Инверсия на плоскости

 

 

Содержание

     Введение.................................................................................................3

    1.  Вводные понятия…………………………………………………….5

     1.2   Понятие инверсии плоскости……………………………………..6

     2.   Аналитическое выражение инверсии……………………………..9

     3. Образы прямых и окружностей при инверсии…………………..11

   3.1  Инвариантные окружности инверсии……………………………15

    3.2  Свойства углов и расстояний при инверсии…………………….18

   4.   Инверсия и гомотетия ……………………………………………..22

    5. Применение инверсии при решении задач на построение……...25

    5.1 Применение инверсии при решении задач на доказательство…33

    Заключение……………………………………………………………...38

Литература………………………………………………………………39 
Введение

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В курсе геометрии более подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. При этом утверждение о том, что прямые и плоскости— это окружности и сферы, проходящие через некоторую «идеальную» точку, называемую «бесконечно удаленной точкой» может быть заменено на достаточно понятное утверждение о том, что прямые и плоскости представляют собой «окружности и сферы бесконечного радиуса» . Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего относится к задачам на построение и к некоторым задачам на доказательство. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью искусственных построений, носящих частный характер. Поэтому интересно было бы узнать понятие, свойства инверсии и научиться применять эти знания на практике. Из сказанного вытекает актуальность темы курсовой работы.

Цель  работы – познакомится с понятием инверсии на плоскости, изучить свойства инверсии, рассмотреть связь инверсии и гомотетии, научиться строить образы фигур при инверсии и применять эти знания при решении задач на построение и на доказательство.

Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо было решить следующие задачи:

1. Изучить определения, основные свойства инверсии на плоскости.

2. Рассмотреть формулы аналитического выражения инверсии на плоскости.

3. Научиться строить образы точек, прямых и окружностей при инверсии.
4. Изучить свойства углов и расстояний между точками при инверсии.
5. Рассмотреть  связь инверсии и гомотетии.
6. Научиться решать задачи на построение и на доказательство при помощи инверсии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вводные понятия.

Перед тем как перейти  к изучению инверсии на плоскости  сформулируем определения основных понятий, необходимых для дальнейшего  изложения.

Пусть X и Y - два непустых множества. Если каждому элементу х X ставится в соответствие один-единственный элемент у Y, тo говорят, что задано отображение множества X в множество Y.

Пусть дано отображение f множества X в множество Y. Тогда, если для любых двух различных элементов x₁ и x₂, принадлежащих множеству X, выполняется f(x₁) ≠ f(x₂), то отображение f называется инъективным (или инъекцией).

Отображение f множества X на множество Y называется сюрьективным (или сюрьекцией), если каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз.

Отображение называется биекцией множества X на множество Y , если это отображение является инъекцией и сюрьекцией.

Преобразованием множества X называется биекция множества X на себя.

Напомним определение  гомотетии.

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k≠0 называется преобразование плоскости, которое произвольной точке М ставит в соответствие точку М' такую, что ОМ'=kОМ.

Основное свойство гомотетии: если точка A переходит в A' и B переходит в B' при гомотетии с коэффициентом k, то = k ∙ .

 

Некоторые свойства гомотетии

1. При гомотетии отрезок переходит в отрезок.
2. Гомотетия сохраняет величину углов.
3. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k₁ и k₂,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом k₁k₂. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом .

1.2. Понятие инверсии плоскости.

 

Зададим на плоскости окружность (О, R) и обозначим через Е₀ множество всех точек плоскости без точки О. Каждой точке М множества E₀ поставим в соответствие точку М' так, чтобы она лежала на луче ОМ и

 

ОМ∙ОМ' = R². (1)

 

Получаем преобразование множества Е₀, которое называется инверсией относительно окружности (О, R) или просто инверсией. Окружность (О, R) называется окружностью инверсии, точка О — центром инверсии, а R² — степенью инверсии.

