Дискретная обработка сигналов

Федеральное агентство связи.

ВГОБУ ВПО СибГУТИ

 

 

 

 

Кафедра РТС

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 по курсу Математические основы цифровой обработки сигналов:

«Дискретная обработка сигналов»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

 

 

Проверил:

 

 

 

 

 

Новосибирск, 2013г.

Содержание

Введение                                                                                                                   3

Часть 1.                                                                             4

Часть 2.                                                 7

Часть 3.                                                                         16

Часть 4.                                                                                   19

Заключение                    24

Список использованной литературы                                                           25 
Введение

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) — преобразование сигналов, представленных в цифровой форме.

Любой непрерывный (аналоговый) сигнал s(t) может быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то есть представлен в цифровой форме. Если частота дискретизации сигнала Fd не меньше, чем удвоенная наивысшая частота в спектре сигнала Fmax (то есть ), то полученный дискретный сигнал s(k) эквивалентен сигналу s(t) (см. теорему Котельникова). При помощи математических алгоритмов s(k) преобразуется в некоторый другой сигнал s1(k) имеющий требуемые свойства. Процесс преобразования сигналов называется фильтрацией, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтр. Поскольку отсчёты сигналов поступают с постоянной скоростью Fd, фильтр должен успевать обрабатывать текущий отсчет до поступления следующего (чаще - до поступления следующих n отсчётов, где n - задержка фильтра), то есть обрабатывать сигнал в реальном времени. Для обработки сигналов (фильтрации) в реальном времени применяют специальные вычислительные устройства — цифровые сигнальные процессоры.

Всё это  полностью применимо не только к  непрерывным сигналам, но и к прерывистым, а также к сигналам, записанным на запоминающие устройства. В последнем случае скорость обработки непринципиальна, так как при медленной обработке данные не будут потеряны

Обработка сигналов во временной области широко используется в современной электронной осциллографии и в цифровых осциллографах. А для представления сигналов в частотной области используются цифровые анализаторы спектра. Для изучения математических аспектов обработки сигналов используются пакеты расширения систем компьютерной математики MATLAB, Mathcad и др.

В данной курсовой работе мы использовали пакеты MATLAB 2006 (для разработки цифрового фильтра) , Mathcad 14 (для математических вычислений)

• Часть 1.

Выполнить дискретизацию  радиосигнала S(t) методом полосовой дискретизации.

N=04

B=3 (номер по журналу)

Дано:

f_с=N+100(группы) – частота сигнала , f_с=104 МГц;

B=3 МГц – полоса частот радиосигнала.

 

 

 

 

Рисунок 1.1 – Полосовой радиосигнал.

Решение:

Определить диапазон целочисленных  значений коэффициента k.

f₁= f_с- B/2=10 4-3/2=102,5МГц (нижняя частота сигнала)

f₂= f_с+B/2= 104+3/2=105,5 МГц (верхняя частота сигнала)

k выбираем исходя из условия:

k<f₁/(f₂-f₁)=102,5/(105,5-102,5)=34.16. Округляем до целого в меньшую сторону.

K=34

Поскольку К велико,то для простоты расчетов примем К=4

Определить диапазон возможных  частот дискретизации .

Диапазон дискретизации выбираем из условия :

(2f_с +B)/(k+1)≤f_d≤(2f_с -B)/k (*)

При k=1:  (2*104+3)/2 ≤f_d≤(2*104-3)/1;  105,5≤f_d≤205

f_d =150 МГц

f_d- f₁= 47.5  f_d+ f₁=252.5

f_d- f₂= 44.5  f_d+ f₂=255.5

 

 

 

 

 

 

