Использование рисковой стоимости (VAR) для анализа рисков

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ,

СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ (МЭСИ)

ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА

КАФЕДРА АНТИКРИЗИСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Риск-менеджмент»

на тему: Использование  рисковой стоимости (VAR)

для анализа рисков

Выполнил студент: Кузнецов М.А.

Группы ВМО-311

Научный руководитель: Бочаров С. А.

Москва,

2012 г.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Впервые концепция рисковой стоимости  стала использоваться крупными банками  в конце 1980-х — начале 1990-х гг. для измерения совокупного риска  трейдингового портфеля. Считается, что идея VaR принадлежит Дэннису  Везерстоуну, председателю совета директоров банка J.P. Morgan, который хотел каждый день в 16:15 получать отчет о максимальных потерях по всем трейдинговым позициям в банке, ожидаемым в ближайшие 24 часа. Этот отчет должен был умещаться на одной странице и быть понятен совету директоров банка. Он был разработан в начале 1990-х гг. и получил известность как “Отчет 415”. В 1993 г термин “Value-at-Risk” впервые появился в публичном документе, в докладе Derivatives: practices and principles, подготовленном J.P. Morgan по заказу “Группы Тридцати” (G30), некоммерческой организации, объединяющей крупнейшие финансовые организации США [1]. В октябре 1994 г. банк J.P. Morgan опубликовал систему RiskMetrics™ и разместил в Интернете в открытом доступе ее подробное описание [2]. Одновременно с этим банк разработал программный пакет FourFifteen по вычислению VaR на основе методологии RiskMetrics™. Благодаря маркетинговой кампании по распространению RiskMetrics™ о концепции рисковой стоимости стало известно менее крупным финансовым организациям, нефинансовым корпорациям и институциональным инвесторам. Быстрому распространению RiskMetrics™ также способствовали невысокая стоимость ($25 тыс.) и простота эксплуатации первоначального программного пакета, выполненного на основе MS Excel в комбинации с элементами Visual Basic. Уже в 1994 г. при проведении в США опроса дилеров ценных бумаг 43% всех респондентов заявили, что они используют тот или иной вариант VaR, а 37% сообщили о своем намерении начать применять его до конца 1995 г. По данным опроса, проведенного в 1995 г. Нью-Йоркской школой бизнеса, 60% пенсионных фондов используют VaR. В 1998 г. группа RiskMetrics™ вышла из состава J.P. Morgan и, являясь сейчас самостоятельной организацией, занимается исследованиями в области рыночного и кредитного риска.

Стимулом к распространению VaR среди  нефинансовых корпораций стало решение  американской Комиссии по ценным бумагам  и биржам (Securities & Exchange Commission — SEC). В 1997 г. SEC установила для всех подотчетных ей компаний правила по обязательному раскрытию информации о рыночной стоимости используемых деривативов и финансовых активов, чувствительных к колебаниям финансовых рынков. Согласно новым правилам, VaR был одной из трех методик расчетов, разрешенных для обязательного раскрытия информации. В результате организации, использовавшие в своей деятельности деривативы и финансовые инструменты, подверженные значительным колебаниям рыночной стоимости, стали проявлять значительно больший интерес к методам вычисления VaR. Одновременно резко повысился спрос на консалтинговые и программные услуги по вычислению VaR.

После того как концепция VaR стала  популярна среди нефинансовых корпораций, появилась потребность в создании корпоративной версии VaR, отражающей специфику риска в нефинансовых корпорациях, которые с точки зрения риска резко отличаются от банков. Методология количественного измерения рисков хорошо разработана для ликвидных активов. Более того, есть обширные и легко доступные данные о ликвидных финансовых активах. Большинство же активов нефинансовых фирм являются неликвидными.