Рассмотрим задачу построения образа точки в данной инверсии.

 

                 Рис. 1

 

Имеется простой способ построения образа M' данной точки M при инверсии. Если точка M лежит вне окружности инверсии, то проведем через нее касательную MT к окружности ω и перпендикуляр из точки T касания на прямую OM (рис. 1). Основание M' этого перпендикуляра и является образом точки M при инверсии относительно окружности. Из подобия треугольников OMT и O T M' имеем: OM:OT = OT:OM', откуда OM • OM' = OT² = R².

Из определения инверсии следует, что в инверсии соответствие между точками множества Е₀ взаимно, поэтому если M→M', то M'→M, т.е. преобразование, обратное данной инверсии, совпадает с той же инверсией. По этой причине образ M точки M' строится в обратном порядке.

Если M ω, то OM • OM = R² и поэтому точка M отображается на себя. Значит, и вся окружность ω инверсии отображается на себя (является множеством неподвижных точек). Других неподвижных точек инверсия не имеет.

Отметим простейшие свойства инверсии, непосредственно вытекающие из определения.

1. Если точка M' инверсна точке M, то и обратно: точка M инверсна точке M'.
2. Если при инверсии фигура Ф преобразуется в фигуру Ф', то фигура Ф' преобразуется в фигуру Ф (Рис. 2).

 

                   Рис. 2

 

3. Каждая точка окружности инверсии инверсна самой себе.
4. Если данная точка лежит вне окружности инверсии, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот.

Это вытекает из равенства (1).

5. Если точка, лежащая вне окружности инверсии, неограниченно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка (внутри базисной окружности) неограниченно приближается к центру инверсии. Верно и обратное предложение.
6. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя. При этом часть луча, внутренняя относительно окружности инверсии, преобразуется в его внешнюю часть, и наоборот.

2. Аналитическое выражение инверсии.

 

Зададим прямоугольную декартову  систему координат с началом  в центре O инверсии. Если М(х, у)→М'(x', y'), то =λ при λ>0. При условии ∙ =R², получим λ= .

Эти равенства в координатах  запишутся так:

 

x'=λx, y'=λy, где λ>0; (2)

xx'+yy'=R². (3)

 

Подставив значения x' и y' из равенства (2) в равенство (3), получаем: λ(x²+y²)=R². Так как точка М не совпадает с точкой О, то x²+y²≠0, поэтому λ= . Подставив значение λ в равенство (2), окончательно получаем аналитическое выражение инверсии:

 

x'= , y'= . (4)

 

Так как М'(х', у')→М(х, у) при этой инверсии, то

x= , y= . (5)

 

Как видим, эти формулы  не линейные. Поэтому образом произвольной прямой Ax+By+C=0 при C≠0 не будет прямая линия, т.е. инверсия не является аффинным преобразованием.

Пример 1. Определить пропущенные координаты точек А'(5, ...) и

A(..., 2), если известно, что точка А' является образом точки А при инверсии с центром в начале координат и радиусом инверсии R= 5.

Решение.

Используем формулы, полученные ранее. Учитывая, что О(0, 0) и R = 5 можно записать х= , у = . Подставив известные координаты, легко получить

 

,

 x₁ = 10, у₁' = 2 и х₂ = 2,5, y₂' = 4.

 

Следовательно, эта задача имеет два решения:

1. А'(5, 10), А(1, 2);
2. А'(5, 2,5), А(4, 2).

Пример 2. Пусть центр инверсии совпадает с началом системы координат, а степень инверсии R² = 1. Записать в той же системе координат уравнение образа параболы у - 2рх = 0.

Решение. Подставляя в уравнение параболы х и у из формул аналитического выражения инверсии (5), можно вывести равенство:

                   Рис. 3

.

Умножив это равенство  на , получим: , или . Заменяя х' на х, у' на у, получим: . Откуда . Известно, что уравнение

Рис. 3 определяет и циссоиду Диоклеса. Если R² = 1, то параметр этой кривой равен (рис. 3). 

