Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Информационные технологии управления. 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный машиностроительный университет МАМИ»

Курсовая работа

По дисциплине «Информационные технологии управления»

Выполнил:

Студент группы 9-ЭФМе-2

Джафаров Вагиф

Москва 2013

ВВЕДЕНИЕ

Экономико-статистические модели (ЭСМ) на сегодняшний день являются одним из основных инструментов анализа финансово-производственной деятельности экономических субъектов, а также установления тесноты взаимосвязей между элементами этих субъектов. Цель их применения – это возможность правильно выбрать решение в условиях неопределенности сложившейся ситуации, умение спрогнозировать и предугадать социально-экономические явления, сделать правильные выводы и внести коррективы в управление экономическим процессом.

Исследования связей осуществляются в условиях массового наблюдения при действии случайных факторов и формализуются они в виде экономико-статистических моделей. В широком смысле модель – это аналог или условный образ какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий «оригинал». Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса. Она даёт возможность установить основные закономерности изменения функциональных и статистических связей оригинала. В модели оперируют количественными и качественными показателями однородных массовых явлений - совокупностей. Статистические связи устанавливаются при расчёте средних значений моделируемого показателя по набору множества значений доминирующих факторов. Эти связи позволяют выявить степень воздействия как отдельных факторов, так и всей совокупности факторов, на изучаемый процесс.

Целью данной курсовой работы является изучение методов получения таких ЭСМ, как трендовые и корреляционные модели, а также определение с их помощью тесноты связей между различными факторами и закономерностей развития описываемых событий.

1. Задание по курсовой работе

Составить таблицу исходных данных производительности завода по годам в интервале 1, где N – количество лет, подлежащих исследованию. Производительность формируется в соответствии с моделью:

a₀ + a₁t + a₂f(t), 0<t£7 (0.1)

Y_t=

Y_t=7 – 0,5a₁(t-7) + a₂f(t), 7<t£13, (0.2)

где:

a₀= 10v, v – номер варианта (номер фамилии студента в списке группы);

a₁ = v + 0,2Г, Г – номер группы (последние цифры в номере группы, например, для группы 9ЭФМе-2 принять Г = 2);

a₂ = 0,5v;

sin 1,57t для четных v

f(t) =

сos 1,57t для нечетных v

Для упрощения расчетов воспользоваться следующей таблицей (0.1)

Таблица (0.1)

t				Sin 1,57t	Cos 1,57t
0	4	8	12	0	1
1	5	9	13	1	0
2	6	10		0	-1
3	7	11		-1	0

Определить простую среднюю арифметическую ;
Получить трендовую модель с выравнивающей функцией = A + Bt способами:

расчленением динамического ряда на 2 части;
выравниванием методом наименьших квадратов;
методом наименьших квадратов (МНК) с подбором начала отсчета в середине динамического диапазона.

Провести выравнивание по квадратичной формуле = A + Bt + Ct²методом наименьших квадратов с подбором начала отсчета в середине динамического диапазона;
С использованием коэффициента вариации определить точность полученных МНК линейной и параболической трендовых моделей;
Выбрать из конкурирующих достоверную модель и провести интерполяцию уровня динамического ряда при t = 10,5 и экстраполяцию (прогноз) при t = 15;
Построить корреляционную модель следующего производственного процесса: пусть 13 одноотраслевых заводов выпускают однотипную продукцию Y_x в некоторых условных единицах. Производительность завода связана с количеством рабочих х_i на заводе. Определить уравнение связи между объемом выпускаемой продукции Y_x и количеством х_iрабочих на заводе: Y_x= f(x_i).

В качестве исходных в таблице данных принять исходную расчетную таблицу для трендовых моделей, осуществив замену:

Y_x = Y_t

х_i = 100 t_i.

Для упрощенных расчетов перейти к новой независимой переменной:

x_i = X _i/ 100;

Определить коэффициент корреляции конкурирующих описаний;
Найти оптимальное количество рабочих на заводе, обеспечивающее максимальный выпуск продукции;
Представить график исходных данных, а также графическое изображение результатов корреляционного моделирования.

2. Выполнение задания по курсовой работе

Таблица исходных данных производительности завода по годам в течение 13 лет.