В конце 1990-х гг. несколько консалтинговых фирм одновременно начали работу над  созданием корпоративного аналога VaR. В апреле 1999 г. RiskMetrics Group первой из консалтинговых групп разместила технический  документ CorporateMetrics™ [3] в открытом доступе и разработала для своих клиентов программный пакет CorporateManager™. В середине 1999 г. в консалтинговой группе NERA (National Economic Research Associates) была сформирована рабочая команда, члены которой начали разрабатывать методологию вычисления C-FaR. Группу возглавил известный специалист в области корпоративных финансов, профессор экономики Гарвардского университета Джереми Стейн. В августе 2000 г. NERA обнародовала предварительные результаты и описание метода вычисления C-FaR в дискуссионной статье, опубликованной в ведущем аналитическом журнале по корпоративным финансам [4]. В последние годы создание адекватной стоимостной метрики риска для нефинансовых корпораций становится одним из наиболее активно исследуемых областей и среди представителей университетской науки. За последние годы было разработано несколько альтернативных методик измерения риска в корпорациях, среди них следует отметить методики, основанные на применении регрессионного анализа [5].

1.1 Основные положения

Чаще всего VaR определяется как  выраженная в денежных единицах оценка величины, которую с заданной вероятностью не превысят ожидаемые в течение  данного периода времени потери [6]. Другими словами, VaR показывает, насколько (долларов) может снизиться стоимость позиции по финансовому инструменту или по портфелю инструментов в результате изменения рыночных цен или курсовых ставок, происходящего на протяжении конкретного периода времени с определенным уровнем вероятности. Основными компонентами при вычислении рисковой стоимости являются длина временного интервала, в продолжение которого измеряется VaR, и доверительный уровень, на котором измеряется рисковая стоимость. Например, если временной период составляет один день, а доверительный уровень равен 99%, то дневные потери, более крупные, чем VaR, могут случиться не чаще 1% всех трейдинговых дней (например, не чаще одного раза за сто трейдинговых дней). Предполагается, что состав портфеля не меняется на протяжении временного интервала, для которого вычисляется VaR.

Обозначим цену акции, биржевого товара или обменный спот-курс двух валют  в текущий период как S_t, а в предыдущий период как S_t–1. Прибыльность данного финансового инструмента за единицу времени вычисляется как  . Согласно классической статистической теории финансов, r_t является случайной переменной, имеющей нормальное (гауссовское) распределение с параметрами μ и σ. В этом случае соблюдается следующее условие:  , P(|r - µ| > 1,65σ) = 0,05 т. к. 1,65 является 95%-ной квантилью стандартного нормального распределения. Величина 1,65σ — это максимальное изменение прибыльности финансового инструмента, ожидаемое с 90%-ной вероятностью. ФормальноVaR вычисляется как квантильная функция   распределения прибылей актива или портфеля активов. В риск-менеджменте (1-p)% называется доверительным уровнем вычисления VaR, а p — это вероятность получить потери, более крупные, чем VaR. Как правило, для краткосрочных позиций считается, что μ = 0.

В качестве иллюстрации приведем несколько  простых примеров.

Для инвестора, владеющего акциями компании стоимостью $250 млн, 95%-ная рисковая стоимость с горизонтом в один день равна  ,

где σ обозначает однодневную волатильность  цены акций.

Для валютного трейдера, имеющего спотовую позицию в евро стоимостью $250 млн (по текущему обменному курсу), 95%-ная рисковая стоимость позиции с горизонтом в один день равна  .

где σ обозначает однодневную волатильность  обменного курса EUR/USD.

Для инструмента с фиксированной  доходностью, первоначальной ставкой  доходности y₀, модифицированной дюрацией D₀ и волатильностью σ_y, риск изменения цены инструмента равен   [8]. Например, для инвестора, владеющего пятнадцатилетними облигациями с нулевым купоном, рыночная стоимость которых — $50 млн, первоначальная прибыльность — 7,35%, а модифицированная дюрация — 9,11, — 95%-ная рисковая стоимость равна  .