3. Образы прямых и окружностей при инверсии.

 

Формулы (4) и (5) дают возможность  найти образы прямых и окружностей  при инверсии.

Теорема 1. Прямая, проходящая через центр О инверсии 
(без точки О), переходит в себя, а прямая, не проходящая 
через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через 
центр инверсии.

Доказательство. Первая часть теоремы непосредственно следует из определения инверсии, поэтому докажем только вторую часть теоремы.

Пусть, Ах+Ву+С=0 — уравнение произвольной прямой, не проходящей через центр инверсии. Если в этом уравнении х и у заменить выражениями (5), то получим уравнение образа этой прямой:

 

х'²+у'²+А∙R²x'+B∙R²y'=0.  (6)

 

Этим уравнением задается окружность, проходящая через точку О.

Следствие 1. Если прямая d, не проходящая через центр О инверсии, переходит в окружность (О₁, R), то прямые ОО₁ и d перпендикулярны.

Доказательство. Из уравнения (6) находим координаты центра О₁ окружности (О₁, R): О₁ (- , - ). Таким образом, вектор (- ,- ) перпендикулярен прямой d, заданной уравнением Ах + Ву +1 =0.

Пользуясь следствием 1, легко  указать способ построения образа ω прямой d, не проходящей через центр О инверсии.

Пусть Н — основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности инверсии γ к прямой d, а Н' — образ этой точки (рис. 4, а). Тогда ω есть окружность, построенная на отрезке ОН' как на диаметре. Если прямая d пересекает окружность инверсии γ в двух точках (на рис. 4, б точки А и В), то окружность ω проходит через точки А, В и О.

 

Рис. 4

Теорема 2 . Окружность, проходящая через центр О инверсии (без точки О), переходит в прямую, не проходящую через точку О. Окружность, не проходящая через точку О, переходит в окружность, также не проходящую через точку О, причем точка О лежит на линии центров этих окружностей.

Доказательство. Пусть

 

х² + у² + Ах + Ву + С=0 –  (7)

 

уравнение произвольной окружности ω. Если в этом уравнении х и у заменить их выражениями (5), то получим уравнение образа ω' окружности

 

ω: .

 

Умножив обе части равенства  на (если , то точка О(0, 0) будет принадлежать данной окружности) получим, .

Это уравнение приводится к виду:

 

C(x'² + y'²)+AR²x' + BR²y' + R⁴=0.  (8)

 

Если окружность со проходит через центр инверсии, то C = 0, поэтому уравнением (8) определяется прямая ω', не проходящая через точку О (так как R⁴≠0). Если окружность ω не проходит через точку О, то C≠О, поэтому уравнением (8) определяется окружность ω', не проходящая через центр инверсии. Из уравнений (7) и (8) находим центры окружностей:

(- ,- ) и (- , - ) — эти точки и точка О(0,0) лежат на прямой, заданной уравнением Вх - Ау = 0.

Теорема 3. Если линии ω₁ и ω₂, где ω₁—окружность или прямая, а ω₂ — окружность, касаются друг друга в точке М, отличной от центра инверсии f, то их образы ω₁' и ω₂'также касаются друг друга в точке M'=f(M).

Доказательство. Так как ω₁ и ω₂ касаются друг друга в точке М, то М' — единственная общая точка линий ω₁ и ω₂. Но каждая из этих линий является прямой или окружностью, поэтому они касаются друг друга.

3.1. Инвариантные окружности инверсии.

Ортогональные окружности. Углом между двумя кривыми 
(в частности, между двумя окружностями) называется угол между 
касательными к этим кривым в их общей точке. Две пересекающиеся 
окружности называются ортогональными (друг другу), если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны (рис. 5). Согласно 
свойству касательной к окружности центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой окружности в точке их пересечения.