Пусть задание дается для группы 9ЭФМе-2.Фамилия студента в списке группы включена под нечетным номером 5. Тогда в соответствии с заданием коэффициенты исходной модели примут значения:

v = 5; Г = 2; N=13;

а₀= 10٭v = 50;

a₁ = v + 0,2٭Г = 5 + 0,2٭2 = 5.4;

a₂=0,5٭v = 0,5٭5 = 2,5;

f(t)= cos 1,57t.

Модель производительности завода (уравнения (0.1) и (0.2)) с учетом значений подсчитанных коэффициентов примет вид:

50 + 5.4t + 2.5cos1,57t, 0 < t ≤ 7;

Y_t= Y_t=7 – 0,5٭5.4٭(t - 7) + 2.5 cos 1,57t, 7 < t ≤ 13.

Значения cos 1,57t при изменении аргумента t от 0 до 13 определяются из таблицы (0.1).

Расчет значений производительности предприятия по годам определяется по вышеприведенным формулам:

Y_t=1₌ 50+5.4*1+2.5cos1.57*1=50+5.4+2.5*0=55.4;

Y_t=2₌50+5.4*2+2.5cos1.57*2=50+10.8-2.5=58.3;

Y_t=3₌50+5.4*3+2.5cos1.57*3=50+16.2+0=66.2;

Y_t=4₌50+5.4*4+2.5cos1.57*4=50+21.6+2.5=74.1;

Y_t=5₌50+5.4*5+2.5cos1.57*5=50+27+0=77;

Y_t=6₌50+5.4*6+2.5cos1.57*6=50+32.4-2.5=79.9;

Y_t=7₌50+5.4*7+2.5cos1.57*7=50+37.8+0=87.8; Y_{t = 7} =87.8;

Y_t=8=87.8-0.5*5.4(8-7)+2.5cos1.57*8=87.6;

Y_t=9=87.8-0.5*5.4(9-7)+2.5cos1.57*9=82.4;

Y_t=10=87.8-0.5*5.4(10-7)+2.5cos1.57*10=77.2;

Y_t=11=87.8-0.5*5.4(11-7)+2.5cos1.57*11=77;

Y_t=12=87.8-0.5*5.4(12-7)+2.5cos1.57*12=76.8;

Y_t=13=87.8-0.5*5.4(13-7)+2.5cos1.57*13=71.

Полученные значения включаем в таблицу 1 при этом дополнительно включаем в нее во второй столбец t² и в четвертый столбец произведение Y_tt, необходимые для дальнейших расчетов.

Таблица исходных данных Таблица 1

1	2	3	4
t	t²	Y_t	Y_tt
1	1	55.4	55.4
2	4	58.3	116.6
3	9	66.2	198.6
4	16	74.1	296.4
5	25	77	385
6	36	79.9	479.4
7	49	87.8	614.6
8	64	87.6	700.8
9	81	82.4	741.6
10	100	77.2	772
11	121	77	847
12	144	76.8	921.6
13	169	71.6	930.8
∑ t=91	∑ t² =819	∑Y_t=971,3	∑Y_tt = 7059,8

3. Определение простой средней арифметической _ар:

_ар = ∑Y_t/ N; (1)

_ар = 971,3/13=74,71;

_ар = 74,71.

4. Трендовые модели

4.1.Трендовые модели с линейной выравнивающей функцией

Основная цель анализа состоит в подборе параметров выбранной выравнивающей функции таким образом, чтобы суммарные отклонения результатов эксперимента Y_t от результатов, полученных по идентифицированной корреляционной функции , равнялись нулю.

Используя в качестве выравнивающей линейную функцию, получим трендовую модель следующими способами.

4.2. Метод расчленения исходных данных динамического ряда

Делим динамический ряд 1 на количество частей, равное количеству неизвестных коэффициентов выравнивающей функции.

Получим трендовую модель с выравнивающей функцией

= A + Bt (2)

Запишем функцию цели:

S = (Y_t – ) =0 (3)

Подставим (2) в (3)

S = (Y_t – A - Bt) =0 (4)

Расчленим динамический ряд на 2 части (по числу определяемых коэффициентов – А и В).

Приведем систему исходных уравнений, записанных для каждой из двух частей:

(Y_t – A - Bt) =0; (5)

(Y_t – A - Bt) =0 . (6)

Теперь перейдем к системе нормальных уравнений:

Аt₁+Bt=; (7)

A(N-1)+Bt=Y_t . (8)

Первая часть (см. табл.1) составлена по годам от 1 до 6, а вторая – от 7 до 13, так, что t=1, t₁=6, t₁+1=7, N=13.

