Исследование ARC-фильтров второго порядка

Федеральное агентство по образованию 
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

 
Кафедра Автоматики и управления в  технических системах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине:

«Общая электротехника и  электроника» на тему:

«Исследование ARC-фильтров

второго порядка»

Вариант №18(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Черкасенко Дмитрий Алексеевич

Студент группы АУ-1-10

Факультета АИ

Руководитель  работы:

доцент, кандидат технических  наук

Румянцева Валентина Анатольевна

 

 

г. Москва 2012г 

I. Задания на  курсовую работу.

1. Анализ в частотной  области

1.1. Получить выражение схемной  операторной функции ARC-цепи – коэффициента передачи по напряжению. По виду передаточной функции определить тип фильтра.

1.2. Рассчитать резонансную частоту  и добротность цепи. Аналитически исследовать частотные характеристики полученного ARC- фильтра, определив частоту (частоты) среза и полосы пропускания и задерживания. Построить графики АЧХ и ФЧХ.

1.3. Рассчитать и построить амплитудный  и фазный спектры сигнала (воздействия).

1.4. Рассчитать амплитудный и  фазный спектры реакции.

1.5. Построить в функции времени  на интервале -T<t<Т график

реакции цепи на заданное воздействие.

1.6. Выполнить пп.1.3-1.6 для воздействия  той же формы, но с

периодом в 2 раза больше заданного.

1.7. Выполнить пп.1.3-1.6 для воздействия  той же формы, но с

периодом в 2 раза меньше заданного.

2. Анализ во временной  области

2.1. Определить переходную и импульсную  функции.

2.2. Рассчитать и построить график  реакции цепи на ступенчатое воздействие амплитудой U. (Здесь U – амплитуда импульсов, данная в варианте задания).

2.3. Определить и построить график  реакции цепи на импульсное воздействие площадью Utu. (Здесь tu – длительность импульса, данная в варианте задания).

2.4. Найти реакцию цепи на непериодический  прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью tu с помощью переходной функции фильтра. Построить график реакции.

2.5. Найти реакцию цепи на непериодический  прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью tu с помощью импульсной функции фильтра. Построить график реакции.

2.6. Сравнить графики реакций  по пп.2.4 и 2.5.

2.7. Сравнить графики реакций  по пп.1.6, 2.4 и 2.5 (аналитически).

 

II. Исходные данные и схема исследуемого фильтра.

Схема ARC-цепи.

Схемный прототип звена активного RC фильтра с идеальным операционным усилителем (ОУ).

U,B	S	п	K	R1, кОм	R2,кОм	R3,кОм	C1,нФ	С2, нФ
10	10	5		10	15	135	1.2	22,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры схемы:

 

Сигналы:

1. Периодическая последовательность  прямоугольных импульсов

напряжения со скважностью s и амплитудой U.

 

 

 

 

 

 

2. Ступенчатая функция напряжения.

3. Импульсная функция напряжения.

4. Единичный прямоугольный импульс  напряжения с амплитудой

U и длительностью tu.

 

 

 

 

 

 

Исследуемая реакция: U2(t) – напряжение на выходе ARC-цепи.

 

 

Введение

Электрический фильтр – это устройство, которое практически не ослабляет  спектральные составляющие сигнала  в заданной полосе частот и значительно  ослабляет (подавляет) все спектральные составляющие вне этой полосы. Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико, называется полосой непропускания (задерживания). Между этими полосами находится переходная область. В данной работе будет проведено исследование ARC-фильтра второго порядка. В ходе исследования будет найдена передаточная функция исследуемого фильтра, определен его вид, найдены полосы пропускания и задерживания, рассчитана частота среза. Проведен анализ в частотной и временной области и различными методами рассчитаны реакции фильтра на импульсное воздействие.

В данной курсовой работе проводится анализ ARC-фильтра второго порядка  – расчёт его частотных и временных  характеристик, а также рассматривается  преобразование с помощью ARC - фильтра временного сигнала. Анализ ARC-фильтра основан на анализе в частотной области и на анализе во временной области.

 

1.Анализ частотной области.

1.1. Получить выражение схемной операторной функции ARC-цепи – коэффициента передачи по напряжению. По виду передаточной функции определить тип фильтра.

При анализе цепей, содержащих ОУ, наиболее часто ставится задача определения  схемой операторной (или комплексной) функции, в частном случае коэффициента передачи по напряжению. Схемная операторная  функция цепи представляет отношение  операторного изображения реакции  к операторному изображению воздействия:

 

Операторный коэффициент передачи по напряжению:

 

где U1(p) – операторное изображение входного напряжения;

      U2(p) – операторное изображение выходного напряжения.

 

Оптимальным методом расчёта в  данном случае является метод узловых  напряжений (узловых потенциалов). В  общем случае при использовании  этого метода должна быть выполнена  следующая рекомендация: все зависимые  источники преобразуются в источники  тока, управляемые напряжением. При  анализе схем содержащих в себе транзисторы  это положение легко выполнимо, а для схем с ОУ его выполнять  не следует, так как схемы замещения ОУ содержат идеальные ИНУН (источники напряжения, управляемые напряжением).

