Использование дисперсионного анализа в методических исследованиях

Министерство образования  и науки Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________ ____________________

наименование кафедры

 

 

 

Допускаю к защите

Руководитель_________________

                       _ __

                           И.О. Фамилия

 

 

_________________________________________________________________________________________      Дисперсионный анализ    _____________________

наименование темы

 

 

Курсовая работа по дисциплине

        _    Математическое моделирование эксперимента________   

наименование дисциплины

 

 

 

 

 

Выполнил студент группы _________   

                                                   шифр           подпись          И.О. Фамилия

 

                                                                     

 

Курсовая работа защищена с оценкой ___________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2013 г.

 

Министерство образования и  науки Российской Федерации

 

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ (КУРСОВУЮ РАБОТУ)

 

По курсу ____Математического моделирования эксперимента_____________ _________________________________________________________________

Студенту __________________________

(фамилия, инициалы)

Тема проекта (работы) Использование_дисперсионного_анализа_в_методических_исследованиях___________________________________________________________________________________________________________________

Исходные данные__________________________________

1)Заполнить таблицу;___________________________________

2)Найти_вспомогательные_суммы;____________________________________

3)Проверить_однородность_дисперсий;________________________________

4)Рассчитать_относительные_стандартные_отклонения;__________________

5)Сделать_вывод_об_однородности_материала._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рекомендуемая литература _______________________________________ 1)Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.

2)Гмурман В.Е. Теория  вероятностей и математическая  статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.

3)Никаноров А.В.  Математическое моделирование эксперимента, учебное пособие_2008. -108 с,

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Графическая часть на ______________ листах.

 

Дата выдачи задания  “______” __________________________2013  г.

 

Дата представления  проекта руководителю “______” ___________2013  г.

 

Руководитель курсового  проектирования (курсовой работы) _____

   

 

Содержание

 

 

 

 

1. Введение             4
2. Основная часть            5

2.1)Однофакторный дисперсионный  анализ       6

2.2)Двухфакторный дисперсионный  анализ     11

2.3)Многофакторный дисперсионный  анализ     14

3. Задача для курсовой работы         18

3.1)Решение задачи для курсовой работы      20

4. Заключение          22
5.  Список используемых источников       23   
   

Введение

 

Проникновение математических методов  в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности дает возможность пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Рост математической культуры специалистов в соответствующих областях приводит к тому, что изучение общих теоретических положений и методов вычислений уже не встречает серьезных трудностей. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических познаний далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи – необходимо еще получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. В этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

В рамках же нашей работы стоит  цель овладеть искусством дисперсионного анализа. В чем же оно заключается?

Оценивая разброс результатов  исследований вокруг среднего значения, определяем дисперсию воспроизводимости методики исследования (анализа), характеризующую сумму погрешностей, вносимых на различных этапах исследования (анализа).

Экспериментатору, когда он проводит исследования с целью повышения точности исследования или анализа, необходимо знать, на каких этапах вносится наибольший вклад в суммарную дисперсию. Например, при рентгеноспектральном анализе образца погрешности могут быть внесены при отборе анализируемой навески (погрешности неоднородности материала), при изготовлении излучателя, измерении интенсивности аналитической линии, расчете содержания.

В зависимости от выбранного способа  пробоподготовки второй этап можно  разбить на ряд подэтапов. При получении излучателей в виде стеклянных дисков можно выделить погрешности, вносимые при взвешивании и перемешивании пробы и флюса, сплавлении, отливке излучателя.

Для повышения воспроизводимости  методики исследования прежде всего  следует совершенствовать тот этап, на котором вносится наибольшая погрешность.  

Основная часть

Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание) –статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Метод был разработан биологом Р. Фишером в 1925 году и применялся первоначально для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.

Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между  средними с помощью сравнения  дисперсий. Дисперсию измеряемого  признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии.

При проведении исследования рынка часто встает вопрос о сопоставимости результатов. Например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных регионах страны, необходимо сделать выводы, на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга. Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия σ²– мера вариации, определяемая как средняя из отклонений признака, возведенных в квадрат.

На практике часто возникают задачи более  общего характера – задачи проверки существенности различий средних выборочных нескольких совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья на качество производимой продукции, решить задачу о влиянии количества удобрений на урожайность с/х продукции.

