Дискретное распределение признака X

Министерство образования  и науки Российской Федерации

(МИНОБРНАУКИ РОССИИ)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

"ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  УПРАВЛЕНИЯ"

 

Кафедра прикладной математики

 

Курсовая работа

по учебной  дисциплине " Прикладная математика"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель

 

Студентка Громова Е.И.     группы: Международный менеджмент 2-1                  (подпись)  

 

 

Руководитель курсовой  работы

 

К.Э.Н; доцент                                                ___________                      ___________________

(ученная степень,  ученое звание)                    (подпись)                     (инициалы и фамилия)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва-2013

Содержание

 

Введение. 3

1. Теоретическая часть 4

2.Практическая часть 6

Заключение 18

Список  литературы 19

  

Введение.

Ряды статистического распределения  удобно изучать с помощью графического метода. Статистический график – это чертеж, на котором статистические совокупности, характеризуемые определенными показателями, описываются с помощью условных геометрических образов или знаков. Представление данных таблиц в виде графика производит более сильное впечатление, чем цифры, позволяет лучше осмыслить результаты статистического наблюдения, правильно их истолковывать, значительно облегчает понимание статистического материала, делает его наглядным и доступным.

Значение графического метода в  анализе и обобщении данных велико.

Графическое изображение позволяет  осуществить контроль достоверности статистических показателей, так как, представленные на графике, они более ярко показывают имеющиеся неточности, связанные либо с наличием ошибок наблюдения, либо с сущностью изучаемого явления. С помощью графического изображения возможны изучение закономерностей развития явления, установление  существующих взаимосвязей. Простое сопоставление данных не всегда дает возможность уловить наличие причинных зависимостей, в то же время их графическое изображение способствует выявлению причинных связей, в особенности в случае установления первоначальных гипотез, подлежащих затем дальнейшей разработке.

Графики также широко используются для изучения структуры явлений, их изменения во времени и размещения в пространстве. В них более выразительно проявляются сравнительные характеристики и отчетливо виды основные тенденции развития и взаимосвязи, присущие изучаемому явлению или процессу. Примером статистического графика является полигон и гистограмма.

 

1. Теоретическая часть 

Дискретное  распределение признака X

Начнем с частотных таблиц, в  которых данные не сгруппированы. Для  наглядного представления результатов  такой выборки в статистике используют полигон частот.

Полигон частот – кусочно-линейный график, на котором по горизонтальной оси откладываются различные значения, полученные в выборке, а по вертикальной – их относительная частота. После этого полученные точки соединяются ломаной линией. Отсюда и название: полигон, в переводе с греческого означает многоугольник. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁;n₁), (x₂;n₂),…,(x_k;n_k), где x_i – варианты выборки и n_i – соответствующие им частоты.

Полигон относительных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки (x₁;w₁), (x₂;w₂),…,(x_k;w_k), где x_i – варианты выборки и w_i – соответствующие им относительные частоты.

Полигон распределения строится в прямоугольной системе координат. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты или относительные частоты — по оси ординат.

 

Непрерывное распределение признака X

Данные интервальной таблицы частот  принято представлять гистограммой частот. В ней по горизонтальной оси откладываются интервалы значений, а над каждым интервалом строится столбик, площадь которого равна относительной частоте попадания в данный интервал. Если интервалы равные, то высоты всех столбиков отличаются от соответствующих частот только постоянным множителем – длиной интервала.

При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены  все наблюдаемые значения признака разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят n_i – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой  частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Площадь частичного i-го прямоугольника равна h(n_i/h) = n_i –сумме частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е.объему выборки n.

Гистограммой  относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению w_i/h (плотность относительной частоты).

Площадь частичного i-го прямоугольника равна h(w_i/h) = w_i – относительной частоте вариант, попавших в i-ый интервал.

