Инверсия на экране компьютера

Курсовая работа

ИНВЕРСИЯ НА ЭКРАНЕ КОМПЬЮТЕРА

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1 ИНВЕРСИЯ 5

1.1 Основные понятия 5

1.2 Свойства инверсии 5

1.3 Построение образов при инверсии 6

1.3.1 Построение образа точки 6

1.3.2 Построение образа прямой, не проходящей через центр инверсии 7

1.3.3 Построение образа окружности, проходящей через центр инверсии 7

1.3.4 Построение образа окружности, не проходящей через центр инверсии 8

2 ПРОГРАММА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНСТРУКТОР» 9

2.1 Общие сведения 9

2.2 Структура программы 10

3 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 14

3.1 Создание инструментов инверсии. 14

3.2 Создание динамических моделей 16

3.3 Создание обучающего модуля по теме «Инверсия» 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 24

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 25

ВВЕДЕНИЕ

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В вузовском курсе геометрии довольно подробно изучаются преобразования движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. На этом и других замечательных свойствах инверсии основывается ее поразительная эффективность при решении разнообразных геометрических задач. Особенно удобно решать задачи на геометрические построения, связанные с касающимися окружностями, которые другими средствами (преобразованиями) решаются сложно или вообще не поддаются решению.

При традиционном решении задач по геометрии требуются многочисленные построения с использованием чертежных инструментов. Это занимает большое количество времени. Зачастую, условия задач, решаемых с помощью преобразования инверсии, не говоря уже о самом решении, громоздки и наглядны только в том случае, если использованы карандаши разного цвета. Решение также усложняется при разного рода допускаемых ошибках, и иногда приходится заново все перечерчивать. Также стоит заметить, что скорость восприятия материала у всех разная, и то, что дается на лекциях или практических занятиях, не всегда может быть усвоено всеми студентами.

Создание обучающего компьютерного модуля по теме «Инверсия» дает возможность намного упростить восприятие студентами изучаемого материала, решение некоторых задач, которые к тому же можно будет сразу проверить, удалить ненужное построение, исправить ошибки или же рассмотреть пошаговое решение задачи. Программа «Математический конструктор» позволяет создавать наглядные динамические модели и даже сами инструменты инверсии, такие как, к примеру, инверсия окружности, не проходящей через центр инверсии. Также с ее помощью можно рассмотреть все случаи решения той или иной задачи, рассмотреть частный случай и т. д. В выше сказанном и раскрывается актуальность темы моей курсовой работы.

Цель работы: создание обучающего модуля для студентов физико-математического факультета по теме «Инверсия».

Для решения поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:

• познакомиться с программой «Математический конструктор»;
• создать средствами программы «Математический конструктор» инструменты инверсии;
• создать динамические модели, демонстрирующие свойства преобразования инверсии.

Содержание курсовой работы изложено в трех разделах:

1. Инверсия;

2. Программа «Математический конструктор»;

3. Практическая часть.

Все выводы по проделанной работе сформулированы в «Заключении».

1 ИНВЕРСИЯ

1. Основные понятия

Пусть на плоскости выбрана точка Р и задано положительное число R2.

Каждой точке М плоскости, отличной от точки Р, поставим в соответствие точку М’, удовлетворяющую двум условиям:

1. М’ лежит на луче РМ;
2. РМ × РМ’ = R2;

Т.к. РМ × РМ’ ≠ 0, то при заданном отображении точке Р не соответствует никакая точка плоскости и точка Р не является образом ни одной точки плоскости. Другими словами, точка Р при заданном отображении не имеет ни образа, ни прообраза. Удалим точку Р из плоскости. Тогда в «проколотой» плоскости рассматриваемое отображение биективно, т.е. является преобразованием и называется преобразованием инверсии с центром в точке Р и степенью R2. Иногда точку Р называют полюсом инверсии. Число R > 0 называют радиусом инверсии.