Концепция VaR проста и основана на интуиции, однако вычисление VaR часто  становится весьма сложной статистической проблемой. Существует множество методов вычисления VaR, но все они имеют схожую структуру и состоят из трех основных этапов [9]:

1. вычисление рыночной стоимости (mark-to-market) актива или портфеля активов;
2. оценка вероятностного распределения доходности актива или портфеля активов;
3. выбор доверительного уровня и соответствующего ему значения VaR.

Основное различие между методами вычисления VaR заключается в том, как проходит второй этап, т. е. какие  используются способы оценки вероятных изменений в стоимости портфеля. Все существующие методы вычисления VaR можно разделить на четыре категории:

• параметрические (подход RiskMetrics ™ и GARCH);
• непараметрические (метод исторического моделирования и так называемые “гибридные” методы [11,12]);
• полупараметрические (Extreme Value Theory — теория экстремальных значений и методы квазимаксимального правдоподобия GARCH);
• методы компьютерной симуляции Монте-Карло.

Специалисты уже пришли к консенсусу относительно необходимости применения VаR, однако существуют серьезные разногласия по поводу того, какую методологию вычисления VaR предпочтительней использовать. У всех методов есть свои достоинства и недостатки. Выяснение того, какая методология вычисления VaR является наилучшей, — это эмпирический вопрос, зависящий от количества активов в портфеле, их типа и конкретных целей вычисления. Тем, кто хотел бы подробно ознакомиться с теоретическими аспектами данной проблемы, мы рекомендуем обратиться к обширной учебной и специальной литературе по теории и методам вычисления VaR [6, 13, 14]. А наша статья будет продолжена описанием конкретных примеров вычисления рисковой стоимости.

2.1 Вычисление рисковой стоимости валютного форвардного контракта

В настоящее время для хеджирования валютного риска нефинансовые корпорации чаще всего используют такой вид валютных деривативов, как форвардные валютные контракты. Согласно результатам корпоративного опроса, проведенного Банком международных расчетов (Bank for International Settlements — BIS), 59% всех компаний химической промышленности, 52% металлургических компаний, 51% машиностроительных предприятий и 44% организаций, производящих товары длительного пользования (durables), используют валютные форвардные контракты. По 42% автомобилестроительных компаний, предприятий пищевой промышленности, транспортных компаний используют валютные форварды [23].

Предположим, что в целях хеджирования валютного риска фирма, заключила  трехмесячный форвардный контракт, согласно которому, она через 91 день должна будет  получить 10 млн английских фунтов в обмен на $15 млн. Спотовый обменный курс между американским долларом и английским фунтом на момент заключения контракта — S(USD/GBP) = $1,5335 за фунт. Годовая процентная ставка в долларах США для трехмесячных кредитов составляет r_usd = 5,469 %, а годовая процентная ставка в английских фунтах для трехмесячных кредитов — r_gbp = 6,063%.

2.1.1 Вычисление VaR валютного форвардного контракта методом исторического моделирования

Основная идея метода исторической симуляции заключается в том, что историческое распределение прибыльности останется неизменным в течение следующего периода. Поэтому при оценке VaR используется эмпирическое распределение прибыльности. Метод исторической симуляции не требует предположения о нормальном распределении и серийной независимости наблюдений. Согласно этому подходу, форма используемого распределения определяется эмпирическим данными, а процентили вычисляются непосредственно как эмпирические процентили исторического распределения прибыльности портфеля. Вычисление рисковой стоимости валютного форвардного контракта методом исторического моделирования можно условно разделить на пять этапов.