При k=2:  (2*104+3)/3 ≤f_d≤(2*104-3)/2;  70,3≤f_d≤102,5

f_d =80 МГц

f_d- f₁= -22.5  f_d+ f₁=182.5

f_d- f₂= -25.5  f_d+ f₂=185.5

2*f_d =160 МГц

f_d- f₁= 57.5  f_d+ f₁=262.5

f_d- f₂= 54.5  f_d+ f₂=265.5

При k=3:  (2*104+3)/4 ≤f_d≤(2*104-3)/3;  52,75≤f_d≤68,3

f_d =60 МГц

f_d- f₁= -42.5  f_d+ f₁=162.5

f_d- f₂= -45.5  f_d+ f₂=165.5

2*f_d =120 МГц

f_d- f₁= 17.5  f_d+ f₁=222.5

f_d- f₂= 14.5  f_d+ f₂=225.5

3*f_d =180 МГц

f_d- f₁= 77.5  f_d+ f₁=282.5

f_d- f₂= 74.5  f_d+ f₂=285.5

 

При k=4:  (2*104+3)/5 ≤f_d≤(2*104-3)/4;  42.2≤f_d≤51.25

f_d =45 МГц

f_d- f₁= -57.5  f_d+ f₁=147.5

f_d- f₂= -60.5  f_d+ f₂=150.5

2*f_d =90 МГц

f_d- f₁= -12.5  f_d+ f₁=192.5

f_d- f₂= -15.5  f_d+ f₂=195.5

3*f_d =135 МГц

f_d- f₁= 33.5  f_d+ f₁=237.5

f_d- f₂= 30.5  f_d+ f₂=240.5

4*f_d =180 МГц

f_d- f₁= 77.5  f_d+ f₁=282.5

f_d- f₂= 74.5  f_d+ f₂=285.5

Построить  спектральные диаграммы дискретизированного сигнала для полученных значений k и частот дискретизации. Обозначить на спектре положительные частоты дискретизации и пронумеровать соответствующие полосы дискретизации для всех k.

{Значение f_d для каждого k ,берём любое исходя из интервала!}

См. рисунок 1.2

Полосовой сигнал это тот сигнал, центральная частота которого не равна нулю.

Важно чтобы не было наложения сигнала. Для точного восстановления сигнала  по его дискретным отчетам требуется  обеспечить отсутствие перекрытий сдвинутых  копий спектра. При этом восстановление исходного сигнала происходит при  помощи цифрового фильтра.

При некотором целом значении  k зеркальная половина спектра должна быть распооложена между k и k+1 сдвинутыми  копиями спектра из условия (*).

 

 

 

Часть 2.

1. _{Получить  последовательность отсчетов периодического сигнала S(t)=cos(2*pi*f*t), f=М(гр)+n(журнал)=7 Гц, (Т-период сигнала), ч интервалом дискретизации Тd=Т/16, длительностью Тs=N*Тd.Количество отсчетов N выберете из условия получения периодичных дискретных отсчетов .Приведите графическое изображение s(n).}

2.   _{Вычислить  ДПФ  сигнала  на Тс=2*Т, Тс=2.5*Т, Тс=4*Т, Тс=4.5*Т, Тс=8*Т, Тс=8.5*Тс. Для последних двух вычислить ДПФ с использованием весового окна (Хэмминга).}
3. _{Вычислить ДПФ смеси гармонических сигналов с отношением их амплитуд A1/A2=80, после чего дополнить смесь нулевыми отсчетами и посмотреть как измениться частотный спектр сигнала.}

Дискретное преобразование Фурье  — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций).

Дано:

№_группы=04; №_{по журналу}=3;

N – количество  точек ДПФ и количество сигнала  на 2 периодах.

N=16;

f_c= частота сигнала S(t).

f_c=№_группы+№_{по журналу}=4+3=7 Гц

S(t)=cos(2πf_ct);

 

2.1. Вычисление ДПФ сигнала на одном периоде:

clear all

f=7;

T=1/f;

Td=T/16; % Интервал дискретизации (s)

N=16;

t=(0:N-1)*Td;

x=cos(2*pi*f*t);

sf=fft(x,N);

a=abs(sf);

plot(t,x);

 

 

Рисунок 2.1 – Непрерывный сигнал

2.2. Построение дискретных отчетов (16) непрерывного сигнала (один период):

clear all

f=7;

T=1/f;

Td=T/16;

fd=1/Td;

N=T/Td;

Ts=(N-1)*Td;

t=0:Td:Ts;

x=cos(2*pi*f*t);

stem(t,x)