 

                   Рис. 5

Теорема 4. Окружность γ, ортогональная к окружности инверсии, отображается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии).

Доказательство. Если М — произвольная точка окружности γ и прямая ОМ пересекает окружность γ вторично в точке М', то по свойству секущих ОМ•ОМ'=ОТ²=R², т.е. точки М и М' взаимно инверсны относительно окружности ω (рис. 5). Следовательно, окружность γ отображается на себя.

Теорема 5 (обратная). Если окружность γ, отличная от окружности инверсии, отображается инверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии.

Доказательство. Соответственные точки М и М' окружности γ лежат на одном луче с началом О, причем одна из них вне, другая — внутри окружности ω инверсии (рис. 5). Поэтому окружность γ пересекает окружность ω. Пусть Т — одна из точек их пересечения. Докажем, что ОТ — касательная к окружности γ. Если бы прямая ОТ пересекала γ еще в другой точке Т₁, то по свойству секущих ОТ • ОТ₁=R². Но ОТ=R и поэтому ОТ₁= R, т.е. точки Т и Т₁ совпадают, прямая ОТ касается γ в точке Т, окружности ω и γ ортогональны.

Инверсия  как симметрия относительно окружности. Инверсия относительно окружности имеет аналогию с осевой симметрией.

Рис. 6

Теорема 6. Окружность, содержащая две инверсные точки, инвариантна при данной инверсии (следовательно, ортогональна окружности инверсии).

Доказательство. Если окружность γ содержит точки А и А', соответственные при инверсии относительно окружности ω, то центр О инверсии лежит вне отрезка АА', т.е. вне окружности γ (рис. 6). Пусть М — произвольная точка окружности γ и прямая ОМ пересекает γ вторично в точке М'. Тогда по свойству секущих ОМ • ОМ' = OA • OA' = R².

 

Рис. 7

 

Поэтому точки М и М' взаимно инверсны, и окружность γ отображается инверсией на себя.

Следствие. Если две пересекающиеся окружности ортогональны к окружности инверсии, то точки их пересечения взаимно инверсны.

Действительно, если А — одна из точек

пересечения окружностей  α и β, каждая из которых ортогональна к окружности ω инверсии, то прямая

OA пересекает как окружность α, так и окружность β в образе А' точки А (рис. 7).

Иначе говоря, образом точки А, не лежащей на окружности инверсии, служит вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку А и ортогональных к окружности инверсии.

Это свойство может быть положено в основу определения инверсии.

 

                                Рис. 8

 

Возьмем теперь вместо окружности ω прямую ω как предельный случай окружности (окружность бесконечно большого радиуса). Центры окружностей α и β, ортогональных прямой ω, лежат на этой прямой. Предыдущее свойство инверсии (второе ее определение) приводит к тому, что точки А и А' пересечения окружностей α и β симметричны относительно прямой ω (рис. 8).

3.2. Свойства углов и расстояний при инверсии.

 

Инверсия обладает замечательным  свойством: она сохраняет величину угла между линиями. Угол между двумя линиями равен углу между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инверсии.

  Рис.9

Доказательство. Так как угол между двумя кривыми по определению равен углу между касательными прямыми к этим кривым в их общей точке, то достаточно доказать сформулированное свойство конформности для двух прямых и их образов при инверсии. Если обе данные прямые проходят через центр инверсии, то доказывать нечего. Если одна из данных прямых а и b содержит центр О инверсии, а другая его не содержит, то первая отображается на себя, а вторая – на окружность, проходящую через точку О (рис. 9). Касательная к окружности в точке О параллельна прообразу окружности, откуда и следует равенство углов (a, b)= (a', b'). Когда центр О инверсии не принадлежит ни одной из данных прямых а и b, то их образами будут две окружности а' и b', пересекающиеся в центре О инверсии и некоторой точке Р' — образе точки Р пересечения данных прямых а и b. Углы между окружностями а' и b' в точках О и Р' равны. Поэтому можно рассматривать угол между касательными а' и b' в точке О. А эти касательные параллельны соответственно данным прямым а и b (рис. 10).

