История и развитие интегрального исчисления

Содержание

Введение…………………………………………………………………….….3

Глава I .История развития интегрального исчисления……………………...5

§1.1. Геометрический смысл неопределенного интеграла………………….6

§1.2. Неопределенный интеграл……………………………………………...7

§1.3. Символьный метод, операторы………………………………………….7

Глава II. Ньютон и Лейбниц ………………………………………………….8

§2.1. Рождения противоречий………………………………………………...9

§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме……………………………...10

Глава III. Проблема двойных и тройных интегралов………………………12

§3.1. Исследование методов  двойных и тройных интегралов……………..12

§3.2. Основополагающий результат  Коши………………………………….13

§1.3. Роль интегрального исчисления в будущей профессии юриста…….14

Заключение………………………………………………………………......16

Список использованной литературы……………………………………..18

Приложения………………………………………………………………….19 
Введение

      Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа. Интегральным исчислением называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. 
Метод исчерпывания - начало интегрального исчисления. 
   Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). По этим правилам, по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед. 
Рассмотрим типичную схему доказательств, используемую в методе исчерпывания. Она выглядела следующим образом. Для того, чтобы определить величину A строилась некоторая последовательность величин C 1 , C 2 , …, C n , … такая, что.Предполагалось также известным такое B , что для любого целого N можно найти достаточно большое n , удовлетворяющее условию: 
Где величина d – константа. В результате трудоёмких вычислений, из последнего выражения удавалось получить следующее: 
          Таким образом, видим, что рассматриваемый метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п., обозначенных последовательностью А 1 , А 2 , …, А n , …). Таким образом метод исчерпывания можно представить как античный интегральный метод. Определение основных понятий и принципов интегрального исчисления.

   Известно, что кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих ценных научных достижений. Не повезло и методу исчерпывания - о нём вспомнили лишь в XVII веке. Дальнейшее его развитие связано с такими известными в математике именами, как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и ряда других выдающихся учёных. Они положили основу современного математического анализа. 
Все возрастающие запросы практики и других наук в конце XVII и в XVIII веке побудили ученых максимально расширить область и методы исследований математики. На первое место выдвинулись понятия бесконечности, движения, функциональной зависимости. Они стали основой новых методов математики.    
Глава I. История развития интегрального исчисление 
        

         Основанные на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером, в конце XVII века были разработаны основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применение к решению прикладных задач.

         Известна следующая забавная история. В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Для подготовки к ней ему нужно было приобрести несколько бочек виноградного вина. При их покупке Кеплер был удивлен тем, как продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увлёкся этой интереснейшей математической задачей - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над ней, Кеплер вывел формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Кеплеру для каждого из изучаемых тел создавал новые, нередко очень хитроумные методы, что оказалось крайне неудобно. Позднее именно попытка найти общие, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

  Не найти другого учёного, исследования которого оказали бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. Ван-дер-Варден в своей книге “Пробуждающаяся наука” написал: “Каждый естествоиспытатель, безусловно, согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самим значительным  наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько. Что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно

Из биографии Исаака Ньютона  известно, что он родился в 1643 году, посещал сначала сельскую школу, а в двенадцать лет его отправили  учиться в ближайший город. Директор школы обратил внимание на способного мальчика и настоял, чтобы мать Ньютона  отправила сына учиться в Кембриджский университет. Ньютона приняли университет  как бедного студента, обязанного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов.

Жизнь связала Ньютона  с молодым блестящим учёным Исааком  Барроу, который занимал тогда  Кафедру математики в Кембридже. Он заинтересовался талантливым  молодым человеком и скоро  стал не только учителем, но и другом Ньютона, а спустя несколько лет  уступил своему великому ученику  кафедру математики. К этому времени  Ньютон получил уже степени бакалавра  и магистра. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием  математического аппарата, с помощью  которого можно было бы исследовать  и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления, он назвал его методом  флюксий. Это дало возможность решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютона  многие функции определяли только геометрически, и к ним невозможно было применять  алгебру или новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий  метод аналитического представления  функции - он ввел в математику и  начал систематически применять  бесконечные ряды.

Любое число «a» можно представить в виде: где N - целая часть, а a 1 , a 2 , ... a n , ... могут принимать одно из значений от 0 до 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любую функцию от x , например , , можно представить как бесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням , а по степеням x :,  
где a 1 , a 2 , ... a n , ...- коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены. Примером служит известная нам геометрическая прогрессия:

Такое представление функции  с помощью ряда очень удобно. С  помощью рядов, как писал Ньютон, “удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”. 
К аналогичным идеям, одновременно с Ньютоном, пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц. 
 