Рисунок 2.2 – Дискретные отсчеты нашего сигнала

2.3. ДПФ сигнала на одном периоде:

f=7;

T=1/f;

Td=T/16; % Интервал дискретизации (s)

N=16;

t=(0:N-1)*Td;

x=cos(2*pi*f*t);

sf=fft(x,N);

a=abs(sf);

stem(t,a);

(Tc):

Рисунок 2.3 – Спектр сигнала при неизменном периоде сигнала

 

_{2.4. Вычисление  ДПФ при Тс=2*Т, Тс=2.5*Т, Тс=4*Т, Тс=4.5*Т, Тс=8*Т, Тс=8.5*Тс}

(2Tc):

 

Рисунок 2.4 –Спектр сигнала при удвоенном периоде сигнала

(2.5Tc):

Рисунок 2.5 – Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 2.5

(4Tc):

Рисунок 2.6 – Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 4

Рисунок 2.7 – Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 4.5

(8Tc):

Рисунок 2.8 – Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 8

(8.5Tc):

Рисунок 2.9 – Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 8.5

Вывод: при  изменении длительности сигнала  в четное число раз видно, что  растекание спектра не наблюдалось. Однако, если мы увеличим длительность в нечетное число раз спектр сигнала начнет растекаться как это видно на спектральных диаграммах. От величины длительности сигнала напрямую зависит количество отсчетов, которые мы выбираем для дальнейшего восстановления сигнала.

2.5. ДПФ (Ts=8.5*T) сигнала с взвешивающим окном (Хэмминга):

f1=7;

T=1/f1;

A1=10;

A2=A1*80;

f2=30+f1;

Td=T/16; % Интервал дискретизации (s)

N=16*8.5;

fd=1/Td;

t=(0:N-1)*Td;

F=(0:N-1)*fd/N;

x=A1*cos(2*pi*f1*t)+A2*cos(2*pi*f2*t);

n=0:1:N-1;

w=0.54-0.46*cos(2*pi*n/(N-1));

y=x.*w;

sf=fft(x,N);

a=abs(sf);

stem(F,a);

Рисунок 2.10 – ДПФ сигнала с взвешивающим окном, с умножением на 8.5

 

Рисунок 2.11- Фазовый спектр ДПФ.

В этом случае видим, что окно давит  лишние спектральные линии и выделяет нужные, однако полностью от растекания спектра мы не избавились. Боковые  частоты все равно присутствуют.

 

 2.6. Вычисление ДПФ смеси c 1024 отсчетами:

f1=7;

T=1/f1;

A1=5;

A2=A1*6;

f2=45.3+f1;

Td=T/16; % Интервал дискретизации (s)

N=128;

fd=1/Td;

t=(0:N-1)*Td;

x=A1*cos(2*pi*f1*t)+A2*cos(2*pi*f2*t);

n=0:1:length(xz)-1;

w=0.54-0.46*cos(2*pi*n/(length(xz)));

z=zeros(1,1024-128);

xz=[x z];

y=xz.*w;

F=(0:length(xz)-1)*fd/length(xz);

sf=fft(y,length(xz));

a=abs(sf);

stem(F,a);

Рисунок 2.11 – Сигнал с взятием 128 отсчетов

Рисунок 2.12 – Спектр сигнала, состоящего из 128 дискретных отсчетов

Рисунок 2.13 – График модуля ДПФ дополненного нулями.

Рисунок 2.14 – Спектр сигнала, дополненный нулевыми отсчетами с использованием окна Хэмминга.

Видно, что применение весового окна привела к прореживанию спектра  сигнала и более четкого выделения наших частот.

Часть 3.