Иногда  дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и математические ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

 

 При проведении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный (Гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Такое равенство дисперсий называется гомогенностью. Таким образом, изменение способа обработки сказывается лишь на положении случайной величины отклика, которое характеризуется средним значением или медианой. Поэтому все наблюдения отклика принадлежат сдвиговому семейству нормальных распределений.  
Говорят, что техника дисперсионного анализа является "робастной". Этот термин, используемый статистиками, означает, что данные допущения могут быть в некоторой степени нарушены, но несмотря на это, технику можно использовать.  
При неизвестном законе распределения величин отклика используют непараметрические (чаще всего ранговые) методы анализа.  
В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ². Она является мерой вариации частных средних по группам  вокруг общей средней  и определяется по формуле:  
, 
где   k -  число групп;  
 n_j  - число единиц в j-ой группе;  
  - частная средняя по j-ой группе;  
   - общая средняя по совокупности единиц.  
Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ_j².  
.  
Между общей дисперсией σ₀², внутригрупповой дисперсией σ² и межгрупповой дисперсией  существует соотношение:  
σ₀² =  + σ².  
Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.  
                              Однофакторный дисперсионный анализ

 

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:  
x_ij = μ + F_j + ε_ij,                                                     (1)  
где  х_ij – значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,...,т) c j-м порядковым номером (j=1,2,...,n);  
F_i – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;  
ε_ij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня.  

Основные предпосылки дисперсионного анализа:  
1)математическое ожидание возмущения ε_ij равно нулю для любых i, т.е.  
M(ε_ij) = 0;                                             (2)  
2)возмущения ε_ij взаимно независимы;  
3)дисперсия переменной x_ij (или возмущения ε_ij) постоянна для 
любых i, j, т.е.      D(ε_ij) = σ²;                                                (3)  
4)переменная x_ij (или возмущение ε_ij) имеет нормальный закон 
распределения N(0;σ²).  

Влияние уровней фактора может  быть как фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).  
Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора - партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие – фиксированные.  
Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно  n₁, n₂, …, n_m  изделий  (для простоты полагается, что n₁=n₂=...=n_m=n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

 

 
x₁₁ x₁₂   …    x_1n                                      
x₂₁ x₂₂  …    x_2n           
…………………    = (x_ij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).  
x_m1  x_m2  …    x_mn  

Необходимо проверить существенность влияния партий изделий на их качество.  
Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения случайных величин Х₁,Х₂,...,Х_m, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно a₁,а₂,...,а_m и одинаковыми дисперсиями σ², то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀: a₁=a₂ =...= а_m, осуществляемой в дисперсионном анализе.  
Усреднение по какому-либо индексу обозначено звездочкой (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня фактора, примет вид:  
                                                     ,                                                    (4)  
где  _i* – среднее значение по столбцам;  
_ij – элемент матрицы наблюдений;        
 n   – объем выборки.  
А общая средняя:  
                                            .                                             (5)  
Сумма квадратов отклонений наблюдений   х_ij от общей средней _** выглядит так:  
²= ²+ ²+  
+2 ².                                  (6)  
или  
Q = Q₁ + Q₂ + Q₃.  
Последнее слагаемое равно нулю  
                =0.       (7)  

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней равна нулю, т.е.  
²=0.  
Первое слагаемое можно записать в виде:  
 
В результате получается тождество: Q = Q₁ + Q₂,                                               (8)  
где - общая, или полная, сумма квадратов отклонений;  
- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;  
- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или  внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.  
В разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассматриваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент – Q₁ и Q₂, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q₁) и изменчивость внутри партий (Q₂), характеризующих одинаковую для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.  
В дисперсионном  анализе  анализируются  не  сами   суммы квадратов отклонений, а так называемые  средние   квадраты, являющиеся  несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.  
Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому для среднего квадрата  S₁², являющегося несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k₁=m-1, так как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5). А для среднего квадрата S₂², являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k₂=mn-m, т.к. при ее расчете используются все mn наблюдений, связанных между собой m уравнениями (4).  
Таким образом:  
= Q₁/(m-1),  
= Q₂/(mn-m).  
Если найти математические ожидания средних квадратов   и , подставить в их формулы выражение x_ij (1)  через параметры модели, то получится:  
 
 
 
                                                                                         (9)  
т.к. с учетом свойств математического ожидания  
 а  
 
 
                        (10)  
Для модели I с фиксированными уровнями фактора F_i(i=1,2,...,m) – величины неслучайные, поэтому  
M(S ) = ² /(m-1) +σ².  
Гипотеза H₀ примет вид F_i = F_*(i = 1,2,...,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы  
M(S )= M(S )= σ².  