                Рис. 10

 

В частности, если две данные прямые, две окружности, прямая и  окружность ортогональны, то их образы при инверсии также ортогональны.

Если две данные окружности касаются, то их образами будут или  две касающиеся окружности, или касающиеся окружность и прямая, или две параллельные прямые.

 

 В В'

                           Рис. 11

 

Выясним, как изменяется при инверсии расстояние 
между двумя точками. Пусть А и В — две произвольные точки плоскости, А' и В — точки, в которые они переходят при инверсии с центром О (отличном от А и от В) и степенью k=R² (рис. 11). Треугольники ОАВ, н ОВ'А' будут подобны, так как АОВ= B'OA' и (ОА∙ОА'=OB∙OB=k). Следовательно, , откуда А'В'= АВ∙ . Заменяя здесь ОВ на мы получим требуемую формулу:

 

А'В'=АВ (9)

 

Из выражения для расстояния между точками А' и В', получающимися при инверсии из данных точек А и В, вытекает одно интересное следствие. Сложным отношением четырёх точек A, В, С и D плоскости назовём положительное число .

Докажем, что инверсия обладает следующим свойством:

Теорема 7. Сложное отношение четырёх точек плоскости сохраняется при инверсии.

Доказательство. Пусть точки А, В, С и D переходят при инверсии в точки А', В', С' и D'. В таком случае формула (9) дает: ∙ , ∙ , ∙ , ∙ .

Следовательно, , , откуда , что и требовалось доказать.

Отметим, что данное свойство инверсии не имеет смысла, если одна из рассматриваемых четырех точек совпадет с центром инверсии.

 

4. Инверсия и гомотетия.

 

Пусть окружности α и α' инверсны относительно окружности ω. С другой стороны, любые две неравные окружности являются соответственными при двух гомотетиях. Оказывается, что центр инверсии совпадает с одним из центров этих гомотетий.

Теорема 8. Если две окружности инверсны при инверсии с центром О, то они гомотетичны относительно той же точки О.

Рис. 12

 

Доказательство: Пусть инверсия с центром O отображает окружность α на окружность α' (рис. 12), причем точки M и N окружности α отображаются на точки M' и N' окружности α'. Пусть A и A', B и B' — инверсные точки диаметров этих окружностей. Из подобия треугольников MAO и A'M'O следует равенство MAO= A'M'O. Так как A'M'O+ N'B'A'=180º (противоположные углы вписанного четырехугольника), MAO+ MAA'=180° (смежные углы), то N'B'A' = MAA' и поэтому прямые AM и B'N' параллельны.

Аналогично доказывается, что BM || A'N'.

Следовательно, треугольники AMB и B'N'A' гомотетичны относительно точки O (A→B', B→A', M→N'). Значит, гомотетичны и описанные около них окружности α и α'.

Однако центр гомотетии  двух окружностей не всегда служит и центром инверсии, отображающей одну из этих окружностей на другую.

Теорема 9. Если две неравные окружности пересекаются, то оба центра их гомотетий являются центрами инверсий, каждая из которых отображает одну из данных окружностей на другую. Если данные окружности не имеют общих точек или касаются, то только один из центров их гомотетий является центром инверсии, при которой одна из этих окружностей отображается на другую.

 

Рис.13                                                                                Рис. 14

 

Доказательство. Пусть S — центр одной из гомотетий окружностей α и α', при которой A→A', B→B' (рис. 13). Тогда SA' = |k|SA и SB' = |k|SB, где k — коэффициент этой гомотетии. Отсюда SA' ∙ SB = = SA ∙ SB' = |k|SA ∙ SB. Для данной окружности α и данной точки S произведение SA ∙ SB отрезков секущей AB не зависит от выбора этой секущей: если точка S вне окружности α, то это произведение равно квадрату отрезка касательной, проведенной из S к α, если S внутри α, то оно равно квадрату полухорды, проведенной через S перпендикулярно диаметру, содержащему S. Случай S а исключается. Положим |k|SA ∙ SB =R².

