительного риска. Следовательно, вкладчики будут  ожидать получения прибыли выше 15% , если они поместили капитал  в ценные бумаги с более высоким  риском, чем обычные акций компаний X. Если эта прибыль не соответствует ожидаемой, вкладчики не будут приобретать ценные бумаги с высоким риском. 

Поэтому важно, чтобы  компаний, вкладывающие капиталы в программы с высоким риском, получали более высокие доходы для компенсации вкладчиками этого риска.

Видно также, что особо  надежные ценные бумаги.

Например государственные, дают самую нискую прибль, т.е 10%. Следовательно, если фирма вкладывает капитал в  программу с нулевым риском, она  должна получить доход выше 10%. Если программа не дает такой прибыли  и не имеется других проектов капиталовложении, то средства, предназначенных для  программы, должны быть возращены держателям акций как дивиденды. Держатели  акций могут затем вложить  средства самостоятельно на условиях 10%-ной прибли.

 

 

 

Ожидаемая прибль на вложенный  капитал

 

 

 

 

 

15

 

10

 

 

Компания X Риск      

 

             Рис 1.1.  Взаимосвязи риска и   прибыли

 

 

 

1.2 Исчисление сложного процента  и дисконтирование

 Нашей целью является  вычисление и сравнение доходов  по инвестициям в программу  капиталовложений с равными   по риску инвестициями в ценные  бумаги, обращающиеся на финансовом  рынке. Это сравнение осуществляется  при помощи анализа будущих  поступлений наличными, приведенных  в оценке на настоящий момент. Поскольку такой анализ является  обратным по  отношению к анализу,  построенному на вычислении сложных  процентов, сн7ачала сосредоточим  внимание на этих вычислениях.

Допустим, вы  вкладываете 100 000 тыс.тенге в особо надежные ценные бумаги, дающие 10% прибыли,  выплачиваемой в конце каждого года. Из табл. 11.2  видно, что если процентный доход реинвестируется, размер помещенного вами капитала увеличивается до 146 410тыс.тенге   к концу четвертого года. Период 0 в первой колонке табл. 11.2  показывают, что не прошло никакого времени, или, иными словами, данный момент времени: период 1 – прошел один год и т.д. значения величин в табл. 11.2 могут быть также получены при помощи формулы (11.1)

 

Fn =V0 (1 +,

 

 

     Где Fn – будущая стоимость инвестиции  через n лет;

     V0 - сумма первоначально помещенного капитала ( период 0);

     - норма прибыли на вложенный капитал;

 – число лет, на которые вложены деньги.

 

Результатом вычисления для  суммы 100 000 тыс. тенге., помещенной в качестве капитала, при 10% прибыли, сроком на 2 года, будет

 

F= 100 000(1+ = 121 000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 11.1

 

Стоимость инвестиций 100 000 тыс. тенге., помещенных под 10% годовых, ежегодно реинвестируемых, сроком на 4 года.

Конец года	Процент полеченный тыс. тенге			Совокупный инвестиций тыс. тенге
0
1		0,10* 100 000		100 000 10
2		0,10*110  000		110 000 11 000
3		0,10 *121 000		121 000 12  00
4		0,10 *133 100		133 100 13 310
146 410

 

 

В табл. 11.1  все величины в конце года равны с точки зрения стоимости денег с учетом дохода будущего периода.

Например:

121000 тыс. тенге., полученные  в конце второго периода, эквивалентны 100 000 тыс. тенге.,  полученным сегодня и вложенным под 10% прибыли ( в том смысле, что через 2 года  эта сумма при 10%  прибыли также вырастает до 121 000 тыс. тенге.,): Точно так же и 133 100 тыс. тенге.,  полученные в конце второго года, в том смысле, что 121 000 тыс. тенге.,  могут быть помещены в качестве капитала в конце второго года и вырастут ( к концу третьего года) до 133 100тыс. тенге. К сожалению,  приведенные суммы невозможно прямо сопоставить на один и тот же момент, так как каждая из них относится к разным моментам.

 При  принятий решений  о капиталовложениях мы должны  привести поступления и расходы  наличных средств за разные  годы к сопоставимым величинам.  Чтобы достичь этого, нужно   выразить потоки денежной наличности  через их стоимость в один  и тот же момент. Для вычислений  можно выбрать любой момент,  поскольку все четыре величины  в табл. 11.1  равны 100 000 тыс. тенге.,  в год 110 000 тыс. тенге.,  в год 121 000 тыс. тенге.,  в год 2 и т.д. Однако  предпочтительно выбрать тот момент, когда принимается решения, и это будет текущее время, или год 0. Все величины в табл.11.1 поэтому могут быть выражены через стоимость в текущие время ( т.е. приведенную стоимость ) – 100 000тыс. тенге.