 

Операторная схема замещения данной цепи, где K→∞.

 R3

 U4

 

 

Система уравнений полученная методом узловых потенциалов:

  

 

 

 

 

где g_i=1/R_i

Подставим в уравнения:

 

 

 

Выведем из второго уравнения 

Подставим .

Отсюда легко найти передаточную функцию по напряжению:

Тип фильтра определяется исключительно  коэффициентами числителя.

Операторная функция передачи фильтров второго порядка в общем случае имеет вид:

 

 

Следовательно передаточная функция по напряжению имеет вид:

Коэффициенты числителя:

  B1=b0/a₂w_p ²= 1.5, B₀=0, B₂=0

Так как все коэффициенты равны  нулю, кроме В₁, то эта передаточная функция соответствует фильтру низких частот  2 порядка.

 

1.2. Рассчитать резонансную  частоту и добротность цепи. Аналитически  исследовать частотные характеристики  полученного ARC- фильтра, определив  частоту (частоты) среза и полосы  пропускания и задерживания. Построить  графики АЧХ и ФЧХ.

 

Отсюда можно рассчитать резонансную частоту ω_рез и добротность Q исследуемого фильтра:

Резонансная частота

 

Добротность фильтра

 

Определение частоты среза  и полосы пропускания

Полосы пропускания – это  диапазоны частот, в которых сигнал не ослабляется. В них численные  значения АЧХ A(ω) относительно велики, а в идеальном случае еще и постоянны.

Диапазоны частот, в которых сигнал подавляется, образуют полосы задерживания. В них численные значения A(ω) относительно малы, а в идеальном случае равны нулю.

Частота между этими двумя полосами ω называется частотой среза.

Экстремальное значение частоты:

Максимальное значение коэффициента передачи по напряжению:

Отсюда частота среза находиться на уровне

 

 

Для построения амплитудно- и фазо-частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ соответственно) необходимо в полученной передаточной функции

Hu( p) заменить переменную p на комплексную переменную j ⋅ω , где j  мнимая единица.

Причем АЧХ – модуль полученного  комплексного числа - H( j ⋅ω) , ФЧХ – аргумент полученного комплексного числа - arg(H( j ⋅ω))

 

 

 

Коэффициент передачи по напряжению

 

Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ:

Фазочастотная характеристика ФНЧ:

 

 

 

 

1.3. Рассчитать и построить  амплитудный и фазный спектры  сигнала (воздействия).

Периодический сигнал – воздействие f (t) - может быть представлен бесконечной  суммой синусоид кратных частот – рядом Фурье:

В теории цепей удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье, которую  можно получить из ряда

 

заменой тригонометрических функций  комплексными экспонентами с помощью  формул Эйлера. В результате получается ряд Фурье для входного импульсного воздействия:

или

 

Частота основной гармоники, которой кратны все суммы

                         

Период входного воздействия

              

Длительность импульса

              

Количество гармоник для усеченного ряда Фурье по условию передачи максимума энергии сигнала не более 2 %:

Количество гармоник для усеченного ряда Фурье по условию минимальных искажений сигнала ∆<0,1

 

 

Входной сигнал (по ряду Фурье)

 

Выходной сигнал (по ряду Фурье)

 

Входной сигнал (идеальный)

                                          

Комплексные коэффициенты ряда Фурье, так же как и определяемые ими  амплитуды и начальные фазы гармоник, являются функциями равноотстоящих дискретных значений частоты, кратных  основной частоте. Комплексные коэффициенты, рассматриваемые как функции  частоты, называют комплексным дискретным спектром; их составляющие, изображаемые графически в зависимости от дискретных значений частоты A(k ⋅ω) и arg(A(k ⋅ω)) - амплитудным и фазным дискретным спектром. Графики дискретных спектров состоят из отрезков вертикальных линий, пропорциональных значениям составляющих и расположенных в точках k ⋅ω

Из полученных данных получаем дискретные спектры:

Амплитудный спектр сигнала

                                 

 

                                               Фазный спектр сигнала

 

1.4. Рассчитать амплитудный  и фазный спектры реакции.

Для расчета спектров выходного  воздействия ряд Фурье имеет  вид:

 

или

где    и  

Амплитудный спектр реакции

Фазный спектр реакции

Как видно из полученных спектров исследуемый фильтр пропускает полосу частот, что является признаком работы ФНЧ.

 

1.5. Построить в функции  времени на интервале -T<t<Т график

реакции цепи на заданное воздействие.

График реакции цепи на заданное воздействие

График АЧХ

 

 

 

График ФЧХ

 

 

1.6. Выполнить пп.1.3-1.6 для  воздействия той же формы, но  с

периодом в 2 раза больше заданного.