 

Для случайной модели II слагаемое F_i в выражении (1) – величина случайная. Обозначая ее дисперсией  
 
получим из (9)  
                                                                                     (11)  
и, как и в модели I  
M( )= σ².  

 

 

 

 

В таблице №1 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.  
Таблица №1 – Базовая таблица дисперсионного анализа

 

 

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний  квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
Межгрупповая		m-1	= Q1/(m-1)
Внутригрупповая		mn-m	= Q2/(mn-m)	M(S )= σ2
Общая		mn-1

 

 

Гипотеза H₀ примет вид σ_F² =0. В случае справедливости этой гипотезы  
M( )= M( )= σ².  
В случае однофакторного комплекса как для модели I, так и модели II средние квадраты S² и S², являются несмещенными и независимыми оценками одной и той же дисперсии σ².  
Следовательно, проверка нулевой гипотезы H₀ свелась к проверке  существенности  различия несмещенных выборочных оценок S₂  и S  дисперсии σ².  
Гипотеза H₀ отвергается, если фактически вычисленное значение статистики

F = S /S  больше критического F_α:K1:K2, определенного на уровне значимости α при числе степеней свободы k₁=m-1 и k₂=mn-m, и принимается, если F < F_α:K1:K2 .  
F- распределение Фишера (для x > 0) имеет следующую функцию плотности (для  = 1, 2, ...; = 1, 2, ...):  
 
где  - степени свободы;  
Г   - гамма-функция.   
Применительно к данной задаче опровержение гипотезы H₀ означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.  
Для вычисления сумм квадратов Q₁, Q₂, Q часто бывает удобно использовать следующие формулы:  
                                                                (12)  
                                                                                (13)  
                                                                                  (14)  
т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.  
  Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H₀ о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к  исследованию значимости различия средних в группах данных.  

Двухфакторный дисперсионный анализ

 

Принимается аддитивная и независимая  модель действия факторов:

, причем , . (15)

Величины a_j и b_i называются вкладами факторов. Последние два условия всегда можно выполнить масштабированием величин a_j и b_i за счет изменения величины c.

Для каждого наблюдения из рассматриваемой  совокупности справедливо уравнение:

x_ij = c + a_j + b_i + e _ij, i =1, ..., n; j =1, ..., k. (16)

Обычно наблюдения представляют структурной  таблицей статистического комплекса. Приведем простейший двухфакторный комплекс, в которой каждому сочетанию (A_j, B_j) уровней (градаций) факторов, т.е. одной клетке таблицы, соответствует одно наблюдение (в таблице сочетание символов “( )^” обозначает статистическую оценку групповых средних): Разложение результатов измерения при двухфакторном дисперсионном анализе представлены в таблице №2.

 

Таблица №2:

Фактор B	Фактор A  A1 A2 ... Ak	Средние по строкам   (оценки вкладов B)
B1 B2 ... Bn	x11 x12 ... x1k x21 x22 ... x2k ... xn1 xn2 ... xnk	x1· =(c+b1)^ x2· =(c+b2)^ ... xn· =(c+bn)^
Средние по столбцам  (оценки вкладов A)	x· 1= x· 2= x· k=  (c+a1)^ (c+a2)^ (c+ak)^	x· · =c^

 

 

Основное тождество дисперсионного анализа

Оценки c, b_i, a_j могут быть получены с помощью метода наименьших квадратов (МНК) минимизацией суммы (17)

Основываясь на МНК-оценках

, ,

, (18)

введем следующие обозначения:

• для сумм квадратов отклонений под влиянием k уровней фактора А и n уровней фактора В:

, ; (19)

• для остаточной суммы квадратов:

; (20)

• для полной суммы квадратов наблюдений относительно общего среднего :

. (21)

Тогда справедливо следующее соотношение:

, (22)

т.е. полная сумма квадратов отклонений является суммой квадратов вкладов  по факторам и квадратов случайных  отклонений (или остатков ). Другими словами, полное рассеяние есть сумма вариации под влиянием факторов и случайной составляющей.

