Министерство  образования республики Беларусь

Учреждение  образования

«БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ  И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт  информационных технологий 
 

Кафедра: Автоматического  управления 
 

Специальность: Промышленная электроника 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 

По  курсу: «Теория автоматического управления»

                    На тему: “Исследование  линейных непрерывных, 
                                         импульсных и нелинейных систем

         автоматического  управления” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Выполнил:

     Студент  группы 783121:                                                                    Васильев Д. С. 

     Проверил:                                                                                            Кузнецов В.П.

  
 
 
 
 
 
 

Минск, 2009 

СОДЕРЖАНИЕ 

      Введение..……………………………………………………….………… .3

      1 Исследование линейной непрерывной  САУ………………………….. 4

         

      2 Исследование линейных импульсных  САУ……………………………..16 

             

      3 Исследование нелинейной непрерывной  САУ………………………….23

            

            Заключение………………………………………………………………….25    

           Литература………………………………………………………………...….26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

      Целью курсовой работы является изучение основных аналитических и графоаналитических методов описания и исследования динамики САУ на уровне их математических моделей. Вопросы программного и  алгоритмического обеспечения исследования САУ и проектирование конкретных САУ будут раскрыты в курсах “Автоматизация проектирования систем управления”, “Локальные системы автоматики”. При выполнении курсовой работы для расчёта процессов и характеристик САУ использовались стандартные программы: Matlab, Excel. 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. Исследование линейной непрерывной САУ

 

Исходные  данные 

      Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис.1.1, где – управляющее воздействие, – возмущающее воздействие,  - сигнал ошибки, - выходной сигнал. Значения параметров , , заданы в табл. 1. Размерность , , в секундах, общий коэффициент передачи имеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скорости при скачке по скорости и , время переходного процесса в секундах, и перерегулирование в процентах. 
 

 

Таблица 1. Исходные данные 

Рис.1.1 

    

1. Требуемые передаточные функции находят с  использованием правил структурных  преобразований. Коротко сформулируем основные правила.
• Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются.
• Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются.
• Передаточная функция системы с обратной связью – это передаточная функция замкнутой системы, которая определяется по формуле:

    

     Например, для системы, представленной на рис. 1.2 можно записать следующие передаточные функции :

    Рис.1.2 

      Передаточная  функция разомкнутой системы при , (т.е. разомкнута главная обратная связь) определится выражением 
 
 

     где обозначено , 
 
 
 
 
 

    Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при , Выражается формулой:  
 
 

    Передаточная  функция по ошибке при , которая позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии, выражается формулой: 
 

    Передаточная  функция по возмущению при позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал:  
 

    

2. Передаточная  функция разомкнутой исходной системы  имеет вид  , где . Характеристическое уравнение замкнутой системы будет , где при заданных из таблицы исходных данных числовых значениях и коэффициенты будут зависеть от параметров и . Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости: .

     Приравнивая в написанных соотношениях правые части  нулю, найдем зависимость  от и построим в плоскости и границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости. При заданном параметре находим граничное значение коэффициента передачи . 
 

где обозначено

     , 
 
 
 
 
 

     Выразим через параметр Т₂. 
 

Где 
 
 

     Зависимость К(Т₂) приведена на рис.1.3.

Рис.1.3

     При заданном параметре  находим граничное значение коэффициента передачи .

K_гр=K(T2=0,19)=4,99

3. Если, записываем аналитическое выражение для , из при .

К_общ=0.7K_гр=3,493,

     Передаточную  функцию разомкнутой системы можно записать в виде 
 
 
 

Где 
 

                     

     Тогда 
 

Где 
 

      Строим  графики логарифмических характеристик разомкнутой системы, с помощью MATLAB (оператор bode или margin) Рис.1.4 . Предварительно с помощью функции sys=tf([K],[a1 a2 a3 a4 0]) найдем 

Результат исполнения в MATLAB 
 

Transfer function:

                3.493

-------------------------------------

0.019 s^4 + 0.451 s^3 + 2.045 s^2 + s 

 

Рис.1.4  

      Строим  график АФЧХ с помощью MATLAB (оператор nyquist) рис.1.5 для разомкнутой системы.