 

Частота основной гармоники

 Период входного воздействия

Длительность импульса

 

 

 

 

 

Входной сигнал (по ряду Фурье)

 

Выходной сигнал (по ряду Фурье)

 

Входной сигнал (идеальный)

 

График реакции цепи на заданное воздействие

Амплитудный спектр сигнала

 

 

 

Фазный спектр сигнала

Для расчета спектров выходного  воздействия ряд Фурье имеет  вид:

 

или

где    и  

 

Амплитудный спектр реакции

Фазный спектр реакции

График АЧХ

График ФЧХ

1.7. Выполнить пп.1.3-1.6 для  воздействия той же формы, но  с

периодом в 2 раза меньше заданного.

Частота основной гармоники

 

Период входного воздействия

Длительность импульса

 

 

 

Входной сигнал (по ряду Фурье)

 

Выходной сигнал (по ряду Фурье)

 

Входной сигнал (идеальный)

 

 

График реакции цепи на заданное воздействие

 

 

Амплитудный спектр сигнала

 

Фазный спектр сигнала

 

Для расчета спектров выходного  воздействия ряд Фурье имеет  вид:

 

или

где    и  

Амплитудный спектр реакции

 

 

Фазный спектр реакции

График АЧХ

График ФЧХ

 

 

 

 

2.Анализ во временной области

2.1. Определить переходную  и импульсную функции.

 

Временные методы определения реакции  цепи на произвольное воздействие основаны на интегралах Дюамеля и наложения, в которых используется переходная и импульсная характеристики цепи. Следует учитывать, что реакция  цепи определяется при нулевых начальных  условиях.

 

 

Переходной характеристикой h(t) называется функция, описывающая переходной процесс в цепи с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику единичного ступенчатого воздействия.

Расчетная формула для переходной характеристики имеет вид:

Импульсная характеристика – hδ (t ) – функция, описывающая переходной процесс в цепи с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику единичного импульсного воздействия.

Расчетная формула для импульсная характеристики имеет вид:

 

 

 

 

2.2. Рассчитать и построить график  реакции цепи на ступенчатое  воздействие амплитудой U. (Здесь U – амплитуда импульсов, данная в варианте задания).

 

Исходя из полученной переходной характеристики, график реакции цепи на ступенчатое  воздействие имеет вид:

График реакции цепи на ступенчатое воздействие амплитудой U

2.3. Определить и построить  график реакции цепи на импульсное  воздействие площадью Utu. (Здесь tu – длительность импульса, данная в варианте задания).

Исходя из полученной импульсной характеристики, график реакции цепи на заданный импульс  площадью τ 0 U имеет вид:

График реакции цепи на импульсное воздействие площадью Utu

2.4. Найти реакцию цепи  на непериодический прямоугольный  импульс амплитудой U и длительностью tu с помощью переходной функции фильтра. Построить график реакции.

Для расчета реакции на непериодический  импульс с помощью переходной характеристики фильтра воспользуемся  интегралом

Дюамеля (или наложения), который  имеет следующий общий вид:

 

 

где          - заданное воздействие произвольной формы

- реакция цепи на данное воздействие

Интегралом Дюамеля можно рассчитать реакцию цепи на произвольное воздействие, поэтому для расчета именно непериодического импульсного воздействия необходимо учесть, что до и после подачи импульса входного воздействия нет.

Для импульсного непериодического воздействия                                     , заданного при предыдущих расчетах, функция реакции цепи примет вид (с учетом того, что подан именно импульс):

Функция реакции на непериодический  прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью τ , выраженная с помощью импульсной характеристики фильтра имеет вид:

 

 

где в качестве функции импульса взята уже известная функция

 

 

 

Реакция цепи на непериодический прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью импульса tu с помощью переходной функции фильтра:

2.5. Найти реакцию цепи  на непериодический прямоугольный  импульс амплитудой U и длительностью tu с помощью импульсной функции фильтра. Построить график реакции.

Реакция цепи на непериодический прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью импульса tu с помощью импульсной функции фильтра:

 

2.6. Сравнить графики  реакций по пп.2.4 и 2.5.

Как видно из графика, результаты расчета  реакции с помощью импульсной и переходной характеристик полностью  совпали.

Однако необходимо заметить, что  импульсная характеристика дала более  точный результат, а результат, полученный интегралом наложения, пришлось умножать на функцию Хевисайда с поправкой на сдвиг, чтобы сгладить неточности, появившиеся из-за универсальности данного способа расчета.

 

 

2.7. Сравнить графики реакций по пп.1.6, 2.4 и 2.5 (аналитически).

Как видно полученные различными методами результаты полностью идентичны. Разница  лишь в том, что анализ в частотной области дал результат с запаздыванием на τ/2. Это связано с тем, что импульс при анализе частотной области импульсное воздействие подается на отрезке [-τ/2, τ/2], а не на [0,τ ], как при анализе во временной области.