Подставив в уравнение (7) подсчитанные для первой части табл.1 суммы: t; Y_t, и в уравнение (8) для второй части - суммы: t; Y_t , получим:

6A + 21B = 410,9 (9)

7A + 70B = 560,4 (10)

Выразим из уравнения (10) параметр А:

A= 80.05-10B (11)

Подставим (11) в уравнение (9), получим

6(80.05-10B)+21B=410.9. Откуда:

B=1.77 (12)

Подставим (12) в (9), получим

A=62.35 (13)

Линейная корреляционная функция окончательно примет вид:

=62.35+1.77t . (I) (14)

4.3. Выравнивание методом наименьших квадратов (МНК)

В качестве целевой функции в данном методе используется функционал

S = ( Y_t–)²→ min, (15)

представляющий собой минимизируемую сумму квадрата отклонений экспериментальных значений Y_t от соответствующих результатов, полученных по выравнивающей функции . Принципиальные отличия функционала (15) от (3) состоят в следующем. Для функционала (3) весь диапазон исходных данных приходится разбивать на равные части, количество которых должно быть равно количеству определяемых коэффициентов выравнивающей функции (А,В,С и т.д.). В функционале (15) интервал суммирования охватывает весь диапазон от t=1 до t= N и сам функционал стремится к min, а разность ( Y_t –) возводится в квадрат.

Примем в качестве выравнивающей линейную функцию

= A + Bt (16)

Так как мы используем весь заданный интервал для t (от 1 до 13), то при написании знака суммы пределы суммирования опустим.

Подставим (16) в (15)

S=∑( Y_t– A - Bt)²→min. (17)

Функционал (17) содержит два неизвестных коэффициента (АиВ). Для получения двух уравнений запишем частные производные функционала по неизвестным коэффициентам:

= 2 ∑( Y_t– A - Bt)*(-1)=0, (18)

= 2 ∑( Y_t– A - Bt)*(-t)=0. (19)

Перепишем эту систему в виде нормальных уравнений

NА + В∑t = ∑Y_t, (20)

А∑t + В∑t²= ∑Y_tt. (21)

Подставим в полученную систему из табл.1 расчетные параметры:∑t ; ∑Y_t ; ∑t²; ∑Y_tt:

13A+91B=971.3; (22)

91A+819B=7059.8 . (23)

Решением системы уравнений (22) и (23) является результат:

A= 64.71, B=1.43. (24)

Полученное уравнение тренда примет вид:

= 64.71+1.43t . (II) (25)

Выравнивание методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического ряда

В этом случае начало координат переносится в середину динамического ряда таким образом, чтобы количество значений аргумента слева от начала координат было равно количеству значений справа. Для нашего случая середина диапазона изменения аргумента совпадает с точкой t=7. Эта точка принимается за нуль. Тогда слева от нуля записываются отрицательные значения времени (по годам), справа – положительные. В этом случае сумма нечётных степеней аргумента равна нулю

∑t= ∑ t³ = ∑t⁵= …0. (26)

Пусть в качестве выравнивающей принята линейная функция:

= A + Bt (27)

Тогда система нормальных уравнений примет вид

NА + В∑t = ∑Y_t, (28)

А∑t + В∑t²= ∑Y_tt. (29)

С учетом (26) система уравнений (28)-(29)запишется как:

NА= ∑Y_t , (30)

В∑t²= ∑Y_tt. (31)

Составим новую таблицу данных в связи с переносом оси ординат в середину диапазона аргумента t, то есть в точку t=7:

Таблица 2

1	2	3	4	5	6
t	t²	Y_t	Y_tt	t⁴	Y_tt²
-6	36	55.4	-332.4	1296	1994.4
-5	25	58.3	-291.5	625	1457.5
-4	16	66.2	-264.8	256	1059.2
-3	9	74.1	-222.3	81	666.9
-2	4	77	-154	16	308
-1	1	79.9	-79.9	1	79.9
0	0	87.8	0	0	0
1	1	87.6	87.6	1	87.6
2	4	82.4	164.8	16	329.6
3	9	77.2	231.6	81	694.8
4	16	77	308	256	1232
5	25	76.8	384	625	1920
6	36	71.6	429.6	1296	2577.6
∑t=0	∑t²=182	∑Y_t = 971.3	∑Y_tt=260.7	∑t⁴=4550	∑Y_tt²=12407.5