Первый этап: определение основных рыночных факторов и вычисление рыночной стоимости форвардного контракта

Форвардный контракт может быть представлен как комбинация длинной позиции в трехмесячной облигации с нулевым купоном, деноминированной в английских фунтах и имеющей номинальную стоимость 10 млн. английских фунтов, и короткой позиции в трехмесячной облигации с нулевым купоном, деноминированной в американских долларах и имеющей номинальную стоимость $15 млн. В данном случае рыночная стоимость форвардного контракта зависит от трех основных рыночных факторов: спотового обменного курса между долларом и фунтом (S), процентной ставки на трехмесячные заимствования в английских фунтах (r_gbp), и процентной ставки на трехмесячные заимствования в долларах США (r_usd). Рыночная стоимость данного контракта равна

Второй этап: сбор данных и фиксирование реальных значений рыночных факторов за “исторический период”, который используется для вычисления VAR

В данном примере исторический период равен 100 дням. Ежедневные изменения значений рыночных факторов затем используются для формирования гипотетических значений рыночных факторов при вычислении VAR.

Третий этап: вычисление гипотетических значений рыночных факторов

Третий этап вычисления VAR является ключевым. На данном этапе изменения рыночных факторов (в процентном выражении) умножаются на сложившиеся на период вычисления VAR значения рыночных факторов. Затем, используя гипотетические значения рыночных факторов, вычисляют гипотетические изменения стоимости контракта за один день. Пример вычисления гипотетических значений рыночных факторов приводится в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Пример вычисления гипотетического  значения рыночных факторов для дня 1

Вычисление, представленное в табл. 2.1, повторяется еще 99 раз для каждого дня во временном ряду из 100 наблюдений, при этом используются значения рыночных факторов на день вычисления VAR и процентные изменения рыночных факторов на каждый день во временном ряду. В результате получают 100 гипотетических значений изменения рыночной стоимости форвардного контракта (табл. 2.2).

Таблица 2.2

 Историческое моделирование  100 гипотетических дневных прибылей/потерь на форвардном контракте

Четвертый этап: сортирование гипотетических изменений в стоимости контракта

На данном этапе гипотетические изменения в стоимости контракта сортируются в порядке убывания: от самой большой прибыли за один день до самых крупных убытков за один день (табл. 2.3). Отсортированная в порядке убывания выборка является эмпирическим распределением однодневных изменений стоимости gфорвардного контракта. Поскольку вся выборка состоит из 100 наблюдений, то каждое значение имеет вероятность 1%. Как видно из табл. 2.3, самая крупная дневная прибыль на данном контракте составляет $212,05 тыс., а самые крупные дневные убытки составляют –$143,207 тыс.

Таблица 2.3

Эмпирическое распределение  гипотетических дневных прибылей / потерь на форвардном контракте

Пятый этап: выбор наблюдения, которое  соответствует VaR с заданным доверительным уровнем

На последнем этапе выбирается значение убытков, соответствующее VaR с заданным уровнем вероятности. Например, для 95%-ной VAR необходимо выбрать  уровень дневных убытков, который  был превышен не более чем в 5% случаев. Поскольку в данном случае мы использовали стодневную выборку, то VAR^95% равен пятому наблюдению с конца или $97,23 тыс.

Следует отметить, что у метода исторического моделирования есть два серьезных недостатка [24]. Во-первых, довольно трудно получить надежную оценку крайних (экстремальных) процентилей распределения при небольшом количестве наблюдений. Допустим, при вычислении VaR^99% с использованием данных за один год, состоящий из 250 торговых дней, используется третье с конца наблюдение. Поэтому дневные VaR, вычисленные методом исторического моделирования, часто подвержены резким колебаниям. Во-вторых, метод исторического моделирования предполагает, что прибыльности являются независимыми и идентично распределенными, и соответственно, не позволяет волатильности изменяться с течением времени. Решить первую проблему помогает использование длинных временных рядов. При применении метода исторического моделирования нередко используются временные ряды длиной до пяти лет. Однако использование длинных временных рядов лишь усугубляет проблему изменяющейся волатильности. В рамках исторического моделирования придать больший вес недавним наблюдениям можно только одним способом, а именно использовать “короткое окно наблюдений”. При длинных временных рядах уменьшается вес недавних наблюдений, а при коротких — снижается надежность оценки экстремальных процентилей.