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Гистограмма распределения строится аналогично полигону в прямоугольной системе координат. В отличие от полигона при построении гистограммы на оси абсцисс выбирают не точки, а отрезки, изображающие интервал, а вместо ординат, соответствующих частотам или относительным частотам отдельных вариант, строят прямоугольники с высотой, пропорциональной частотам или относительным частотам интервала.

 

 

 

2.Практическая  часть

442. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

xi	2	5	7	8
ni	1	3	2	4

а)

 

 

Решение: Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки)

называют  функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту

события X < x:

  , где n_x - число вариант меньших x; n – объём выборки.

Эмпирическая  функция обладает следующими свойствами:

1. Значения эмпирической функции  принадлежат отрезку [0;1].

2.  F*(x) - неубывающая функция.

3. Если x₁ - наименьшая варианта, а x_k - наибольшая, то F*(x) = 0 при x ≤ x₁ и F*(x) = 1

x ≥ x_k.

Найдем объем  выборки: n=1+3+2+4=10

Наименьшая  варианта равна: x₁=2, поэтому F^*(x)=0 при x≤2. 
Значения X<5, а именно: x₁=2, наблюдались 1 раз, следовательно, F^*(x)=¹/₁₀=0.1 при

2< x≤5. 
Значения X<7, а именно: x₁=2, x₂=5, наблюдались 4 раза, следовательно, F^*(x)=⁴/₁₀=0.4 при 5< x≤7. 
Значения X<8, а именно: x₁=2, x₂=5, x₃=7, наблюдались 6 раз, следовательно, F^*(x)=⁶/₁₀=0.6 при 7< x≤8. 
Т.к. X=8 — наибольшая варианта, то F^*(x)=1 при x>8.

Напишем искомую  эмпирическую функцию:

График этой функции:

F*(x)
1
0,6
0,4
0,1
		2			5		7	8		x

 

xi	4	7	8
ni	5	2	3

 

б)

 

 

Решение:

Вычислим  объем выборки: n=5+2+3=10 
Наименьшая варианта равна: x₁=4, поэтому F^*(x)=0 при x≤4. 
Значения X<7, а именно: x₁=4, наблюдались 5 раз, следовательно, F^*(x)=⁵/₁₀=0.5 при

4< x≤7. 
Значения X<8, а именно: x₁=4, x₂=7, наблюдались 7 раз, следовательно, F^*(x)=⁷/₁₀=0.7 при 7< x≤8. 
Т.к. X=8 — наибольшая варианта, то F^*(x)=1 при x>8.

Напишем искомую  эмпирическую функцию:

 

График этой функции:

1
0,7
0,5
				4			7	8		x

 

444. Построить полигон частот по  данному распределению выборки:

xi	2	3	5	6
ni	10	15	5	20

а)

 

 

Решение:

Отложим на оси абсцисс варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i;

Соединив  точки (x_i; n_i) отрезками прямых, получим искомый полигон частот.

xi	15	20	25	30	35
ni	10	15	30	20	25

а)

 

 

Решение:

Отложим на оси абсцисс варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i;

Соединив  точки (x_i; n_i) отрезками прямых, получим искомый полигон частот.

445. Построить полигон относительных  частот по данному распределению  выборки:

xi	2	4	5	7	10
ni	0,15	0,2	0,1	0,1	0,45

а)

 

 

Решение:

Отложим на оси абсцисс варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие относительные частоты w_i. Соединив точки (x_i; w_i) отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот.

xi	1	4	5	8	9
ni	0,15	0,25	0,3	0,2	0,1

б)

 

 

Решение:

Отложим на оси абсцисс варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие относительные частоты w_i. Соединив точки (x_i; w_i) отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот.

 

xi	20	40	65	80
ni	0,1	0,2	0,3	0,4

в)

 

 

Решение:

Отложим на оси абсцисс варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие относительные частоты w_i. Соединив точки (x_i; w_i) отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот.