Данные:А=40 Дб, Fd=4800 Гц, F1=600 Гц, F2=1800 Гц, dF=500 Гц,

_Цель:

_{1) Спроектировать ПФ методом весового окна и добиться ослабления в 40 Дб}

_{2) Спроектировать  ПФ при помощи метода частотной выборки и добиться требуемого ослабление в 40 Дб}

_{3) Проверить фильтр, подав на его  вход смесь гармонических  сигналов.}

1. Проектирование ПФ методом весовых окон: (Требуемое ослабление 40 дБ)

Рисунок 3.1 – Импульсная, амплитудно-частотная и фазовая характеристики ПФ (методом весовых окон)

A=40; затухание в полосе задерживания

n=-10:1:10;

F1=600; Частота сигнала

F2=1800;

df=500; Ширина переходной полосы

fD=4800; Частота дискретизации

Fcp=2*pi*F1/fD; Частота среза

Fcp1=2*pi*F2/fD;

h=(sin(Fcp*n))./(n*pi); Частотная характеристика фильтра

h(11)=Fcp/pi; нулевой отсчет

w=hann(21); Весовое окно.

v=h'.*w; Перемножение весового окна и ЧХ фильтра.

freqz(v); Вывод графика.

 

2. Проектирование ПФ методом частотной выборки:

 

Рисунок 3.2 –Амплитудно-частотная и фазовая характеристики ПФ(методом частотной выборки)

 

M=25;

f=0:1/M:1;

[0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

 h=fir2(M,f,a);

Fs=10000; Ts=1/Fs; t=[0:Ts:0.5];

F1 = 1500; F2 =3000;

randn('state',0);

x=sin(2*pi*F1*t)+cos(2*pi*F2*t)+0.1*randn(size(t));

%freqz(x);

y=filter(h,1,x);

freqz(h);

 

 

 

 

3. Проверка фильтра и подача на его вход смеси сигналов

Подадим на вход фильтра, например: x=sin(2*pi*F1*t)+cos(2*pi*F2*t)+0.1*randn(size(t));, где F1=1300 Гц, F2=3000 Гц.

Используем наш ПФ, чтобы подавить частоту 3000 Гц.

Используя команду filter и пропускаем смесь через наш ПФ, спроектированный методом весовых окон:

 

Рисунок 3.3 – Частотный спектр отфильтрованного сигнала (ПФ с весовым окном)

 

Добились  подавления нижней частоты, следовательно, спроектированный нами  ПФ методом весового окна Хэмминга  правильный.

Проверим  фильтр, спроектированный методом частотной  выборки.

Рисунок 3.4 – Частотный спектр отфильтрованного сигнала (ПФ методом частотной выборки)

Фильтр также удовлетворяет  нашим требованиям.

Вывод: как видно из работы , чтобы добиться ослабления на частоте подавления (1300 Гц) при использовании метода частотной выборки нам понадобился более высокий порядок фильтра. (М=25) в отличии от метода весовых окон, который в этом случае является более практичным.

 

 

Часть 4.

_{1) Провести операцию  интерполяции смеси  гармонических сигналов  и шума (увеличить  частоту дискретизации)}

_{2) Спроектировать ПФ, для последующего его использования при децимации}

_{3) Провести операцию  децимации (уменьшение  частоты дискретизации)}

Децима́ция— уменьшение частоты дискретизации дискретного во времени сигнала путем удаления его отсчетов.

При децимации  из исходной последовательности отсчетов :a0, a1, a2,… берется каждый N-й отсчет (N — целое число): a0, aN, a2N, … ; N > 1, остальные отсчеты отбрасываются. Преобразование спектра при децимации существенно зависит от спектра исходного сигнала:

Если исходный сигнал не содержит частот, превышающих частоту Найквиста  децимированного сигнала, то форма спектра полученного (децимированного) сигнала совпадает с низкочастотной частью спектра исходного сигнала. Частота дискретизации, соответствующая новой последовательности отсчетов, в N раз ниже, чем частота дискретизации исходного сигнала, и спектр полученного сигнала масштабирован по оси абсцисс относительно спектра исходного сигнала.

Если исходный сигнал содержит частоты, превышающие частоту Найквиста децимированного сигнала, то при децимации будет иметь место (наложение спектров). Таким образом, для сохранения спектра необходимо до децимации удалить из исходного сигнала частоты, превышающие частоту Найквиста децимированного сигнала. Эта операция производится цифровыми фильтрами.