   Познакомимся с его биографией. Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный мальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессором Лейпцигского университета. К 12 годам он изучил латинский язык и увлёкся древнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он любил подолгу размышлять о философских теориях Аристотеля, Демокрита. В 15 лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет, где старательно изучал право и философию. Он очень много читал, его любимыми книгами были книги Р. Декарта, Г. Галилея, II. Кеплера и Д. Кампанеллы. Колоссальные знания но математике Лейбниц приобрел, как ни странно, самоучкой. Через три года, окончив университет, Лейбниц, обиженный отказом ученого совета университета присвоить ему, степень доктора прав покинул Лейпциг. Отказ объяснили тем, что Лейбниц был... слишком молод! 
Так для молодого учёного началась жизнь, полная напряженного труда и далёких бесконечных путешествий. Нетрудно представить, как неудобно было путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен. Лейбниц старался никогда не терять время даром. Много удачных мыслей родилось в его талантливой голове именно во время этих продолжительных поездок. 
Лейбниц обладал исключительной способностью быстро понимать в задачу и решать ее наиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами, он убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Всю свою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать в виде математического исчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях, но этим символическим формулам. Лейбниц стремился избавить наши рассуждения от любой неопределенности и возможности ошибиться самому или вводить в заблуждение других, заменяя общие слова четко определенными символами. 
 
   Лейбниц мечтал, что если вдруг между людьми возникнут разногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах, а так, как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и, сказав: “Начнем вычислять” - примутся за расчеты. 
Лейбниц одновременно с Ньютоном, как уже отмечалось, и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений.

Теория приобрела силу только после того, как Лейбницем  было доказано, что дифференцирование  и интегрирование - взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон, но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода. 
          Так любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощного математического метода.

§1.1. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

    Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

Аналогично можно построить  график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х² + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.

§1.1.Неопределенный интеграл.

 Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x²/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x²/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Метод подстановки

  Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

 функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

∫ f(x)dx =∫ f(f (t))f' (t)dt.

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'_x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).

Таким образом,

∫ f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C. Так как ∫ f(x)dx = F(x)+C

Интегрирование по частям :

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu.    

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫ x^k ln^mx dx, ∫x^k sin bx dx, ∫ x^k cos bx dx, ∫x^k e ^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Пример.1

∫(х-4)*sin3xdx│u=x-4,du=dx dv-sin3xdxv=∫sin3xdx=- cos3x│-cos3x+∫cos3xdx=-xcos3x=+sin3x+C

Пример.2

Найти ∫ arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда ∫ arctg x dx = x arctg x - ∫ x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как 
∫x dx/(x²+1) = 1/2 ∫ d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

Пример.3

Вычислить ∫ e^x sin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^x dx, v = ∫ sin x dx= - cos x → ∫ e^x sin x dx = - e^x cos x + ∫ e^x cos x dx. Интеграл ∫ e^x cos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx Þ du=e^xdx, v=sin x. Имеем: 
∫ e^x cos x dx = e^x sin x - ∫ e^x sin x dx. Получили соотношение ∫ e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x - ∫ e^x sin x dx, откуда 2 ∫ e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x + С.

§1.2. Символьный метод,  операторы

    В наше время такие символы операций называют операторами. Операторы дифференцирования d() и интегрирования действуют на функции, “перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число, а можно выносить за знак оператора. Одинаковые операторы можно выносить за скобку. 
Сокращенно все перечисленные свойства можно выразить соотношением: где a и b - числа. 
Однако в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.  
Операторы, которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов, которую с таким успехом начал развивать, Лейбниц,. в современной математике является хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией. 
Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ) : 
То, что основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и также взаимно обратны, как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение, аналогичное обозначению a -1 числа, обратного a , причём произведение a Ч a -1 =1. Обозначая операторы или наоборот: 
и понимая под их произведением последовательное их применение, имеем, т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

Глава II. Ньютон и Лейбниц.  
 
     Лейбниц и его последователи - братья Бернулли, Лопиталь и другие - трактовали дифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин, как тогда говорили - “реальных” величин “низшей” математики. Поэтому они обращались с теми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы, которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что таким образом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одному основному свойству основных конечных величин: если А — конечная величина, а a — бесконечно малая, то, чтобы результат исчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводить вычисления в предположении, что А+ a =А . 
 
Дифференциальное исчисление, значение которого для развития науки и техники было вне сомнений, оказалось в парадоксальном положении: чтобы его методами получить точный результат, надо было исходить из ошибочного утверждения. Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечных малых дифференциалов:

</.