Процесс выражения наличных средств, которые должны быть получены в будущем, через текущую стоимость  посредством ставки процента называется дисконтированием, а получаемая в результате величина – дисконтированной стоимостью. Вычисление сложных процентов- процесс, обратный дисконтированию, так как при помощи сложных процентов вычисляется будущая стоимость имеющейся в настоящее время денежной наличности. Уравнение (11.1) для вычисления будущей стоимости может быть преобразовано в формулу приведенной (дисконтированной) стоимости.

(11.2)

V0 (приведенная стоимость)=  

 

Представим в уравнений (11.2) цифровые значения на конец года 2,  получим

 

 

Приведенная стоимость = =100 000

 

Теперь вы должны представить  себе, что 1тыс. тенге, полученный сегодня, не равен 1 тыс. тенге, полученному через  год. Ни один разумный человек не будет  одинаково удовлетворен получением одного тысячи тенге через год  и сегодня, поскольку  деньги, полученные сегодня, могут принести проценты в  последующий год. Так, через год  вкладчик может иметь один первоначальный тысячи  плюс годовые проценты. Например, если ставка процента 10, каждый вложенный  в настоящее время тысячи превратится  в 1,10 тысячи тенге, через год, т.е. 1 тысячи тенге имеющийся сегодня, ровен  1.10 тыс. тг. Через год при ставке процента 10. И, наоборот, 1 тыс. тг через год равен 0,9091 тыс. тг. Сегодня, т.е его приведенной стоимости, поскольку 0,9091 тыс. тг плюс 10% прибыли за один год равно 1 тыс. тг. Поскольку о том,  что 1 тыс.тг полученный в будущем, не равен 1 тыс. тг поскольку сегодня, выражается в определении стоимости денег с учетом дохода будущего периода.

В дальнейшем мы осудим четыре метода оценки капиталовложении: по чистой дисконтированной стоимости, внутреннему  коэффициенту окупаемости, учетному коэффициенту окупаемости и периоду окупаемости.  Мы увидим, что при использований  первых двух методов принимают во внимание стоимость денег  с учетом доходов будущего периода. Тогда   как, применяя методы учетного коэффициента окупаемости и периода окупаемости, этот факт игнорируют. 

 

 

 

 

1.3  Понятие чистой дисконтированной стоимости

Используя методику приведения будущих поступлений наличными к их оценке в настоящее время и вычисляя приведенную стоимость, мы можем сравнить прибыль от программы капиталовложении с альтернативным, равным по риску вложением денег в  ценные бумаги, обращающиеся на финансовых рынках. Например,  фирма  рассматривает четыре программы капиталовложений ( все они не содержат риска) , приведенные в таб. 11.2. Из таб.11.2 можно видеть, что реализация каждой из программ идентична вложению капитала в особо надежные ценные бумаги,  показанному в таб.11.1   поскольку вы получаете от такого вложения 110 00 тыс. тенге в первый год, 121 00 тыс.тенге – во второй год, 133 00 тыс. тенге – в третий год, и 146 410 тыс.тенге – в четвертый год. Иными словами, потенциальные поступления денежной  наличности от ваших особо надежных ценных бумаг идентичны чистому приросту наличных средств для программ. А, В, С и D из таб.11.2.

 

Оценка  четырех  сводных от риска программ капиталовложений ( тыс.тг)

 

	А	В	С	D
Инвестиционные  затраты по программе	100 000	100 000	100 000	100 000
Движение денежной наличности на конец года: Год Год Год год	110 000 0 0 0	0 121 000 0 0	0 0 133 100 0	0 0 0 146 410
Приведенная стоимость	110 000 1,10	121 000 (1,10)	133 100 (1,10)	146 410 (1,10)
	=100 000	=100 000	=100 000	=100 000

 

 

Следовательно, фирма должна быть безразлично, инвестировать  средства в программы капиталовложений или  вложить их в идентичные по риску  ценные бумаги, обращающиеся на финансовых рынках. Наиболее просто определить, даст ли программа  капиталовложений прибыль  выше, чем альтернативное, равное по риску вложение денег в  ценные бумаги, рассчитав чистую приведенную  стоимость (ЧПС). Это приведенная  стоимость чистых  поступлений  денежной наличности минус первоначальные инвестиционные затраты по программе  капиталовложений. Если норма прибыли  по программе капиталовложений больше, чем прибыль от эквивалентного по риску вложений денег в обращающиеся на рынке ценных бумаги, ЧПС будет положительной. И соответственно, если норма прибыли будет ниже, ЧПС отрицательна. Положительная ЧПС, таким образом, свидетельствует,  что следует согласиться на капиталовложения в программу, а при отрицательной ЧПС от программы нужно отказаться. Нулевое  значение ЧПС указывает на то, что фирма должно быть безразлично, принять программу капиталовложений или отвергнуть ее.