1.2    Свойства инверсии

Рассмотрим некоторые свойства инверсии:

1. Внутренние точки окружности инверсии преобразуются во внешние и наоборот; точки самой окружности инверсии остаются неподвижными, то есть преобразуются сами в себя.
2. Преобразование, обратное для данной инверсии, есть также инверсия, то есть если точка M переходит при инверсии в точку M', то одновременно, обратно, точка M' переходит в точку M. Преобразования, обладающие указанным свойством, называются инволюциями. Инверсия вместе с центральной и осевой симметриями являются инволюциями. Точки M и M' называются взаимно инверсными.
3. Если точка, находясь внутри базисной окружности, сколь угодно близко приближается к центру инверсии, то ее образ неограниченно удаляется от базисной окружности, уходя в бесконечность. Если же внутренняя точка приближается к базисной окружности, то ее образ – точка внешняя по отношению к базисной окружности – тоже приближается к базисной окружности извне.
4. Прямые, проходящие через центр инверсии, при инверсии отображаются на себя.
5. Прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, причём касательная к этой окружности в центре инверсии параллельна данной прямой.
6. Окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую, не проходящую через центр инверсии.
7. Окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, не проходящую через центр инверсии.
8. Инверсия есть конформное преобразование, то есть при инверсии угол между двумя кривыми в точке их пересечения сохраняется.

1.3    Построение образов при инверсии

Дана базисная окружность некоторого радиуса R с центром в точке Р.

1.3.1 Построение образа  точки

При нахождении образа точки при инверсии возможны три случая, каждый из которых имеет свои особенности. Рассмотрим их по порядку.

1. Точка М принадлежит базисной окружности. Тогда М = М`.
2. Точка М находится внутри базисной окружности, тогда
1. [PM),
2. [MK] [PM), K
3. [PK], (KM’) (PK),
4. (KM’) [PM) = M’. [Рисунок 1]

Рисунок 1

3. Точка М находится вне базисной окружности, тогда
1. [PM),
2. Из точки М проводим касательную к базисной окружности: (KM),
3. (KM’), (KM’) [PM),
4. (KM’) [PM) = M’. [Рисунок 2]

Рисунок 2

1.3.2 Построение образа  прямой, не проходящей через центр  инверсии

При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, отображается на себя, поэтому построений никаких не нужно.

А прямая, не проходящая через центр инверсии, при инверсии преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, поэтому

1. (PA), (PA) a, (PA) a = A,
2. A’ – образ точки А при инверсии,
3. S’ (OA’), [OS’] = [S’A’],
4. (S’, OS’). [Рисунок 3]

Рисунок 3

1.3.3 Построение образа  окружности, проходящей через центр  инверсии

Окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется при инверсии в прямую, не проходящую через центр инверсии.

1. [PO),
2. [PO) = D,
3. D’ – образ точки D при инверсии,
4. a, a [PO), D’ a. [Рисунок 4]

Рисунок 4

1.3.4 Построение  образа окружности, не проходящей  через центр инверсии

Окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется при инверсии в окружность, не проходящую через центр инверсии.

1. (PO),
2. (PO) = F, (PO) = E,
3. F’ – образ точки F при инверсии,
4. E’ – образ точки E при инверсии,
5. S (PO), [F’S] = [SE’],
6. (S’, F’S). [Рисунок 5]

Рисунок 5

2. ПРОГРАММА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНСТРУКТОР»

2.1 Общие сведения

Математический конструктор – программа динамической геометрии.

Программная среда «Математический конструктор» предназначена для создания интерактивных моделей по математике, сочетающих в себе конструирование, моделирование, динамическое варьирование, эксперимент. Динамический наглядный механизм «Математического конструктора» предоставляет младшим школьникам возможность творческой манипуляции с объектами, а ученикам старшей школы – полнофункциональную среду для конструирования и решения задач.

Интерактивные динамические системы признаны во всем мире наиболее эффективным средством обучения математике с применением информационно-компьютерных технологий. В отличие от традиционного рисунка – геометрического чертежа или графика функции, выполненных на листе бумаги или с помощью «обычных» систем компьютерной графики, построение, созданное с помощью такой системы, – это модель, сохраняющая не только результат построения, но и его исходные данные, алгоритм и зависимости между объектами. При этом все данные легкодоступны для изменения (можно перемещать мышью точки, варьировать размеры, вводить с клавиатуры новые значения числовых данных и т.п.). И эти изменения тут же, в динамике, отражаются на экране компьютера.

