Анализ расходов

    Введение 

    Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

    Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

    Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.

    Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

    Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:

1. выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;
2. информационную базу данных объекта;
3. выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;
4. выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения - целевой функции.

          Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные. 
 
 
 
 
 

    II. Основные понятия моделирования.

        2.1.   Общие понятия и определение модели. 

    Содержанием  любой экономико-математической  модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями - результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.

    По содержанию различают экономико-математические и  экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

    Система ограничений  состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

    Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция - функция многих переменных величин и может иметь свободный член.

    Критерии оптимальности - экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии  оптимальности и различные целевые функции.

    Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

    Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.

    Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции, а для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может.

    Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

    Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

    Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям. 
 
 
 

    2.2. Постановка задач оптимизации 

    В общем  виде задача оптимизации, или задача определения экстремума, ставится следующим образом.

    Пусть заданы:

    функция f(X), определенная на множестве O Н R^N ;

    множество D Н R^N.

    Найти точку Y = (y₁,  y₂,..., y_N) О D, в которой функция f (X) достигает экстремального (минимального или максимального) значения, т.е.

    f(X) = extr f(X)  и  Y О D.

    Функция f(X) называется целевой функцией, переменные X - управляемыми переменными, D - допустимым множеством и любой набор значений Y управляемых переменных, принадлежащий D (Y О D), - допустимым решением задачи оптимизации.

    Понятно, что искомая точка Y, в которой f(X) достигает своего экстремума, должна принадлежать пересечению области определения O функции f(X) и допустимого множества D (YО O З D). Если множества O и D совпадают со всем пространством  R^N (O = D = R^N), то такая задача называется задачей на безусловный экстремум. Если хотя бы одно из множеств O или D является собственным подмножеством пространства R^N (O М  R^N , D М R^N) или множества  O и D пересекаются (O З D № Ж), то такая задача называется задачей на условный экстремум,  в противном случае (O З D = Ж) точка экстремума Y  не существует. Подчеркнем один частный случай: если множества O и D пересекаются в одной точке Y, то эта точка Y является единственным допустимым решением.

    Обычно в задаче условного экстремума задается не само допустимое множество решений D, а система соотношений, его определяющая,

    y_j (x_1, х _2, х _N) Ј (=, і) 0, j = 1, 2, … М,

    т.е.

    D = {X: yj (X) Ј (=, і) 0, j = 1, 2, ... , M} Н R^N,

или множество D  может  одновременно задаваться как в явном виде, т.е. допустимое решение Х должно принадлежать некоторой области  P М R^N,  так и системой ограничений. 
 

    III.  Методы линейного программирования.

         3.1. Общая и типовая задача в линейном программировании. 

    Оптимизационная задача - это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

    В самом общем виде задача математически записывается так:

    U = f(X) ® max; X О W, 

    Где X = (Х1, Х2,…, Хn);

    W - область допустимых значений переменных Х1, Х2,…, Хn;

    f(X) - целевая функция.

    Для того, чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать X() О W такое, что f(X()) і f(X), при любом X О W, или для случая минимизации - что f(X()) ≤  f(X), при любом X О W.

    Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция f(X) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

    Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(X), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения  называют методами математического программирования.

    В математическом программировании принято выделять следующие основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(X) и от области W:

• задачи линейного программирования, если f(X) и W линейны;
• задачи целочисленного программирования, если ставится условие целочисленности переменных Х1, Х2,…, Хn;
• задачи нелинейного программирования, если форма f(X) носит нелинейный характер.

    Задачи линейного программирования.

    Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

    f(X) = е СjXj ® max(min);

    е aij xj = bi,  iОI,  IНM = {1, 2,…m};

    е aij xj Ј bi, iОM;

    Xjі0, jОJ, JНN =  {1, 2,…n}.

    При этом система линейных уравнений и неравенств, определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(X) называется целевой функцией или критерием оптимальности.

    Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности.  Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

    Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

    1) если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;

    2) если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;

    3) если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;

    4) если некоторая переменная Хk не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя  новыми неотрицательными переменными::

    Xk = X`k - Xl, где l - свободный индекс, X`k і 0, Xk і 0. 
 

    3.2. Постановка задачи линейного программирования 

    Под термином «транспортные задачи» понимается  широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), но n потребителям этих ресурсов.

    На автомобильном транспорте часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

• прикрепление потребителей ресурса к производителям;
• привязка пунктов отправления к пунктам назначения;
• взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;
• отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;
• оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями.

    Транспортным задачам присущи следующие особенности:

• распределению подлежат однородные ресурсы;
• условия задачи описываются только уравнениями;
• все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;
• во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;
• каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.

         Транспортные задачи могут решаться симплекс-методом. 

    3.3. Решение транспортной задачи 

Начальное распределение выберем по методу наименьших стоимостей. Порядок заполнения клеток: (3,1), (1,2), (4,3). (2,4), (1,5), (1,4), (3,5), (4,5)

Суммарные затраты:

f(x) =  6ґ18+7ґ15+8ґ32+8ґ5+8ґ40+7ґ10+14ґ7+16ґ13=1107

Рассмотрим процесс нахождения потенциалов для данного распределения.

Положим, Ui=0 Ю V2=U1+C12=7; V5=U1+C15=7=U3+14=U4+16 Ю U3= -7, U4= -9; V3=U4+C43= -1; V4=U2+8=U1+8 Ю U2=U1=0; V4=8.

Найдем оценки:  d_ij=(U_i+c_ij)-V_j: 

                11    0   15   0   0

(dij) =      13    1   11   0   8

                  0  -4      4  -3   0

                  8  -6      0  -5   0

Данный план не является оптимальным, т.к. есть отрицательные оценки.

Построим контур перераспределения для клетки (4,2). Наименьшая поставка в вершине контура со знаком “-” равна 13, поэтому проведем перераспределение поставок, уменьшив поставки в клетках со знаком “-” на 13 и увеличив поставки в клетках со знаком “+” на 13. результаты поставлены в таблице 2. 

    Суммарные затраты: 

f(x) =  6ґ18+7ґ2+10ґ13+8ґ32+8ґ5+8ґ40+7-23+14-7=1127

Положим U1=0

V2 = U1+C12=7=U4+10 Ю U4 = -3

V3 = U4+8=5; V4=U1+8=8=U2+8 Ю U2=0

V5 =  U1+7= 7 = U3+14 Ю U3= -7

V1 = U3+6= -1

dij = (Ui+Cij)-Vj 
 

                9    0   9   0   0

(dij) =     11   1   5   0   8

                0   -3   -2  -3   0

               14   0    0    1   6 

Наличие отрицательных оценок свидетельствует о том, что план не является оптимальным.  Построим контур перераспределения для клетки (3,2).  Наименьшая поставка в вершине контура  со знаком “-” равна 2. Произведем  перераспределение поставок. Результаты представим в таблице 3.

Суммарные затраты:

f(x) =  6ґ18+10ґ2+10ґ13+8ґ32+8ґ5+8ґ40+7ґ25+14ґ7=1119

Положим,  U1=0 Ю V4=8, V5=7; V4=U2+8 Ю U2=0

V5 = U3+14 Ю U3= 7-14= -7;  V1= -7+6= -1; V2= -7+10= +3

V2=U4+10 Ю U4=3-10= -7; v3= -7+8=1

                9    4   13   0   0

(dij) =     13   5   9    0    8

                 2   0   2   -3    0

               10   0   0   -3    2 

Наличие отрицательных оценок свидетельствует о том,  что план не является оптимальным. Построим контур перераспределения для клетки (3,4).

Наименьшая поставка в клетке со знаком “-” равна 5. Произведем перераспределение  поставок результаты  представим в таблице 4.