Для устранения недостатков исторического  моделирования применяется так  называемый “гибридный” подход, при  котором недавним наблюдениям придается  больший вес, чем сделанным давно. В частности, был предложен метод [12], согласно которому величина веса для наблюдения периода t - j (где j = 1,…, t-1) во временном ряду, состоящем из к наблюдений, равна  , где λ = 0,98, и убывает по мере удаления периода t. На первом этапе все гипотетические прибыльности сортируются подобно тому, как это делается при использовании метода исторического моделирования. Однако если в рамках данного метода к каждому наблюдению временного ряда применяют одинаковые веса, то при использовании гибридного метода к эмпирическому ряду прибыльностей применяют экспоненцально убывающие веса. Вес, приданный наблюдению, приравнивается к вероятности наблюдения данного значения переменной. Для определения необходимого процентиля эмпирического распределения суммируются веса  (соответствующие отсортированным гипотетическим значениям прибыльностей), до тех пор пока не будет достигнут требуемый процентиль.

Существует и второй гибридный метод, объединяющий метод исторического симулирования и динамические моделирование изменений волатильности [11]. Когда при вычислении VaR применяется именно он, вместо использования исторической прибыльности прибегают к прибыльности, умноженной на соотношение дневной волатильности на момент вычисления VaR к волатильности на день наблюдения данной прибыльности. Например, 20 дней назад была зафиксирована прибыльность 1,6% и волатильность 1%. Если на день вычислений VaR волатильность составляет 1,5%, то модифицированная прибыльность равна 2,4%. Общая формула вычисления модифицированной прибыльности  , где Т — период вычисления VaR, t — период наблюдения прибыльности. Для вычисления σ_Tj и σ_tj , в свою очередь, могут использоваться либометод GARCH, либо метод экспоненциального сглаживания. Как показали эмпирические исследования на материалах рынка Forex, применение подобного гибридного метода с модифицированным значением прибыльностей дает более точные результаты, чем применение либо чистого метода исторического моделирования, либо чисто ковариационного метода с экспоненциальным сглаживанием волатильностей [25].

2.1.2 Вычисление VaR валютного форвардного контракта ковариацион-ным методом

Ковариационный метод основан  на предпосылке о том, что прибыльности рыночных факторов имеют многомерное  нормальное (гауссовское) распределение. Математические свойства нормального  распределения используются для  вычисления рисковой стоимости. Стандартное отклонение стоимости форвардного контракта в данном примере равно $52,5 тыс. Исходя из свойств нормального распределения можно утверждать — вероятность того, что убытки по контракту будут равны или превысят 1,65 стандартного отклонения, составляют 5%. Соответственно, VAR^95% вычисляется как: VAR^95% = 1,65 х стандартное отклонение изменений в стоимости контракта = 1,65 x 52500 = $86,625 тыс.

Вычисление VAR ковариационным методом  состоит из четырех этапов, которые  будут рассмотрены ниже.

Первый этап: определение основных рыночных факторов, влияющих на рыночную стоимость контракта и стандартизированных  позиций, связанных с данными  факторами

Стандартизированная позиция —  это позиция, рыночная стоимость  которой зависит только от одного рыночного фактора.

Форвардный контракт может быть представлен как портфель, состоящий  из трех стандартизированных позиций. Портфель из стандартизированных позиций  по определению имеет такую же дельта-чувствительность к рыночным факторам, как и сам форвардный контракт. Обозначим V ≡ X₁ + X₂+ X₃ стоимость портфеля из трех стандартизированных позиций X₁, X₂ и X₃:

,

где X₁ — стоимость позиции в трехмесячной долларовой облигации,

X₂ — долларовая стоимость фунтовой трехмесячной облигации при фиксированном спотовом обменном курсе — S = 1,5355 американский доллар / английский фунт,

X₃ — долларовая стоимость валютной позиции в британских фунтах, равная дисконтированной (приведенной) стоимости фунтовой облигации при фиксированной процентной ставке — r_GBP = 0,0603%.