 
§2.1. Рождение противоречий

Ньютон пытался обосновать дифференциальное исчисление на законах  механики и понятии предела. Но ему  не удалось освободить свое исчисление флюксий от недостатков, присущих дифференциальному  исчислению Лейбница. В практике вычисления Ньютон, как и Лейбниц, применял принцип  отбрасывания бесконечно малых. 
 
Такая непоследовательность позволила назвать дифференциальное исчисление Лейбница–Ньютона мистическим. Этим в первую очередь подчеркивалось, что Лейбниц и Ньютон вводили в дифференциальное исчисление бесконечно малые величины метафизически, сразу полагая их существующими, без выяснения их возникновения и развития и без анализа природы их специфических свойств. 
     Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдать принципы анализа бесконечно малых путем сравнения бесконечно малой с песчинкой, которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п. 
Другая попытка была предпринята в конце XVIII века. Известный немецкий математик Вессель предложил оставить анализ бесконечно малых в анализе в качестве “полезных вспомогательных функций”. Однако, такая трактовка широкого распространения не получила - математики знали механическое и геометрическое истолкование dx и dy . 
Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века. 
 
     Математики пытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века - Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени. 
Поясним сказанное одним примером. 
         Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла. Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции: 
где F ` (x)=f(x) . 
Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов. Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая - потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы). 
Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали два обстоятельства. 
 
          С момента установления правил дифференцирования всех элементарных функций в начале XVIII века, началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций). Благодаря этому точка зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления. 
 
Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница, естественно, не способствовало.

§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме

    Определение простого определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых величинах, от которого математики XVIII века стремились освободить математический анализ. Это обстоятельство также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. 
Это хорошо подтверждается тем, как Леонард Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Он не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм, но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы не представлялось возможным, потому что этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, то есть, с точки зрения Эйлера, были нулями. 
          Быстро пробежимся по основным вехам эйлеровской биографии. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но потому что учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле лишь в 1701 г.. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом. Начальное образование будущему учёному дал отец, учившийся некогда математике у Якоба Бернулли. Отец готовил старшего сына к духовной карьере, но, несмотря на это, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого. 
   Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в Базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки. 
20 октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Мечта отца о том, что бы Эйлер стал священником сбывалась. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына направили молодого учёного по иному пути. 
 
    Он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И естественно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли, который посоветовал юноше читать математические мемуары, а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать прочитанное. В доме своего учителя Эйлер подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. А 8 июня 1724г. 17-летний Леонард Эйлер произнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени магистра (в XIX в. в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии). 
 
         Эйлер просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня – и справился самостоятельно, в то время, как группа признанных академиков просила на эту работу три месяца. Перенапряжение не прошло бесследно: Эйлер заболел и потерял зрение на правый глаз. Но талантливый учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, - философски заметил он. 
 
До этого Эйлера знал лишь узкий круг учёных. Мировую славу ему принесло двухтомное сочинение “ Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении ”, изданное в 1736 г, где Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. “Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью”, - заканчивает Эйлер своё предисловие к книге. Леонард Эйлер начал прокладывать аналитический путь развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений, который требовал дух времени. 
          Концепция Ньютона и до последней четверти XVIII века сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции, математики знали и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли. 
Положение изменилось лишь в последней четверти XVIII и, особенно, в начале XIX века. 
          С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало продолжения развития понятия и употребления определенного интеграла, особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.). 
К этому времени великие идеи Ньютона и Лейбница были только-только опубликованы, и современный математический анализ только начал создавался. Эти идеи породили мощные методы, которые стали применять во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути, по которым должно развиваться новое исчисление.

=e, где е 2,7-число Эйлера

III. Проблема двойных и тройных интегралов

§3.1.Исследование методов двойных и тройных  интегралов

 Эта эпоха математического творчества оказалась единственной по своей интенсивности, а Эйлер - одним из немногих по своей продуктивности учёным. Его творения: "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" стали первыми трактатами, которые объединили уже обширный, но вместе с тем разрозненный материал нового анализа в цельную науку. В них была разработана та основа современного анализа, которая сохранилась и до нашего времени. 
 