 Из таб. 11.2 видно, что приведенная стоимость каждой  из программ составляет 100 000тыс тенге. Теперь, чтобы вычислить ЧПС программы, вы должны вычесть стоимость инвестиции, 100 00 тыс. тенге из приведенной стоимости. Для каждой программы ЧПС равно 0. Поэтому фирме должно быть безразлично, принять какую-либо программу или поместить эквивалентный капитал в особо надежные ценные бумаги. Таково наше заключение о сравнений приростов денежной наличности по программам, приведенным таб. 11.2 с инвестицией в особо надежные ценные бумаги из таб. 11.1.

 Для фирмы предпочтительнее  поместить капитал в любой  из проектов, показанных в таб. 11.2  если начальные инвестиционные затраты по ним меньше, чем 100 000 тыс. тенге. Поскольку мы должны вложить 100 000 тыс. тенге, чтобы получить эквивалентные поступления денежной наличности от ценных бумаг, обращающихся на финансовых рынках. И наоборот, мы  должны отказаться от капиталовложений в указанные проекты,  если начальные инвестиционные затраты по ним больше 100 000 тыс. тенге. Теперь видно, что вычисление ЧПС обеспечивает прямое сравнение проекта капиталовложений с инвестициями в обращающиеся на рынке ценные бумаги эквивалентного риска. При условиях, что приведенная стоимость чистых поступлений денежной наличности для каждого из вышеуказанных проектов составляет 100 000 тыс. тенге, их  ЧПС будет положительной ( и указывает на возможность их принятия) тогда, когда начальные инвестиционные затраты меньше 100 000 тыс. тенге, и отрицательной ( и свидетельствует необходимости отказа от них), если их начальные инвестиционные затраты больше 100 000тыс. тенге.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет чистой приведенной стоимости 

Получив интуитивное понимание  правила ЧПС, теперь необходимо научиться вычислять ее величину. В  виде формул ЧПС может быть выражена следующим образом:

(11.3)

 

 

ЧПС = +  + + – 10,  

 

Где 10 -  инвестиционные затраты;

 будущая стоимость,  полученная в годы от 1 до n.

Используемая ставка процента ( т.е. К) – это прибыль, которую  можно получить на эквивалентные  по риску ценные бумаги на финансовом рынке. Разберем ситуацию на примере (11.1)

Например  (11.1). фирма имеет  возможность поместить 1000тыс. тенге  в программу капиталовложений со сроком 3 года. Оценка поступлений денежной наличности:

                    1-й год         300

                    2-й год         1000

                    3-й год          400

 

Вмененные издержки на капитал  составляют 10%. Требуется вычислить  ЧПС объема денежной  наличности по данному проекту:

ЧПС в данном случае вычисляется  так:

 

ЧПС= +  + -100=+ 399

 

Альтернативным способом ЧПС может быть рассчитана со ссылкой  на опубликованную таблицу величин  приведенной стоимости.

Например. В приложений 1 на пересечений строки 1-ой год и  колонки 10%  вы найдете коэффициент  дисконтирования 0,909. Для 2-го и 3-го годов  коэффициенты  дисконтирования составляют 0,826 и 0,751 соответственно. Затем надо умножить  оббьем денежной наличности на коэффициенты дисконтирования,  чтобы получить величины приведенной стоимости объема денежной наличности. Вычисления выглядят следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

Год	Сумма тыс.тенге	Коэффициент дисконтирования	Приведенная стоимость тыс.тенге
1	300	0,909	273
2	1000	0,826	826
3	400	0,751	300
Итого                                                                                      1399 Минус начальные инвестиционные затраты                        1000
ЧПС 399

 

 Обратите внимание на то, что коэффициенты дисконтирования в таблице приведенных стоимостей базируется на величине в 1 тыс. тенге, полученной стоимости ( уравнение 11.2).