При таком выборе стандартизированных  позиций чувствительность форвардного  контракта и портфеля стандартизированных  позиций к изменениям рыночных факторов равны:

.

Второй этап: вычисление волатильности рыночных факторов

На данном этапе вычисляются  коэффициенты корреляции между прибыльностью  рыночных факторов. Предполагается, что однодневные прибыльности рыночных факторов имеют многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. В данном примере волатильность трехмесячной долларовой процентной ставки равна 0,61, волатильность трехмесячной фунтовой процентной ставки — 0,58, а волатильность спотового обменного курса между долларом и фунтом — 0,35. Корреляционная матрица прибыльности рыночных факторов показана в табл. 2.4.

Таблица 2.4.

Корреляционная матрица  прибыльности рыночных факторов

Третий этап: вычисление волатильности  и корреляции стандартизированных  позиций X₁, X₂ и X₃ 

Для данного вычисления используются волатильности и корреляции рыночных факторов, найденные на предыдущем этапе, а также представленные ниже формулы.

.

Аналогично,   и  .

Отметим, что   по определению является модифицированной дюрацией долларовой облигации, а   представляет собой модифицированную дюрацию фунтовой облигации.

Корреляции между прибыльностью  стандартизированных позиций равны  корреляциям между прибыльностью  соответствующих рыночных факторов. В тех случаях когда стоимость стандартизированной позиции и значение рыночного фактора меняются в противоположных направлениях, берется коэффициент корреляции между стандартизированными позициями с негативным знаком. Например, корреляция между долларовой процентной ставкой и обменным курсом равна 0,19, но корреляция между изменениями в стоимости первой и третьей стандартизированныхx позиций равна –0,19, т. к. стоимость Х₁ уменьшается по мере увеличения r_USD.

Четвертый этап: вычисление волатильности портфеля стандартизированных позиций и VaR 

В данном примере σ_{портфель} = $52,5 тыс. и, соответственно,

VAR^95% = 1,65 (σ_{портфель}) = $86,625 тыс.

Как видно из вышеприведенных вычислений, при использовании ковариационного метода ключевую роль играет прогнозирование волатильности. Краткосрочные прибыльности большинства финансовых инструментов характеризуются, с одной стороны, нулевой автокорреляцией. Однако, с другой стороны, они не являются независимыми, поскольку существует значительная автокорреляция между квадратом прибыльностей. Как правило, за малыми изменениями прибыльностей следуют малые изменения прибыльностей, а вслед за значительными изменениями прибыльностей следуют их значительные изменения. Это указывает на то, что волатильность меняется с течением времени. Данное поведение прибыльности финансовых инструментов называется “кластеризацией волатильности”. Кластеризация волатильности влияет на величину VaR, и для ее моделирования были разработаны и широко применяются модели типа GARCH (Generalized autorgressive conditional heteroscedasticity — обобщенная модель авторегрессивной условной гетероскедастичности) [26, 27]. Волатильность на большинстве финансовых и товарных рынков также характеризуется асимметричной реакцией на положительные и негативные шоки. Негативные неожиданные изменения (шоки) в прибыльности акций ведут к гораздо более сильному повышению волатильности, чем положительные шоки. Для прогнозирования волатильности в подобных ситуациях обычно используется асимметричный вариант GARCH, так называемый TGARCH (Threshold GARCH — пороговый GARCH). Для одновременного моделирования VaR как длинных, так и коротких позиций используются модели типа APARCH (Asymmetric Power ARCH — асимметричный “в степени” ARCH) [28], также способные улавливать асимметричность в поведении волатильности. Существует еще множество других разновидностей модели GARCH, которые применяются в зависимости от ситуации. Для оценки всех упомянутых и многих других моделей класса GARCH применяются различные эконометрические и статистические пакеты: SAS, GAUSS, Limdep, RATS, TSP, EViews, S+, Matlab.