Содержание

Введение…………………………….………………………………………....2

§1. математическое обоснование и анализ задачи…......3

§2. Алгоритм и его описание…………………………………...…....9

§3. Листинг программы……………………………………………..…10

§4. Исходные данные. Результаты расчетов и анализ....13

§5. Заключение и выводы………………………………..…………...15

  Список литературы……………………...…………………………….16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      Задача вычисления интегралов  возникает во многих областях  прикладной математики. В большинстве  случаев встречаются определённые  интегралы от функций, первообразные  которых не выражаются через  элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь  дело с определёнными интегралами,  сами подынтегральные функции  не являются элементарными.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. То для вычисления данного интеграла применяют приближенные формулы, т.е. используют метод прямоугольников (правых, левых, средних), который основан на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией  на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§1. Математическое обоснование и анализ задачи 

  Многие  инженерные задачи, задачи физики, геометрии  и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости  вычислять определенный интеграл вида  где f(x) -данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция f(x) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:  . 
Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то  численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

    

  Разделим  отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого  элементарного отрезка  .

  Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2*h, ... , x_n-1=a+(n-1)*h; x_n=b.

  Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n (рис. 1.2).

  Строим  прямоугольники. Это можно делать несколькими способами:

  Левые прямоугольники (слева направо) 
 
 

  Правые  прямоугольники (построение справа налево) 

  

  Средние прямоугольники (посредине)

    

  Из  рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной  трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников. 

  

  h=(b-a)/n –ширина прямоугольников 

  Формула левых прямоугольников:

   (1.3)

  Формула правых прямоугольников:

   (1.4)

  Формула средних прямоугольников.

  S_средих= (S_правых + S_левых) /2

   (1.5) 

  Программа вычисления 

 по методу левых прямоугольников.

  Program levii;{Метод  левых прямоугольников} 
uses crt; 
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real; 
function f(x:real):real; 
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end; 
begin 
clrscr; 
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a); 
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); 
write('Введите количество отрезков '); readln(n); 
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a; 
for i:=0 to n-1 do 
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end; 
writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln; 
end.

     Тестирование:

  a=1 b=2 n=10 S= 18,077

  a=1 b=2 n=20 S= 18, 208

  a=1 b=2 n=100 S= 18, 270 

  Программа вычисления 

 по методу правых прямоугольников.

   
Program pravii; {Метод правых прямоугольников} 
uses crt; 
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real; 
function f (x:real) : real; 
begin f : = (1/x)*sin(3.14*x/2); end; 
begin 
clrscr;  
write ('Введите нижний предел интегрирования '); readln (a);  
write ('Введите верхний предел интегрирования '); readln (b);  
write ('Введите количество отрезков '); readln (n); 
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a; 
for i:=1 to n do 
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end; 
 
writeln ('Интеграл равен ',s:12:10); readln; 
end.

     Тестирование:

  a=1 b=2 n=10 S=18,05455

  a=1 b=2 n=20 S=18,55555

  a=1 b=2 n=100 S= 18,2734 

  Программа вычисления 

 по методу средних прямоугольников.

   
Program srednii; {Метод средних прямоугольников} 
uses crt; 
var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real; 
function f(x : real):real; 
begin f : = (1/x)*sin(3.14*x/2); end; 
begin 
clrscr;  
write ('Введите нижний предел интегрирования '); readln (a);  
write ('Введите верхний предел интегрирования '); readln (b);  
write ('Введите количество отрезков '); readln (n); 
dx : = (b-a)/n; xb:=a+dx/2; 
for i:=0 to n-1 do 
begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end; 
 
write ('Интеграл равен ',s:15:10); readln; 
end.

      Тестирование:

  a=1 b=2 n=10 S=18,07667

  a=1 b=2 n=20 S=18,368

  a=1 b=2 n=100 S= 18,156 

  Известно, что определенный интеграл функции  типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1.3). Как сказано выше, есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 1.4) и метод средних прямоугольников (Рис. 1.5).