«Математический конструктор» – первая российская разработка мирового класса в области интерактивных динамических систем для школьников. Программная среда разработана с учетом требований, предъявляемых российской школой и российской традицией преподавания математики. Впервые уникальный опыт лучших педагогов-математиков и пожелания российских пользователей учитываются и используются отечественными разработчиками.

"Математический  конструктор" – это виртуальная  геометрическая среда, основанная  на принципе динамической геометрии  и разработанная с учетом требований, предъявляемых российской школой, российской традицией преподавания  математики и накопленным авторами  и разработчиками опытом работы  с аналогичными программами.

Поясним идею, лежащую в основе систем этого типа. Грубо говоря, любой геометрический чертеж получается в результате применения к некоторым данным – точкам, линиям, числовым параметрам (таким, как длина отрезка или величина угла) некоторой последовательности построений: в простейшем случае классических построений циркулем и линейкой. Другими словами, это результат применения к данным некоторого алгоритма построения, использующего определенный набор операций. Именно этот чертеж-результат и является продуктом "обычных" систем компьютерной графики в их чисто геометрической ипостаси. В отличие от него, чертеж, созданный в среде динамической геометрии, – это модель, сохраняющая не только результат построения, но и исходные данные, алгоритм и зависимости между фигурами. При этом все данные легкодоступны для изменения (можно перемещать мышью точки, варьировать данные отрезки, вводить с клавиатуры новые значения числовых данных и т.п.). И результат этих изменений тут же, в динамике, виден на экране компьютера.

Любые чертежи в "Математическом конструкторе", в отличие от начерченных на бумаге или на классной доске, относятся не к индивидуальной геометрической фигуре, а к целому непрерывному семейству фигур. В связи с этим при работе в этой среде следует воспринимать элементы чертежа как переменные, а фигуры – как деформируемые.

1. Структура программы

Программа «Математический конструктор», как и многие программы системы Windows имеет заголовок, строку меню, панель инструментов, палитру красок, строку состояния и рабочую область.

Строка меню содержит пункты: файл, правка, построения, графики, вычисления, вид, кнопки,  мои инструменты, справка. Некоторые, наиболее используемые из подкоманд данных пунктов вынесены отдельно на панель инструментов. Меню «Файл» имеет стандартные команды для работы с файлом, а также позволяют экспортировать файл в изображение или апплет. Модели-апплеты становятся независимыми от главной программы, с которыми можно работать при помощи любого современного браузера с установленным плагином Java. Запускаться они могут как с локального компьютера пользователя, так и через Интернет.

В режиме апплета построение ведет себя несколько иначе – прячутся все функции разработчика (главное меню и панель инструментов) и предоставляется иной, специально настроенный для данной модели, набор инструментов. Также вступают в силу ограничения на поведение в апплете, которые можно задать на вкладке «Общие свойства объектов» в диалоге редактирования объекта.

Все, что пользователь сам создает в модели, доступно ему для редактирования, в отличие от заранее созданных объектов, редактирование которых может быть запрещено автором модели.

Модель-апплет состоит из:

• стартового html-файла для запуска апплета;
• Java-апплета "Математического конструктора" (mathkit-applet.jar);
• файла построения (с расширением mk или mkz);
• дополнительных необязательных файлов (индикатора загрузки, других изображений, стилевых файлов и т.п.).

Меню «Правка» состоит из команд:

• Отменить/Вернуть;
• Буфер обмена, дублирование, удаление;
• Инструменты выбора и перемещения;
• Скопировать стиль;
• Навигация предки/потомки;
• Подменить точку другой;
• Привязать/Отвязать точку;
• Свойства объектов;
• Параметрические свойства.

В меню «Построения» находятся следующие инструменты:

• Точки;
• Отрезки, векторы, лучи, прямые;
• Области;
• Многоугольники;
• Окружности и дуги;
• Конические сечения;
• Геометрическое место точек;
• Динамический след;
• Следы;
• Преобразования.