 Исследование методов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычисление этих интегралов методом вычисления обычного определенного интеграла - при помощи неопределенного, невероятно трудно, поэтому математики сохранили концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, приняли сторону Лейбница. Так они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы. 
    Таким образом, поиск методов вычисления новых видов определенного интеграла показал, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Ставился вопрос не только о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его применении. Как говорилось ранее, чтобы всё это сделать, появилась необходимость преодолеть, обобщить, развить традиционное, каким было признано Эйлерово, толкование функции и понятия предела. 
Коши - решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых. 
Возник естественный вопрос о возможности существования пределов интегральных сумм, имеющих бесконечно малые слагаемые. Так в первой четверти XIX века, избегаемое ранее, понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и для сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций.

§3.2.Основополагающий результат Коши

Основополагающих результатов  добился в развитии этого вопроса  Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить  понятие о непрерывности и  прерывности функций”. Здесь же Коши дал определение непрерывности  функции, которое более чем ясно подтвердило ясность этого его утверждения. 
 Новая постановка задач обоснования математического анализа дала понять, что вопрос не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. 
 Но, чтобы этого добиться, необходимо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать новую общую теорию пределов. 
Исследование разрывных функций, а также сравнение их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. 
Получается, что предел не всегда является конечным значением переменной, но во всех случаях предел является числом, к которому переменная неограниченно стремится. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт не является противоречием или парадоксом.

Вторую ограничительную  тенденцию в принятой ранее трактовке  понятия предела также преодолел  Коши. Он признал, что переменная может  приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь - принимая порой значения, равные её пределу. Эта формулировка придала теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.

§3.3. Роль интегрального  исчисления в будущей профессии

   Все более широкое применение математики в науке и практике предъявляет повышенные требования к математической подготовке молодежи. Важность этого еще была зафиксирована в 1719 году. Молодая петровская армия нуждалась в офицерах, знающих законодательство и армейскую специфику. Вводились новые должности - военных аудиторов, прокуроров. Так родился 11 апреля 1719 года указ императора России Петра I об образовании специального учебного заведения военных юристов. Юриспруденция использует методы высшей математики во всем многообразии. Предметом высшей математики в юриспруденции, исходя из сказанного выше, является совокупность правонарушений (ведь именно их совокупность и взаимосвязь изучает высшая математика в профессии юриста).  Существенно упрощает задачу и сокращает время интегральное исчисление для юристов при вычислении степени неравенства в распределении доходов, начислении пенсии, экономических спорах и т.д. Во всем, куда бы мы ни оглянулись, есть цифры. Казалось бы, такой простой шаг, как покупка продуктов, а ведь если произойдет правонарушение, то грамотный юрист должен все просчитать. Он должен знать, как это сделать быстро и максимально точно. Математика учит нас мыслить логично, ясно и точно. 
Заключение 

Математики до сих пор  следуют пути, намеченному Огюстеном  Луи Коши, но лишь с теми усовершенствованиями, которые внёс во второй половине XIX века К. Вейерштрасс. 
Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, подведя итог многовековому развитию интегрального исчисления.

Трудно представить, как  жили бы люди, если бы не умели считать, измерять, сравнивать. Этому учит математика. С числами и цифрами приходится иметь дело всем. Вряд ли кто-то станет отрицать необходимость математических знаний. Ведь математика учит человека думать, анализировать, развивает логическое мышление, память. Математические знания нужны человеку любой профессии. Без математики строитель не сможет построить дом, летчик - поднять в воздух самолет, машинист не поведет поезд. Кроме этого, благодаря математике появилось много других новых наук и профессий, появились вычислительные машины, компьютеры.

Очень важно знать математику в наше время. Ведь  математика основа точных наук. Без них невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать, смотреть на вещи другими глазами и давать точное определение.

И я бы хотела закончить  словами Великого русского ученого М. В. Ломоносова: "Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит” 
Список использованной литературы:

1. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ССУЗов/Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко .-3-е изд., стереотип.-М.: Дрофа, 2008.-395с.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ССУЗов/ Н.В.Богомолов.-5-ое изд., стер.-М.: Высшая школа., 2008.-495 с.
3. Пирумов У.Г. Численные методы: учебное пособие для студентов ССУЗов/ У.Г. Пирумов.-4-е изд., испр. –М. : Дрофа, 2008.-224с.
4. Высшая математика для экономистов:учебник для студентов ВУЗов/ под редакцией Н.Ш. Кремера.-3-е изд.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.-479 с.-(Серия « Золотой фонд российских учебников»)
5. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для средних специальных учебных заведений/И.Д. Пехлецкий. -5 изд., стер.-М.: Академия, 2009г.-421с
6. Опорный конспект по алгебре и началам анализа /под редакцией  преподавателя ФГОУ СПО ЧЮТ Кондратьевой Е.А.-Ч.: ЧЮТ, 2009 г. –56с

Приложение