Рис. 1.3. Криволинейная трапеция.

Рис. 1.4. Метод трапеций.

Рис.1.5. Метод средних прямоугольников. 

       По  методам трапеций и средних прямоугольников  соответственно интеграл равен сумме  площадей прямоугольных трапеций, где  основание трапеции какая-либо малая  величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание  прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания  прямоугольника, которое график функции  должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей — 

для метода трапеций:

,

для метода средних прямоугольников:

.

       Соответственно  этим формулам и составим алгоритм.

 

§2. Алгоритм

       

       Рис.1.6. Алгоритм работы программы integral.pas.

 

§3. Листинг программы

Определение: Листинг — бумажная распечатка текста компьютерной программы или её части.

       Программа написана на Tubro Pascla 6.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

program Integral;

uses

  Crt, Dos;

var

  dx,x1,x2,e,i:real;

function Fx(x:real):real;

begin

  Fx:=2+x; {В этом  месте запишите функцию, для  вычисления интеграла.}

end; 

procedure CountViaBar;

var

  xx1,xx2:real;

  c:longint;

begin

  writeln('------------------------------------------------');

  writeln('-->Метод средних прямоугольников.');

  writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e));

  i:=0;

  for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin

    write('Итерация ',c,chr(13));

    xx1:=Fx(x1+c*e);

    xx2:=Fx(x1+c*e+e);

    i:=i+abs(xx1+xx2)/2*e;

  end;

  writeln('------------------------------------------------');

  writeln('Интеграл=',i);

end; 

procedure CountViaTrap;

var

  xx1,xx2,xx3:real;

  c:longint;

begin

  writeln('------------------------------------------------');

  writeln('-->Метод трапеций.');

  writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e));

  i:=0;

  for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin

    write('Итерация ',c,chr(13));

    xx1:=Fx(x1+c*e);

    xx2:=Fx(x1+c*e+e);

    if xx2>xx1 then xx3:=xx1 else xx3:=xx2;

    i:=i+abs(xx2-xx1)*e+abs(xx3)*e;

  end;

  writeln('------------------------------------------------');

  writeln('Интеграл=',i);

end; 

begin

  writeln('------------------------------------------------');

  writeln('-=Программа вычисления определенного интеграла=-');

  writeln('Введите  исходные значения:');

  write('Начальное  значение x (x1)=');Readln(x1);

  write('Конечное  значение x (x2)=');Readln(x2);

  write('Точность  вычисления (e)=');Readln(e);

  CountViaBar;

  CountViaTrap;

  writeln('------------------------------------------------');

  writeln('Спасибо за использование программы ;^)');

end.

 

§4. Исходные данные. Результаты расчетов и анализ

       Ниже  приведен результат работы написанной и откомпилированной программы: 

------------------------------------------------

-=Программа вычисления  определенного интеграла=-

Введите исходные значения:

Начальное значение x (x1)=0

Конечное значение x (x2)=10

Точность вычисления (e)=0.01

------------------------------------------------

-->Метод средних  прямоугольников.

Всего итераций:1000

------------------------------------------------

Интеграл= 7.0100000000E+01

------------------------------------------------

-->Метод трапеций.

Всего итераций:1000

------------------------------------------------

Интеграл= 7.0150000001E+01

------------------------------------------------ 

       Расчет  проверялся для функции  , а определенный интеграл брался от 0 до 10, точность 0,01.

       В результате расчетов получаем:

Интеграл  .

Методом трапеций .

Методом средних прямоугольников  .

       Также был произведен расчет с точностью 0,1:

Интеграл  .

Методом трапеций .

Методом средних прямоугольников  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§5. Заключение и выводы

       Таким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапеций и средних прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

       Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции или  прямоугольника, в зависимости от метода), тем точнее результат получаемый машиной. При этом число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.

       Использование для вычисления одновременно двух методов (трапеций и средних прямоугольников) позволило исследовать зависимость  точности вычислений при применении обоих методов.

       Следовательно, при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по обеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.
2. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.
3. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.