Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ  МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ  И МАТЕМАТИКИ

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математический  анализ»

на тему:

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

ВЫПОЛНИЛ: студентка 393 гр.

Жукова И.А.

ПРОВЕРИЛ: доцент кафедры МиИ

Салтанова Т. В.

 

 

 

Тюмень 2010

Оглавление

Введение 3

Основные понятия 4

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) 5

Слабый дифференциал (дифференциал Гато) 7

Формула конечных приращений 8

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью 9

Дифференцируемые функционалы 11

Абстрактные функции 11

Интеграл 12

Производные высших порядков 12

Дифференциалы высших порядков 15

Формула Тейлора 15

Заключение 17

Список литературы: 18

 

Введение

Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий  функционального анализа. Теория нормированных  пространств была построена, главным  образом, С.Банахом в 20-х годах 20 века.      Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.

 

Основные  понятия

Определение1. Непустое множество  называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Ι. Для любых двух элементов  однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем

       1. (коммутативность)

       2. (ассоциативность)

В существует такой элемент 0, что   для всех 

       4. Для  каждого  существует такой элемент   , что .

II. Для любого числа  и любого элемента определен элемент , причем

      5.

      6.

III. Операции сложения и  умножения связаны между собой  дистрибутивными законами:

       7.

       8.

Определение2. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

 для любого    и любого числа ;

 для любых  (неравенство треугольника).

Определение3. Оператором называется отображение , где - это линейные пространства.

Определение4. Оператор называется  линейным, если для любых элементов   и любых чисел R выполняется равенство:

.

Определение5. Пусть  - линейные нормированные пространства,

 – линейный оператор, .

Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что следует, что .

 

Определение6. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке  .

Определение7.  Линейный оператор называется ограниченным, если .

Утверждение. Для линейного  нормированного пространства непрерывность  линейного оператора равносильна  его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется  .

Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного  оператора     .

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

 Пусть X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке , если существует такой ограниченный линейный оператор L_x ζ (X, Y), что для любого ε> 0 можно найти δ > 0, при котором из неравенства ||h||< δ следует неравенство

|| F(x + h)-F(x)-L_xh ||<ε||h||       (1)

То же самое сокращенно записывают так:

F(x + h)-F(x)-L_xh = o(h). (2)

Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение L_xh (представляющее

собой, очевидно, при каждом h X элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Сам линейный оператор L_x называется производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F'(x).

Если отображение F дифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство ||L₁h — L₂h|| = o(h) для операторов L_i ζ (X, У), i = 1, 2, возможно, лишь если L₁= L₂.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.

Если F(x) = y₀ = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х) в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного  отображения L есть само это отображение:

L '(x)=L       (3)

Действительно, по определению  имеем         L(x + h)-L(x) = L(h).

3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х₀ Х, F — отображение этой окрестности в У, у₀ = F(x₀), V(y_o) — окрестность точки у₀ У и G — отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке х_о, a G дифференцируемо в точке у_о, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х₀) дифференцируемо в точке х_о и

H' (x₀)=G' (y₀)F' (x₀)                  (4)

Действительно, в силу сделанных  предположений

F(x₀ +ξ) = F(x₀) + F' (x₀) ξ +о₁ (ξ ) 

и

 G (у_о + η) = G (у_о) + G' (у_о) η + о₂ (η).

Но F'(x₀) и G'(y_o) — ограниченные линейные операторы. Поэтому

H (х₀ + ξ) = G (у_о + F' (x₀) ξ + о₁ ξ ) = G (у_о) + G' (у₀) (F' (х₀) ξ +  +о₁ ξ)) +

+о₂ (F' (x₀) ξ + о₁ (ξ  )) = G (у₀) + G' (уо) F' (х₀) ξ + о₃ (ξ).

Если F, G и Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4.Пусть F и G — два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если F и G дифференцируемы в точке х₀, то и отображения F + G и aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем

(F + G)'(х₀) = F'(х₀) + G'(х₀) (5)

(aF)'(x₀) = aF'(x₀). (6)

Действительно, из определения  суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что

(F+G)(x₀ + h) = F(x₀ + h) + G(x₀ + h) = F (х₀) + G (х₀) + F' (х₀) h +

+G' (х₀) h + o₁ (h)

и      aF (x₀ + h) = aF (x₀) + aF' (x₀) h + o₂ (h),

откуда следуют равенства (5) и (6).