Например, 1 тыс.тенге, полученный в 1, 2 и 3-ий годы, при норме процента 10, рассчитывается так:

    

                                          1-й год = 1/1,10=0,909

2-й год  = 1/(1,10) = 0,836

  3-й год  = 1/ (1,10) = 0,751

 

Положительная ЧПС инвестиций свидетельствует об увеличении стоимости средств держателей акций, которые должно произойти, когда на фондовой бирже станет известно о принятий данного проекта. ЧПС показывает также потенциальное увеличение текущего потребления для владельцев обыкновенных акций, которое становится возможным благодаря проекту после того, как любое использованные средства возвращаются с прибылью. Представим себе, что фирма инвестирует 1000 тыс. тенге (в примере 11.) при помощи займа на 1399 тыс. тенге под 10%  и возвращает заем и проценты из дохода по проекту по мере их поступления. Видно, что 399 тыс. тенге займа могут быть использованы на текущее потребление, а остальные 1000 тыс. тенге могут быть инвестированы в проект. Поступления денежной наличности по  проекту как раз достаточны для выплаты долга (таб. 11.3) шкала погашения долга). Поэтому принятие для владельцев обычных акций на величину ЧПС в 200 тыс. тенге. Таким образом, принятие всех возможных проектов с положительной ЧПС должно вести к максимизации состояния владельцев акций.

 

 

 

 

 

 

 

 таблица 11.3

Схема движений денежной наличности, построенная на основе предложения, что заем возвращается из доходов по проекту.

Год	Долг, не уплачиваемый к началу года	Проценты по долгу при  ставке 10%	Общая сумма к выплате	Доходы по проекту	Остаток долга на конец  года
	(1)	(2)	(3)=(1+2)	(4)	(5)=(3-4)
1-й	1 399	140	1 539	300	1 239
2-й	1 239	124	1 363	1 000	363
3-й	363	37	400	400	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1  Постоянные ежегодные поступления денежной наличности

Когда годовые потоки денежной наличности постоянны, расчет ЧПС упрощается. Рассмотрим пример 11.2

Пример 11.2ю фирма имеет  возможность инвестировать 1000 тыс.тенге  в проект, поступления денежной наличности по которому составят 600 тыс. тенге, в  год в течение трех лет. Минимальная  желаемая норма прибыли – 10%.Вычислить  ЧПС.

Коэффициенты дисконтирования  при неизменном ежегодном движении денежной наличности приведены в  таб.  в  конце данной курсовой. Нам следует отыскать коэффициент  дисконтирования для 10% за три года. Если вы обратитесь к таб. , то увидите, что он равен 2,487. Исходя из этого  ЧПС вычисляют следующим образом:

 

Ежегодные поступления денежной наличности тыс. тенге	Коэффициент дисконтирования	Приведенная стоимость тыс. тенге
600	2,487	1492
	Минус стоимости инвестиций	1000
	ЧПС	492

 

Из вычисления видно, что  приведенная стоимость за рассматриваемый период определяется умножением суммы поступлений денежной наличности на коэффициент дисконтирования. Важно отметить, что таб. Быть использована только в случаях, когда ежегодное движение денежной наличности неизменно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2  Внутренний коэффициент окупаемости капиталовложений

Расчет внутреннего коэффициента окупаемости является одним из методов, используемых при принятий о капиталовложениях, когда также принимается во внимание  стоимость денег с учетом дохода будущего периода. Внутренний коэффициент  окупаемости представляет собой  точную ставку процента, полученного  от инвестиций в течение их срока. Этот показатель иногда называется дисконтированной нормой прибыли. Внутренний коэффициент окупаемости – это ставка процента (К), которую используют для дисконтирования всех потоков, денежной наличности в результате  капиталовложения для того,  чтобы приравнять приведенной стоимость денежных  поступлений к приведенной стоимости денежных расходов. Иными словами, это ставка дисконта, при которой ЧПС капиталовложений будет равна нулю. Внутренний коэффициент окупаемости может быть также выражен через максимальный размер капитала, который может быть использован для финансирования проекта без ущерба для владельцев акций. Внутренний коэффициент окупаемости может определить, если  найти значение К и формуле.

(11.4)

 

10= +  + +

 

Однако проще пользоваться таб. Дисконтирования, в пример.11.1, иллюстрирующий вычисление ЧПС, продемонстрирует нам  расчет внутреннего коэффициента окупаемости.

Внутренний коэффициент  окупаемости может быть определен  методом проб и ошибок при помощи ряда коэффициентов дисконтирования; вычисления производятся до тех пор, пока ЧПС не станет равной нулю. Например, если мы используем коэффициент дисконтирования  для 25%, то получим положительный  ЧПС 85 тыс. тенге. Поэтому необходимо попытаться взять большее число. При 35% получим отрицательную ЧПС 67 тыс. тенге. Теперь известно, что ЧПС  будет равна нулю где-то между 25и 35% . фактически внутренний коэффициент  окупаемости составит около 35%.