447. Построить гистограмму частот  по данному распределению выборки:

а)

Номер	Частичный интервал	Сумма частот вариант	Плотность
интервала i	xi-xi+1	интервала ni	частоты ni/h
1	2-7	5	1
2	7-12	10	2
3	12-17	25	5
4	17-22	6	1,2
5	22-27	4	0,8

 

Решение:

Построим  на оси абсцисс заданные интервалы  длины h=5. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты n_i/h. Например, над интервалом (2,7) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии n_i/h=5/5=1; аналогично строят остальные отрезки.

	ni
	h
	5
	4
	3
	2
	1
	0		2					7					12					17					22					27		x

 

 

б)

Номер	Частичный интервал		Сумма частот вариант		Плотность
интервала i	xi-xi+1		интервала ni		частоты ni/h
1	3-5		4		2
2	5-7		6		3
3	7-9		20		10
4	9-11		40		20
5	11-13		20		10
6	13-15		4		2
7	15-17		6		3

Решение:

Построим  на оси абсцисс заданные интервалы  длины h=2. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты n_i/h. Например, над интервалом (3,5) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии n_i/h=4/2=2; аналогично строят остальные отрезки.

	ni
	h
	20
															`
	10
	3
	2
				3		5		7		9		11		13		15		17			x

 

448. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

Номер	Частичный интервал	Сумма частот вариант
интервала i	xi-xi+1	интервала ni
1	0-2	20
2	2-4	30
3	4-6	50
		n= 100

 

Решение:

Найдем  относительные частоты:

w₁=20/100=0,2, w₂=30/100=0,3, w₃ =50/100=0,5.

Найдем  плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала  h=2:

w₁/h =0,2/2=0,1, w₂/h =0,3/2=0,15, w₃/h =0,5/2=0,25.

Построим  на оси абсцисс данные частичные  интервалы. Проведем над этими интервалами  отрезки, параллельные оси абсцисс  и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над  интервалом (0;2) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки. Искомая гистограмма относительных частот:

Wi
h
1
0,25
0,15
0,1
0				2				4				6			x

 

449. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

а)

Номер	Частичный интервал	Сумма частот вариант
интервала i	xi-xi+1	интервала ni
1	10-15	2
2	15-20	4
3	20-25	8
4	25-30	4
5	30-35	2
		n= 20

 

Решение:

Найдем  относительные частоты:

w₁=2/20=0,1, w₂=4/20=0,2, w₃ =8/20=0,4, w₄=4/20=0,2, w₅=2/20=0,1.

Найдем  плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала  h=5:

w₁/h =0,1/5=0,02, w₂/h =0,2/5=0,04, w₃/h =0,4/5=0,08, w₄/h =0,2/5=0,04, w₅/h =0,1/5=0,02.

Построим  на оси абсцисс данные частичные  интервалы. Проведем над этими интервалами  отрезки, параллельные оси абсцисс  и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над  интервалом (10;15) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,02; аналогично строят остальные отрезки.

Искомая гистограмма относительных частот:

Wi
h  1
0,08
0,04
0,02
			10					15					20					25					30					35	x

 

б)

 

 

Номер	Частичный интервал	Сумма частот вариант
интервала i	xi-xi+1	интервала ni
1	2-5	6
2	5-8	10
3	8-11	4
4	11-14	5
		n= 25

 

Найдем  относительные частоты:

w₁=6/25=0,24, w₂=10/25=0,4, w₃ =4/25=0,16, w₄=5/25=0,2.

Найдем  плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала  h=5:

w₁/h =0,24/3=0,08, w₂/h =0,4/3=0,13, w₃/h =0,16/3=0,05, w₄/h =0,2/3=0,06, w₃/h =0,1/5=0,02.

Построим  на оси абсцисс данные частичные  интервалы. Проведем над этими интервалами  отрезки, параллельные оси абсцисс  и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над  интервалом (10;15) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,02; аналогично строят остальные отрезки. Искомая гистограмма относительных частот:

Wi
h
0,13
0,08
0,06
0,05
		2			5			8			11			14		x