Слабый  дифференциал (дифференциал Гато)

Пусть снова F есть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения F в точке х (при приращении h) называется предел

DF(x,h)= _t=0= ,

где сходимость понимается как  сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения F в точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейность имеет место, т. е. если

DF (х, h) = F'_c (х) h,

где F'_c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.

Формула конечных приращений

Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х₀, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, F есть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'_c в каждой точке отрезка [х₀, x]. Положив Δх = х — х_о и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию

f(t) = (F(x₀+t Δх)),

определенную при  .Эта функция дифференцируема по t. Действительно, в выражении

можно перейти к пределу  под знаком непрерывного линейного  функционала . В результате получаем

F'(t)= (F'_c(x₀+tΔx) Δx)

Применив к функции  f на отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим

f(l) = f(0) + f'(θ), где 0< θ <1,

(F(x)-F(x₀))= ( F'_c(x₀+ θ Δx) Δx) (7)

Это равенство имеет место  для любого функционала У* (величина θ зависит, разумеется, от ). Из (7) получаем

| (F(x)-F(x₀))| || F'_c(x₀+ θ Δx)|| || Δx||      (8)

 

Выберем теперь ненулевой  функционал так, что

 (F (х) - F (х₀)) = || || || F (х) - F (хо) ||

(такой функционал существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем

||(F (х) - F (x)|| || F'_c(x₀+ θ Δx)|| ||Δx||   (Δx =x-x₀)    (9)

Это неравенство можно  рассматривать как аналог формулы  конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению

х —> F (х) — F'c (х_о) Δx

получим следующее неравенство:

||F(x-F(х_о)-F'c (х_о) Δx || || F'_c(x_o+θΔx) -F'_c(x₀) || || Δx ||    (10)

 Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции

f(x) = f(x_1,…,x_n)

при n 2 из существования производной

при любом фиксированном h = (f_1,...,f_n) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь  может служить функция двух переменных

  

     (11) 

 

Эта функция непрерывна всюду  на плоскости, включая точку (0,0). В  точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку

.

Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h₂=h₁², то

 

Однако если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем

F(x + th) — F (x) = F' (x) (th) + о (th) = tF' (x)h +о (th)

и

 

Выясним условия, при которых  из слабой дифференцируемости отображения F следует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'_c (х) отображения F существует в некоторой окрестности U точки х₀ и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x₀, то в точке x₀ сильная производная F'(x₀) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По ε>0 найдем δ>0 так, чтобы при ||h||< δ бвыполнялось неравенство:

|| F'_c(x_o + h)-F'_c(x_o) || ε

Применив к отображению F формулу (10), получим:

|| F(x₀ + h)-F (х_о) - F'_c (х_о) h || ||F'_c(x_o + θh)- F'_c(x_o)||

  ||h|| ε||h||

 

Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F'(x_о), так и ее совпадение со слабой производной.

 Дифференцируемые функционалы

Мы ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства ξ(X, У). В частности, если У — числовая прямая, то F — принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала F в точке х₀ есть линейный функционал (зависящий от х₀), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||². Тогда

||x + h||²-||x||² = 2(x, h) + || h ||²;

величина 2(x,h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,

F' (x) = F'_c(x) = 2х.

 Абстрактные функции

Предположим теперь, что к  числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.

 Интеграл

 Пусть F — абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в банаховом пространстве У. Если F задана на отрезке [а, b], то можно определить интеграл функции F по отрезку [а,b]. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм

,

отвечающих разбиениям

a = t₀<t₁< ... <t_n = b, ξ_k [t_k,t_k+1],  

при условии, что max(t_k+1-t_k) 0. Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент из Y) обозначается символом

Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимым для  функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.