Год	Чистый прирост денежной наличности	Коэффициент дисконтирования	Приведенная стоимость прироста денежной наличности
1	300	0,769	231
2	1000	0,592	592
3	400	0,455	182
		ЧПС	1005
	Минус стоимость	инвестиций	1000
		ЧПС	5

 

Будем принимать решение  согласно правилу: если внутренний коэффициент  окупаемости больше временных издержек на капитал, инвестиция является прибыльной и даст положительную приведенную  стоимость. И, наоборот, если внутренний коэффициент окупаемости меньше временных издержек, капиталовложение невыгодно, и его результатом будет отрицательная ЧПС. Это становится очевидным, если обратится к таб. 11.1 и 11.2. доход но особо надежным ценным бумагам, показанный в таб. 111.1 составляет 10%. Только проект с положительной ЧПС дадут норму прибыли выше 10%, тогда как проект с отрицательной ЧПС дадут прибыль менее 10%.

Вычисление внутреннего  коэффициента окупаемости для примера 11.1 проиллюстрировано на рис 11.2. точка  на графике представляют ЧПС при  различных ставках дисконта. Точка, в которой линия, соединяющая  точки на графике, пересекая горизонтальную ось, показывает внутренний коэффициент  окупаемости ( точка в которой  ЧПС равна нулю)

Рисунок 11.2 свидетельствует, что внутренний коэффициент окупаемости  составит 30%, и из данного графика  мы видим, что по методу интерполяций можно вычислить внутренний коэффициент  окупаемости, не прибегая к методу проб и ошибок. При методе интерполяции мы определяем отсутствующую величину ( в данном случае ставка дисконта, при  которой ЧПС равна нулю) по ряду данных.

 

 Рис.11.2. Интерпретация  внутренней норм прибыли

 

 

 

 

 

Например, мы выяснили, что  для ставки дисконта 25% ЧПС составляет +85 тыс. тенге, а для  ставки дисконта 35% равна – 67тыс. тенге. Общее расстояние между этими точками равно 152 тыс. тенге (+85 и -67). Поэтому вычисление приблизительно величины внутреннего коэффициента окупаемости может быть представлено следующим образом:

(11.5)

A+ [*(B-A)]

 

Где А – ставка дисконта при отрицательной ЧПС: В- учетный  процент при положительной ЧПС: С- ЧПС поступлений денежной наличности при ставке дисконта А : D-ЧПС поступлений денежной наличности при ставке дисконта В. Итак:

 

25% + *10%= 25%+ * 10%=30,59%

Заметим, что метод интерполяций дает только приблизительное значение внутреннего коэффициента окупаемости. Чем больше расстояние  между  любыми двумя точками, имеющими положительную  и отрицательную ЧПС, тем менее  точками будет подсчет внутреннего  коэффициента окупаемости. Рассмотрим линию В на рис. 11.2. точка, в которой она пересекает горизонтальную ось, соответствует примерно 33%, тогда как в действительности внутренней коэффициент окупаемости равен 30,59%.

 Проще определить внутренний  коэффициент окупаемости, если  размер потоков денежной наличности  постоянен каждый год. При помощи  примера 11.2 приводимого ранее  для вычисления ЧПС с равными  ежегодными потоками денежной  наличности, можно проиллюстрировать  вычисление внутреннего коэффициента  окупаемости.

Так как потоки денежной наличности одинаковы за каждый год, мы можем обратиться к таб. 1. Когда потоки денежной наличности  дисконтируются по внутреннему коэффициенту окупаемости, ЧПС будет равна нулю. Поэтому внутренний коэффициент окупаемости будет находиться в точке, где:

 

( ежегодный поток денежной  наличности).

[коэффициент дисконтирования  для числа лет за который  получена денежная наличность]

-[стоимость инвестиций]  =0

 

Преобразовав  равенство, получим внутренний коэффициент  дисконтирования в точке, где:

Коэффициент дисконтирования =

 

 

 

 

 

Поставляя числа за пример 111.2 получим:

 

Коэффициент дисконтирования = = 1,666 

 

 

Вычисление внутреннего  коэффициента окупаемости может  быть сложным ( как показывают приведенные  примеры), но метод проб и ошибок можно ввести в программу для  быстрого и точного решения задачи компьютером. В самом деле, малые  ручные вычисления устройства могут  теперь программироваться для быстрого вычисления внутреннего коэффициента окупаемости, и программы вычислений не являются больше основанием предпочесть  метод ЧПС для оценки капиталовложений.