Равенства SA' ∙ SB = R² и SA ∙ SB' = R² говорят о том, что точки A' и B, A и B' соответственно инверсны относительно окружности с центром S радиуса R, если только точка S не принадлежит отрезкам A'B и AB'. А это требование определения инверсии выполняется для каждого центра гомотетий двух пересекающихся окружностей (рис. 13) и только для одного центра гомотетий двух непересекающихся (рис. 14) или двух касающихся окружностей.

5. Применение инверсии при решении задач на построение.

инверсия плоскость  угол окружность

В этом параграфе мы рассмотрим ряд задач на построение, при решении  которых удобно пользоваться инверсией.

Р

Рис. 15

 

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке 15 изображено построение точки А', инверсной данной точке А относительно окружности Σ с центром О. Из подобия прямоугольных треугольников ОАР и ОРА' (подобие следует из равенства углов и ) следует и значит, OA∙OA'=OP².

             Рис. 16

 

Итак, если точка А расположена вне Σ, то для построения точки А' надо провести из точки А касательные АР и AQ к окружности Σ. А' есть точка пересечения прямых OA и PQ. Если точка А расположена внутри Σ, то для того, чтобы построить точку А', следует найти точки Р и Q пересечения с окружностью Σ перпендикуляра к прямой OA, опущенного из точки А. А' есть точка пересечения прямой OA и касательных к Σ в точках Р и Q.

Для того чтобы построить  окружность или прямую S', симметричную данной окружности или прямой S относительно заданной окружности Σ с центром О, достаточно найти три точки M', N' и Р', симметричные трём точкам М, N и Р линии S.

 Проще при построении окружности или прямой S' исходить из свойств инверсии. Так, если S есть прямая, проходящая через О, то S' совпадает с S. Если S есть прямая, не проходящая через О, то диаметром окружности S' служит отрезок ОР, где Р есть точка, симметричная относительно Σ основанию Р перпендикуляра, опущенного на прямую S из точки О (рис. 16). Если S есть окружность, проходящая через точку О, и ОР — её диаметр, то S' есть прямая, перпендикулярная к ОР и проходящая через точку Р, симметричную Р' относительно Σ (рис. 16, б). Если S – окружность, не проходящая через О, и M — некоторая её точка, то S' есть окружность, центрально-подобная S с центром подобия О, проходящая через точку M', симметричную M относительно Σ (рис. 17).

 

                                   Рис. 17

 

Теорема 9. Любые две окружности или прямую и окружность можно при помощи инверсии перевести в две прямые (пересекающиеся или параллельные) или в две концентрические окружности.

Доказательство. Данную окружность S всегда можно перевести при помощи инверсии в прямую линию. Для этого достаточно принять за центр инверсии любую точку этой окружности. Прямая при инверсии с центром на этой прямой переходит в себя. Поэтому две окружности или окружность и прямую, имеющие общую точку, всегда можно перевести в две прямые; для этого достаточно принять за центр инверсии эту общую точку. При этом, если окружности (окружность и прямая) имели две общие точки (т. е. пересекались), то полученные прямые будут пересекаться в точке, в которую переходит вторая общая точка (рис. 18, а); если две окружности (окружность п прямая) касались, то полученные прямые будут параллельны (рис. 18, б).

 

                                          Рис.18

Нам остаётся только доказать, что две непересекающиеся окружности или непересекающиеся прямую и окружность можно перевести инверсией в  две концентрические окружности.