Рис.1.5 

     Запасы  устойчивости по модулю и фазе определяются по логарифмическим характеристикам (см. рис.1.4 ): на частоте среза ω_с определяется запас по фазе – , а запас по амплитуде – на частоте при которой . Таким образом, , , что является недостаточным.

4. Величина ошибки по скорости определяется как . Для ориентировочной оценки t_nn и σ следует построить переходной процесс (оператор step в MATLAB) при и по нему определить t_nn и σ.

    Для получения уравнений состояний  в нормальной форме используем дифференциальное уравнение замкнутой системы . Если , то уравнение состояния имеет вид 
 
 
 

    Для описания динамических систем в пространстве состояний в Matlab применяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях.

    Модель  непрерывной системы в подклассе ss имеет вид:

    dv/dt = Av + Bn;

    y = Cv + Dn,

где: v - вектор состояния; u- вектор входа; у - вектор выхода.

    Для формирования моделей в подклассе ss предназначена функция ss

    sys1 = ss(A, В, С, D).

    В результате под именем A1 получаем ss-объект с числовыми характеристиками в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. Матрицу D в данном случае полагаем равной 0.

      Для построения переходного процесса воспользуемся оператором step в MATLAB.

      Реализация функций имеет вид: 

sys1=ss([0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-b5/b1 –b4/b1 –b3/b1 –b2/b1],[0 0 0 K/b1]',eye(4),zeros(4,1)) 

      В результате получим графики представленные на рис.1.6. Нас будет интересовать Out(1).

     Величина  ошибки по скорости определяется как .

     Для ориентировочной оценки t_nn и σ следует построить переходной процесс (оператор step в MATLAB) при и по нему определить t_nn и σ.

     

Рис.1.6 

       Эти величины из графика Out(1) определяются следующим образом:

     , U_max,

Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: ε_уст=n(t)/(1+K), где , а К_общ=3,493 – общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда ε_уст=0,556 и следовательно t_nn из графика Out(1) берем значение .

      Следовательно исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать.

5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛАЧХ . В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/s в системе) требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения . На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.

    Учет  требований качества переходного процесса: t_nn и σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области . Здесь можно воспользоваться графиком (рис.1.6). 

 

Рис.1.7  
 

    По  графику рис.1.7 для заданных значений и находят и затем из соотношения частоту среза .

    В наше случае: (как показано на рис.1.7) для , , откуда для , допустим 4 с, значение и .

    Сопряжение  среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.7) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на (протяженность участка около декады). Тогда, выберем на частоте и на частоте .

    Введем  обозначения:

    

    Величину  ω₁ найдем из условия равенства значений . Это соотношение приводит к следующему выражению: 
 

     В последнем выражении обозначено: 

дБ

10 Дб

L(ω₅)=L(10)= 27,455 дБ

L(ω₆)=L(1)= 7,863 дБ 

      Последние две величины находятся из выражения  для L_исх(ω).

      Найденное по формуле значение ω₁= 0,224

      ЛАЧХ  с корректирующего устройства с  характеристикой L_k(ω), приведенной на рис.1.7, соответствует функция (рис.1.8): 
 

Где 
 
 
 
 

                        

    

    Рис. 1.8. 

    Общая передаточная функция разомкнутой  системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид 
 
 

    где.

    Далее воспользуемся функцией zpk(Кк, р, К_общ), где К_общ и р – векторы из нулей и полюсов, а Кк – обобщенный коэффициент передачи, sys2 – любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид 

sys2=zpk([-1/Tk2 -1/Tk3],[0 -1/T1 -1/T2  -1/T3  -1/Tk1  -1/Tk4],Kk) 

      Результат представления sys2 представлен ниже.  

     Zero/pole/gain:

                 488.124 (s+0.4472) (s+0.5556)

     -----------------------------------------------------

     s (s+18.18) (s+5.263) (s+3.497) (s+0.5556) (s+0.1866) 

     Диаграммы Боде (margin(sys2)) представлены на рис.1.9. На диаграмме также обозначены запасы устойчивости, которые являются приемлемыми.

 

    Рис.1.9

    Для нахождения переходных характеристик  замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний.