Проверка нулевых гипотез

По имеющимся наблюдениям требуется  проверить предположение об отсутствии влияния фактора A (или B) на результат измерения, т.е. проверить гипотезы

H_A: a₁ = a₂ = . . . = a_k = 0

H_B: b₁ = b₂ = . . . = b_n = 0 .

Основой процедуры проверки гипотезы является сравнение двух статистически  независимых оценок дисперсии s ².

Одна из них, s ^2* оценивает дисперсию вне зависимости от того, верна или нет гипотеза H_A (или H_В) и основана на сумме квадратов случайных отклонений:

. (23)

Другая, s ^2** оценивает дисперсию, если H_A (или H_В) верна. Для гипотезы H_A эта дисперсия основана на сумме квадратов разностей “между столбцами”, т.е. по уровням фактора A:

. (24)

Если гипотеза H_A верна, то отношение

(25)

имеет F-распределение Фишера с (k -1) и r степенями свободы. Если

F_A ³ F_1-a , (26)

где F_1-a – квантиль этого распределения порядка 1- a , a – выбранный уровень значимости, то гипотеза H_A отклоняется.

Вместо (5.54) можно использовать эквивалентную процедуру: гипотеза H_A отклоняется, если

P{ F ³ F_A } £ a, (27)

где P{ F ³ F_A } – вероятность при справедливости H_A получить значение, большее, чем F_A; F – случайная величина, имеющая распределение Фишера.

Для проверки гипотезы H_В используют сумму квадратов разностей "между строками", то есть по уровням фактора B: . (28)

Аналогичным образом, если отношение  велико, то гипотеза H_B отклоняется.

 

Многофакторный дисперсионный  анализ  

Следует сразу же отметить, что  принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить меж-факторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее компьютерного использования) несомненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие.  
Общая схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид:  

Зависимая переменная xi

Взаимодействие факторов A и B

Прочие не учитываемые (случайные) факторы

Фактор B:   3 уровня

Фактор А:   2 уровня

 

   
Рисунок 1.1 – Схема двухфакторного эксперимента  
Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.  
Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются  ли существенные различия в качестве изделий по  каждому фактору:  
А - партия изделий;  
B - станок.  
В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.  
Все данные представлены в таблице №3, в которой по строкам - уровни A_i фактора А, по столбцам — уровни B_j фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий x_ijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).  
Таблица №3 – Показатели качества изделий

	B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l,…,x11k	x12l,…,x12k	…	x1jl,…,x1jk	…	x1ll,…,x1lk
A2	x21l,…,x21k	x22l,…,x22k	…	x2jl,…,x2jk	…	x2ll,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l,…,xi1k	xi2l,…,xi2k	…	xijl,…,xijk	…	xjll,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l,…,xm1k	xm2l,…,xm2k	…	xmjl,…,xmjk	…	xmll,…,xmlk

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:  
                                               x_ijk=μ+F_i+G_j+I_ij+ε_ijk,                                   (29)  
где  x_ijk -  значение наблюдения в ячейке ij с номером k;  
μ   -  общая средняя;  
F_i    -  эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;  
G_j  -  эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;  
I_ij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (29);  
ε_ijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.  
Предполагается, что ε_ijk  имеет нормальный закон распределения N(0; с²), а все математические ожидания F_*, G_*,  I_i*, I_*j равны нулю.  

 

 

 

Групповые средние находятся по формулам:  
- в ячейке:  
,  
по строке:  
 
по столбцу:  
 
общая средняя:  
 
В таблице №4 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.  
Таблица №4 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)		m-1
Межгрупповая (фактор B)		l-1
Взаимодействие		(m-1)(l-1)
Остаточная		mln - ml
Общая		mln - 1

Проверка нулевых гипотез H_A, H_B, H_AB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений

, ,  (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений ,  ,  (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.  
Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q₃ из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.  
С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q целесообразнее использовать формулы:  
 
 
 
 
Q₃ = Q – Q₁ – Q₂ – Q₄.  
Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы.  
 
Задача для курсовой работы