 

Рис. 19

 

Пусть сначала мы имеем  непересекающиеся окружность S и прямую l (рис. 19). Опустим из центра окружности S перпендикуляр о на прямую l. Пусть Р — основание этого перпендикуляра. Проведём окружность с центром в точке Р и радиусом, равным длине касательной PQ, проведённой из Р к окружности S. Окружность будет перпендикулярна как к прямой l, так и к окружности S. Произведём инверсию с центром в одной из двух точек пересечения прямой о и окружности S, обозначим эту точку через О. Прямая о перейдёт сама в себя, окружность перейдёт в некоторую прямую ', прямая l и окружность S перейдут в две окружности l' и S', при этом обе эти окружности буду перпендикулярны как к о, так и к '. Но если окружность перпендикулярна к некоторой прямой, то это значит, что центр этой окружности лежит на прямой. Центры обеих окружностей l' и S' принадлежат как прямой о, так и прямой ', т. е. совпадают с точкой пересечения этих прямых. Итак, мы видим, что инверсия действительно переводит окружность S и прямую l в две концентрические окружности.

 Рис. 20

Для того чтобы перевести  непересекающиеся окружности S₁ и S₂ в две концентрические окружности, следует выбрать за центр инверсии точку пересечения линии центров O₁O₂ окружностей S₁ и S₂ и какой-либо окружности S, перпендикулярной как к S₁ , так и к S₂. При такой инверсии S и O₁O₂ перейдут в две прямые, окружности S₁ и S₂ — в окружности S₁' и S₂' перпендикулярные к этим двум прямым, т. е. имеющим общий центр в точке пересечения прямых. Для того чтобы построить окружность S пересекающую и S₁ и S₂ под прямым углом, найдём сначала окружность , пересекающую под прямым углом окружность , и прямую в которые переходят окружности S₁ и S₂ при

Рис. 20 инверсии с центром  в точке А пересечения O₁O₂ и S₂ – эта окружность имеет центр в точке Р пересечения O₁O₂ и и радиус, равный касательной, проведенной из Р к S₂ (рис. 20, а). Искомая окружность S отвечает окружности при инверсии, переводящей S₁ и S₂ в и (рис. 20,б).

Рассмотрим некоторые  примеры решения задач на построение с применением инверсии.

Пример 3. В какую фигуру перейдет при инверсии, заданной этой окружностью, хорда, не являющаяся диаметром.

Решение.

Рассмотрим окружность инверсии ω=(О, R), АВ – хорда.

Прямая, не проходящая через  центр инверсии, переходит в окружность (теорема 1). Точки А и В лежат на окружности инверсии следовательно они инвариантны (свойство 3). Для построения образа нам необходимо найти образ еще одной точки хорды АВ.

Опустим из точки О на АВ перпендикуляр. Точку пересечения перпендикуляра и хорды АВ обозначим С. Образом точки С будет точка С' пересечения луча ОС и касательных к окружности инверсии в точках А и В (достаточно провести 1 касательную). Искомой окружностью γ будет окружность, в которую будет вписан треугольник АВС' (рис. 19). Образом хорды АВ будет внешняя часть окружности γ – (свойство 4).(Рис. 20)

Пример 4. Построить образ сектора окружности при инверсии, заданной этой окружностью.

Решение. Анализ.

Рассмотрим инверсию относительно окружности ω=(О, R). Обозначим сектор окружности φ_1, вписанный угол, ограничивающий область сектора φ₁ - . Для решения этой задачи необходимо рассмотреть 3 случая:

1. Если О φ₁, то φ₁ отобразится на часть плоскости ограниченную образами хорд АВ и ВС.
2. Если О φ₁, то по свойству 5 получим, что образы точек, лежащих неограниченно близко к центру инверсии будут бесконечно удалены от него. Следовательно, φ₁ перейдет в неограниченную область плоскости.
3. Если О лежит на стороне , то по теореме 1 данная сторона угла перейдет в прямую, ее содержащую, а φ₁ отобразится на полуплоскость, ограниченную данной прямой и образом второй стороны угла (свойство 5).