 Производные высших порядков

Пусть F — дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x) при каждом  x X есть элемент из ξ (X, У), т. е. F' есть

отображение пространства X в пространство линейных операторов

ξ (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения F и обозначается символом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства ξ (Х, ξ (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в ξ (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:

1.для любых из X и любых чисел имеют место равенства:

В ( x₁ + х₂, ) = В ( , )+ В (х₂, ),

В (x₁, + ) = В ( , )+ В(x_1, );

2.существует такое положительное число М, что

||В(х, х') || M||x|| ||x’||          (17)

при всех х, х' X.

Первое из этих условий  означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над  билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения  пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х², У). При полноте У полно и В(Х², У).

Каждому элементу А из пространства ξ(Х,ξ(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х², У), положив

В(х, х') = (Ах)х'. (18)

Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство ξ(X,ξ(Х,У)) на все пространство B(X²,Y). Действительно, если у=В(х, х') = (Ах)х', то

||y|| ||Ax|| ||x’|| ||A|| ||x|| ||x’||,

откуда

                   ||B|| ||A|| (19)

С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном x X отображение х'→ (Ах)х' = В(х, х')

есть линейное отображение  пространства X в У.

Таким образом, каждому  x X ставится в соответствие элемент Ах пространства ξ(X, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства ξ(Х, ξ(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и

||Ах||= ||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B|| ||x||,

откуда

||A|| ||B|| (20)

Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X²,Y) и ξ{X, ξ(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства ξ(Х, ξ(Х, У)) есть все В(Х², У).

Мы выяснили, что вторая производная F"(x) есть элемент пространства ξ(X, ξ (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать F"(x) элементом пространства В(Х², Y).

Очевидным образом можно  ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения F, действующего из X в Y, определив п-ю производную как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства ξ(Х, ξ(Х, ..., ξ(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Х^п, У) n-линейных отображений X в У. При этом под n-линейным отображением понимается такое соответствие y=N(x', х", ..., x⁽ⁿ⁾) между упорядоченными системами (х', х", .. . , x⁽ⁿ⁾) элементов из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хⁱ при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию

|| N (x', х", ..., x⁽ⁿ⁾) || М || х' || • || х" || ... || x⁽ⁿ⁾ ||.

Таким образом, п-ю производную отображения F можно считать, элементом пространства N(Xⁿ, У).

Дифференциалы высших порядков

Мы определили (сильный) дифференциал отображения F как результат применения к элементу h Х линейного оператора F'(x), т. е.

 dF = F'(x)h. Дифференциал второго порядка определяется как

d²F = F" (х) (h, h), т. е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению F''(х) В(X², У). Аналогично дифференциалом п-го порядка называется dⁿF=F⁽ⁿ⁾(x)(h, h, . . ., h), т. е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h) переводится отображением ^F(n)(x).

Формула Тейлора

 Сильная дифференцируемость  отображения F означает, что разность F(x+h)—F(x) может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.

Теорема 2. Пусть F — отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области О X и такое, что F⁽ⁿ⁾(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство

f(x + h)-F(x) = F'(x)h + F"(x)(h, h)+ ...

... + F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + ω (х, h),        (21)

где

Доказательство будем вести по индукции. При n = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное n и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой n на n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых n заменено на п-1. Тогда для отображения F' имеем

F'(x + h) = F'(x) + F"(x)h + F"'(x)(h,h) + ...

… + F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + ω₁ (х, h),        (22)

где ||ω₁ (х, h)|| = o(||h||^n-1). Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим

  , (21)

где .

Из (23) получаем F(x+ h)-F (х)= F'(x)h + F"(x)(h,h)+ ...

 …+ F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + R_n, причем 

||R_n||

Тем самым наше утверждение  доказано.

Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.

Заключение

В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному  анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.

Некоторые задачи, возникающие  в функциональном анализе, носят  существенно нелинейный характер; они  приводят к необходимости развивать  наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный анализ, т.е  изучать  нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах. К нелинейному функциональному  анализу относится, по существу, такая  классическая область математики, как  вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIII вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.

 

Список  литературы:

1. Колмогоров А.Н., Фомин  С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.
2. Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве. Ярославль, 1978. – 118стр.
3. Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,Наука, 1972. – 424стр.