    Передаточная  функция замкнутой системы имеет  вид 
 
 
 

      Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд

sys2=zpk([-1/Tk2 -1/Tk3],[0 -1/T1 -1/T2  -1/T3  -1/Tk1  -1/Tk4],Kk) 

sys3=inv(1+sys2)*sys2 – находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя) 
 
 
 
 
 
 
 
 

Zero/pole/gain:

            488.124 (s+0.4472) (s+0.5556)

-----------------------------------------------------

s (s+18.18) (s+5.263) (s+3.497) (s+0.5556) (s+0.1866)

 

 

Zero/pole/gain:

                 488.124 s (s+18.18) (s+5.263) (s+3.497) (s+0.5556)^2 (s+0.4472) (s+0.1866)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

s (s+3.497) (s+5.263) (s+6.984) (s+18.04) (s+18.18) (s+0.5556)^2 (s+0.5459) (s+0.1866) (s^2  + 1.56s + 3.174)

Переходная характеристика (рис.1.10) находится с помощью функций: 

sys4=ss(sys3) 
 
 

     Описание  системы в пространстве состояний  можно вычислить с помощью  функции step(SYS4). Из рассмотрения рис. 1.10  видно, что параметры по заданию выполняются. 

Рис.1.10  

Система скорректирована и удовлетворяет  требованиям. 

2. Исследование линейных импульсных САУ 

      Исходные данные 

      Таблица 2 

 

    Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, составляющая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью  , где  – период дискретизации, . Исходные данные для расчетов приведены в табл. 2. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид

    

. 

    Импульсный  элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией

    

    Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 – постоянные времени имеют размерность секунды, – коэффициент передачи НЧ имеет размерность и выбирается далее.  

Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы

 
       

1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой  импульсной САУ  находим передаточную функцию приведенной непрерывной части

       К применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы .

       Преобразуем W₀(s) к виду 
 

       Здесь введены обозначения K . Тогда воспользовавшись результатами полученными ранее, получим

       ,

где обозначено 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Передаточные  функции замкнутой системы легко  находятся по выражениям 

     

     

      
 
 

    2. Устойчивость системы определяется  корнями характеристического уравнения  замкнутой системы, которое для нашего случая будет иметь вид . В соответствии с алгебраическим критерием (приведенные в методичке) замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств 

    

, , . 

    В неравенстве при известных значениях  , , , входит величина .

    Таким образом, можно выделить отрезок значений , при которых система будет устойчива и далее принять .

      Условия устойчивости будут: 
 
 
 

      После преобразований и возврата к старым переменным получим 
 
 
 
 
 

Вычислим  эти значения. Получим 0,17 <K₀< 2,644. Таким образом принимаем K₀=1 

3.Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении делаем замену переменной

  ,                                     

    В результате этого получим частотную  характеристику и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику и фазочастотную характеристику , графики, которых строятся в логарифмическом масштабе.

      Передаточная  функция разомкнутой системы  имеет вид

тогда можно воспользоваться следующей  последовательностью команд Matlab 

Tb=T*g

sys=tf([c0 c1 c2],[a1 a2 a3],Tb)

sysi=d2c(sys,'tustin') 
 
 
 
 

     Transfer function:

        0.17 z + 0.0183

     ---------------------

     z^2 - 1.368 z + 0.368

      

     Sampling time: 0.3

      

     Transfer function:

     -0.05545 s^2 - 0.08918 s + 3.059

     --------------------------------

         s^2 + 3.08 s - 2.28e-015 

     Получаем выражение

где параметры  g и f видны из вышеприведенного выражения. 

 

Рис.2.2 

    4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с  астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию 
 

где .

    В силу астатизма первого порядка  в такой системе статическая  ошибка всегда равна нулю, а скоростная вычисляется по формуле .

    Тогда

    .

    Вычислим коэффициенты ошибок. Величина , а коэффициент ошибки находится по следующей формуле

    

,

где - передаточная функция системы по ошибке.  

      Подставив в последнее выражение найденные  ранее значения окончательно получим  С₁=0,171

5. При входном воздействии вида переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы – bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде и период дискретизации , то получим рис.2.3.

X=K(τ₁+1)

Tb=T*g

X=2 

sysi=tf([T1 1 0],[T1 1 X])

sysi1=c2d(sysi,TD)