Меню «График» содержит команды:

• Функция;
• Функция двух переменных;
• Фрейм с системой координат;
• График;
• Графики простейших функций;
• Кривая, заданная параметрически;
• Продифференцировать функцию;
• Точка экстремума;
• Касательная к кривой;
• Преобразования графиков;
• Область над/под графиком;
• Действия с областями.

Меню «Вычисления» содержит пункты для нахождения значений и величин разного типа:

• Произвольное выражение;
• Параметр;
• Измерения;
• Арифметические действия.

Меню «Вид» позволяет работать с:

• Показывать все скрытое;
• Изменить масштаб;
• Вернуться к исходному масштабу;
• Сдвинуть лист;
• Вернуться к центру;
• Скрыть/показать;
• Цвет;
• Стиль линии;
• Стиль точки;
• Выровнять;
• Обозначение или текстовое поле;
• Отметка отрезка штрихами;
• Отметка угла;
• Листы.

В меню «Кнопки» есть возможность создавать кнопки, выполняющие разные функции, записанные на скриптовом языке:

• Новая кнопка;
• Кнопка "Перезагрузить чертеж на листе";
• Кнопка "Показать/скрыть объекты";
• Кнопка "Показать объекты";
• Кнопка "Скрыть объекты";
• Кнопка "Анимация точки или параметра";
• Кнопка "Транспортация точки";
• Кнопка "Двигать точку";
• Кнопка "Перейти на другой лист";
• Кнопка "Выполнить несколько команд";
• Кнопки проверки ответа;
• Поле ввода ответа;
• Чекбокс.

Меню мои инструменты может содержать уже созданные разработчиками программы инструменты, с помощью которых значительно упрощается построение, или же содержать созданные пользователем, с помощью данной программной среды, инструменты.

И наконец, меню справки содержит информацию о самой программе, описание основных команд, инструментов, возможностей среды «Математический конструктор». Также в справке можно найти описание ошибок, которые можно допустить, и обучающий модуль для знакомства с программой и проверки своих знаний и умений, состоящий из семи занятий.

Более подробную информацию об этой программе можно найти именно в руководстве пользователя, поэтому я не буду все расписывать, лишь укажу на некоторые полезные факты из различных частей Руководства пользователя, знание которых поможет сделать работу с "Математическим конструктором" еще удобнее:

1. Инструмент Выбора/перемещения (Стрелка) можно вызвать не только из меню или с панели инструментов, но и нажатием горячей клавиши V, щелчком правой кнопки мыши, нажатием клавиши Esc (в некоторых случаях – многократным нажатием Esc).
2. Нажатие клавиши Esc в процессе работы инструмента позволяет отменять сделанные шаги инструмента вплоть до сброса на инструмент Выбора/перемещения.
3. Нажатие клавиши Esc также останавливает анимацию.
4. Если на листе имеются объекты, которые оставляют следы, то первое нажатие Esc удаляет все следы с листа, а второе нажатие Esc отключает слежение всех объектов.
5. При помощи клавиши Минус (на основной клавиатуре) можно сделать выделенный луч или прямую укороченными или, наоборот, отключить "укороченность" этих объектов.
6. Масштаб листа или фрейма можно менять, прокручивая колесо мыши с нажатой клавишей Ctrl.
7. При помощи буфера обмена всё построение или его часть можно вставить непосредственно в документы MS Word, MS PowerPoint и другие редакторы, поддерживающие графику.
8. Инструменты арифметических действий позволяют совершать операции не только с выражениями, но и с функциями, векторами, областями и даже преобразованиями в случаях, когда выбранная операция с указанными объектами имеет смысл.
9. Существенно упростить работу по изготовлению моделей поможет знакомство с горячими клавишами для вызова инструментов, приведенных в Кратком справочнике.
 

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Цель: создать в HTML обучающий модуль, который будет содержать задачи с проверкой и решением, а также динамические модели.

Задачи:

• создать инструменты инверсии;
• создать динамические модели;
• подобрать и создать задачи с решением и проверкой;
• оформить обучающий модуль.

Программное обеспечение: Математический конструктор.