Интерполяция это процесс обратный децимации (увеличение частоты дискретизации)

Дано:

№ по списку в журнале 3.

F_s=4800 Гц, f1=600 Гц, f2=1200, l=2, m=7

F₁, F₂– несущие частоты сигнла,

l – коэффициентинтероляции,

m– коэффициент децимации,

F_s – частота дискритизации.

Рисунок 4.1 – Структурная схема проектируемого фильтра.

4.1. Зададим сигнал в виде смеси гармонических и шума:

F1=600;

F2=1200;

l=2;

m=7;

Fs=4800;

Ts=1/Fs; t=[0:Ts:0.5];

 randn('state',0);

x=sin(2*pi*F1*t)+cos(2*pi*F2*t)+0.1*randn(size(t));

h=1;

y = upfirdn(x,h,l,1);

freqz(y);

 

Рисунок 4.2 - Временная диаграмма нашей смеси

Рисунок 4.3 - Частотный спектр смеси, при помощи программы sptool

2. Проводим интерполяцию: увеличиваем частоту дискретизации в 2 раза командой:

 w=upfirdn(x,h,L,M)

 

Рисунок 4.4 - Частотный спектр, после интерполяции

3. Проектируем фильтр и подготавливаем сигнал для децимации

Выбираем  частоту среза исходя из соотношения: fd*2/7*2=>686 Гц < fc. Выберем fc =680 Гц

На основе этого проектируем  фильтр с заданной частотой дискретизации  и частотой среза при помощи команды  fdatool

Рисунок 4.5 - Амплитудно-частотная характеристика, требуемого ФНЧ

Рисунок 4.6 - Импульсная характеристика нашего ФНЧ

 

4. Децимируем сигнал и используем разработанный фильтр, для выделения первой гармоники.

Уменьшение частоты дискретизации в 6 раз, при помощи команды: у1=upfirdn(w,Num,1,5), где Num – коэффициенты импульсной характеристики нашего ФНЧ.

Рисунок 4.7 - Временная диаграмма сигнала и его спектр, после децимации и фильтрации

На спектре видно, что теперь наша частота f1=600 Гц, передается уже на новой частоте дискретизации.

Вывод.

Сравнивая спектры, полученные на последних рисунках, можно сделать вывод о некорректной работе функции upfirdn(x,h,l,m). Как мы можем видеть одна из зеркальных составляющих спектра последнего рисунка не была подавлена. Мы же смогли устранить эффект Гиббса с помощью промежуточного фильтра. В итоге, хоть и часть информации была утеряна, но искажения проявились в меньшей степени (см. временные диаграммы).

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Все понятия  и методы, использованные в данной курсовой работе, образуют взаимосвязанное единство по анализу и синтезу любых ЦУ.

В данной работе был произведён ряд вычислений, наиболее полно отражающий содержание курса. В частности научились дискретизировать различные сигналы и получали их спектры (ДПФ). Так же научились по спектру дискретного сигнала получать сигнал во временной области (ОДПФ). Научились проектировать цифровые фильтры в среде МatLAB с использованием пакетов sptool и fdatool. Выполнили преобразование частоты дискретизации.  

Все расчеты  имеют практический характер в реальной жизни. Примером может стать цифровое телевидение, которое в момент написания курсовой работы бурно вводится в России (DVB-T). Все эти преобразования используются там, но конечно сигналы  и спектры там намного сложнее.  

 

Список использованной литературы

1. Конспект лекций по МоЦОС: СибГУТИ.

2. ЦОС. Часть 1. Методические указания к лабораторным работам/Рязань. Гос РТ университет./Сост: В.В Витязев,2009, 36с.

3. Радиотехника: Энциклопедия / Под ред. Ю. Л. Мазова, Е. А. Мачусского, В.И. Правды.- 2-е изд., стер.- М.: Издательский дом «Додэка-XXI», 2009.-944 с. 

4. Зеленцов Б. П. Математика в формулах и таблицах – Новосибирск: СибГУТИ, 2005. – 117 с.

5. Макаров Е.Г. Mathcad 14: учебный курс.-Спб.: Питер, 2009.-384 с.: ил.