Подставив в (30) и ( 31) вычисленные в табл.2 значения : ∑Y_t , ∑t² , ∑Y_tt, получим:

13A = 971.3

182B = 260.7

Откуда

A=74.71; B=1.43. (32)

Таким образом, трендовая модель может быть записана как:

=74.71+1.43. (III) (33)

4. 5. Трендовые модели с квадратичной выравнивающей функцией

Выравнивание по квадратичной функции осуществим методом наименьших квадратов с началом отсчёта в середине динамического диапазона.

Это задание решается аналогично двум предыдущим. Запишем функционал

S =∑( Y_t–)²→min. (34)

Пусть выравнивающая функция представлена квадратичной функцией

=A+Bt+Сt² . (35)

Подставим (35) в (34)

S=∑( Y_t– A – Bt - Сt²)²→min. (36)

Запишем (36) в частных производных по искомым параметрам А, В и С:

= 2 ∑( Y_t – A – Bt - Сt²)*(-1)=0, (37)

= 2 ∑( Y_t – A – Bt - Сt²)*(-t)=0, (38)

= 2 ∑( Y_t– A – Bt - Сt²)*(-t²)=0. (39)

В нормальной форме система уравнений (37) – (39) может быть представлена в виде

NА + В∑t + С∑t²= ∑Y_t , (40)

А∑t + В∑t² +С∑t³= ∑Y_tt, (41)

А∑t² + В∑t³ +С∑t⁴= ∑Y_tt². (42)

Так как ∑t=∑t³=0, то система нормальных уравнений примет вид:

NА + С∑t² = ∑Y_t, (43)

В∑t² = ∑Y_tt, (44)

А∑t² +С∑t⁴= ∑Y_tt² . (45)

Подставим данные табл.2 в систему уравнений (43) – (45) и получим:

13A + 182C = 971,3;

182B = 260,7;

182A + 4550C = 12407,5.

Решение этой системы уравнений дает возможность получить искомые коэффициенты:

A = 82.92; B = 1.43; C = - 0.59. (46)

Тогда квадратическая трендовая модель примет вид:

= 82.92+ 1.43t – 0.59t² . (IV) (47)

4.6. Определение коэффициентов вариации трендовых моделей

С использованием коэффициентов вариации V_r по формуле (48) определим точность полученных методом наименьших квадратов линейной модели-11(уравнение (25)) и параболической модели-1V(уравнение (47))

V_r= (48)

Исходные данные для расчета входящих в уравнение (48) составляющих параметров представлены в таблице 3.

Таблица 3

1	2	3	4	5	6	7	8	9
t (2)	t(4)	Y_t	Y_tмодель-11	Y_t-	(Y_t-)²	Y_t модель1V	Y_t-	(Y_t-)²
1	-6	55.4	66.14	-10.74	115.3	53.1	2.3	5.29
2	-5	58.3	67.57	-9.27	85.93	61.02	-2.72	7.39
3	-4	66.2	69	-2.8	7.84	67.72	-1.56	2.43
4	-3	74.1	70.43	3.67	13.46	73.32	0.78	0.60
5	-2	77	71.86	5.14	26.41	77.7	-0.7	0.49
6	-1	79.9	73.29	6.61	43.69	80.9	-1	1
7	0	87.8	74.72	13.08	171.08	82.92	4.88	23.81
8	1	87.6	76.15	11.45	131.10	83.76	3,84	14,74
9	2	82.4	77.58	4.82	23.23	83.42	-1.02	1.04
10	3	77.2	79.01	1.81	3.27	81.9	-4.7	22.09
11	4	77	80.44	-3.44	11.83	79.4	-2.4	5.76
12	5	76.8	81.87	-5.07	25.70	75.32	1.48	2.19
13	6	71.6	83.3	-11.7	136.8	70.26	1.34	1.79
=91	=0	∑Y_t = 971.3	Y_t=64.71+1.43t		∑=795.7	Y_t=82.92+ 1.43t– 0.59t²		∑=88,62

Информационные технологии управления. 3 📙 Курсовая → 🆔 93330

Информационные технологии управления. 3

∑=795.7

∑=88,62