1. Создание инструментов инверсии

Для упрощения дальнейшей работы удобно было создать инструменты инверсии, такие как инверсия точки, инверсия прямой, не проходящей через центр инверсии, инверсия окружности, проходящей через центр инверсии и инверсия окружности, не проходящей через центр инверсии.

Рассмотрим создание инструментов инверсии на примере инверсии окружности, не проходящей через центр инверсии. Как известно, при инверсии данная окружность переходит в окружность, не проходящую через центр инверсии.

Условие: Дана окружность-прообраз с центром в точке Р, не проходящая через центр инверсии О [Рисунок 6]. Построить ей инверсную окружность-образ.

Рисунок 6

Построение:

1. Проводим прямую через центр базисной окружности О и центр окружности-прообраза Р. Отмечаем точки пересечения окружности-прообраза с получившейся прямой. Это точки А и В [Рисунок 7].
2. Строим для точек А и В им инверсные. А→A’, B→B’(Рисунок 2).

Рисунок 7

3. Находим середину отрезка B’A’: точка Р’. Получившаяся точка является центром искомой окружности-образа. Строим ее [Рисунок 8].

Рисунок 8

Затем выделим последовательно: центр базисной окружности О, радиус окружности R, окружность-прообраз, окружность-образ и ее центр. Выбираем в строке меню: Мои инструменты – Новый инструмент. Задаем необходимые параметры в окне Управление моими инструментами [Рисунок 9] и нажимаем кнопку «ок». Инструмент создан.

Рисунок 9

По подобному принципу, используя необходимые инструменты для построения и выделяя необходимые объекты, создаются все остальные инструменты инверсии.

2. Создание динамических моделей

Динамические модели создавались мной на основе созданных ранее инструментов с целью рассмотрения пользователями различных вариантов решения той или иной задачи (нет решений, решений несколько и т.д.). Их можно двигать, менять радиус базисной окружности, размеры объектов, их расположение.

Для включения в обучающий модуль мною были подобраны 16 задач из пособия методических рекомендаций «Геометрические построения на плоскости» А.М. Петруковича и пособия для студентов педагогических ВУЗов «Геометрические построения на плоскости» Б.И. Аргунова и М.И. Балка. Задачи подобраны так, чтобы их удобно было решать с помощью возможностей программной среды «Математический конструктор». Для каждой задачи создан отдельно лист с проверкой, где пользователь должен будет сам сделать построения и проверить правильность своего решения и лист с пошаговым решением, если пользователь затрудняется решить задачу. В некоторых задачах, где это было возможно, есть указания к задаче. И несколько задач помимо всего имеют листы с анализом.

Создание динамических моделей рассмотрим на примере задачи 4.15 из «Геометрических построений на плоскости» А. М. Петруковича.

Условие: Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей. [Рисунок 10]

Рисунок 10

Перед непосредственным построением проводим анализ.

1. Предположим, что мы нашли искомую окружность:

ω (O,OA). [Рисунок 11]

Рисунок 11

2. За базисную окружность удобно будет взять окружность с центром в данной точке А и радиусом – расстояние от А до центра любой из данных окружностей. Например, ω(A, AO1). [Рисунок 12]

Рисунок 12

3. Строим образы при инверсии: ω (O,OA) → прямую а, ω(O1, O1F) → окружность β, ω(O2,O2E) → окружность φ. [Рисунок 13]

Рисунок 13

4. Делаем вывод, что решение сводится к построению прямой а, которая будет касаться одновременно каждого из образов при инверсии данных по условию окружностей.

Теперь переходим к построению:

1. Строим базисную окружность ω(A, AO1), тогда данные по условию окружности, т.к. они не проходят через центр инверсии А, при инверсии будут переходить в другие окружности: υ → υ’, μ → μ’. [Рисунок 14]

Рисунок 14

2. Строим общие касательные к окружностям-образам υ’ и μ’. Здесь необходимо вспомнить знания о построении общей касательной к двум окружностям, полученные ранее. В итоге, у нас будет построено четыре касательные: две внешние a и b и две внутренние c и d (сделать это нам позволяет расположение первоначальных данных). [Рисунок 15]