XIV муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения » 
 
 
 
 
 
 

                      Изучение методов

         интерполяции и аппроксимации 

                                                                                      Выполнила учащаяся группы ФМ3.2

                                                                                      Сарманова Снежана Геннадьевна

                                                                                     Научный руководитель: Бородкин        

                                                                                     Дмитрий Константинович,

                                                  преподаватель информатики Лицея  №2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                     г.Ангарск, 2009

                           

Содержание

1. Аннотация……………………………...…………………………………………………....3
2. Цель, задачи……………………………………………………………………...……….....3
3. Введение………………………………………………………………………..…….……...4
4. Линейная интерполяция………………………………………………………....……...….5
• Теория ………………………………………………………………………….........5
• Блок-схема……………………………………………………………...……………6
• Текст программы……………………………………………………………..….….7
• Пример…………………………………………………………………..……….…..7
5. Квадратичная интерполяция………….………………………………………..…………..8

• Теория…………………………………………………………………….……….. 10
• Блок-схема…………………………………………………………….....…………11
• Текст программы…………………………………………………………….……..12
• Пример……………………………………………………………………………...13

6. Инструкция по работе с программами……………............................................................16

7. Заключение…………………………………………………………………………………17
8. Список литературы………………………………………………………………………...18

                     

                                          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                             Аннотация

    В данной работе излагаются основные численные методы решения математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов.

Огромное  количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших.

   Данная  работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами.  

    Цель работы: разработать программы вычисления значений функции f(x) для значений х,  не содержащихся в таблице. 

Задачи:

• Изучить и проанализировать научную, справочную литературу
• Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени
• Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы
• Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0

 

Гипотеза: создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными  расчетами. 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

Введение

  Если задана функция y (x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

   Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х)  приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) φ(х). Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а={а₁, а₂, …, а_n} и соответствующим их выбором.  В этом случае  используются такие понятия как, аппроксимация и интерполяция.  

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x) в точках x, лежащих между точками x₀   по известным значениям y_i = f( x_i) (где i = 0,1,..., n). Если  x лежит вне интервала ( x₀,  x_n), аналогичная процедура называется экстраполяцией.

Основная  цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(x) для значений х,  не содержащихся в таблице. 

АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь) - замена одних математических объектов (например, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например, кривых линий близкими к ним ломаными).

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная. 
 
 
 
 
 
 

Линейная  интерполяция 

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки ( х_i, у_i) ( i=0, 1, …, n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

   Рис. пример интерполяции 

    Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется n интервалов ( х_i-1 , х_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( х_i-1 , у_i-1 ) и (х_i , y_i), в виде

 =

                 

Отсюда  

                 y=  a_ix + b_i ;     x_i-1 ≤ x ≤ x_i ,                                      (1) 

,       b_i= y_i-1 – a_ix_i-1  .  

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Данный алгоритм представлен на рисунке 

 

 
 

 

                                                                                              Нет

 
 

                                                            Да 

                                                   

 

 

                         

             Нет

 

         

 

 
 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Текст программы: 

Program interpol;

Const N=3;

Var x: array [1..N] of real;

    y: array [1..N] of real;

a, b, xр, yр : real;

i: integer;

begin

      for i:=1 to N do

     begin {ввод данных через массивы}

           writeln (‘x[‘,i,’]=’);

     readln (x[i]);

     writeln (‘y[‘,i,’]=’);

     readln (y[i]);

      end;

      write (‘vvedite x=’); {ввод промежуточного значения}

      readln (xр);

      for i:=2 to N do

      if (x[i-1]<=xp) and (xp<=x[i-1]) then

      begin

            a:= (y[i] – y[i-1]) / (x[i] – x[i-1]);

            b:= y [i-1] – a*x[i-1];

            yр:= a*xр + b

      else writeln (‘ekstrepolyazia’);

          readln;

     end;

      writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}

      readln;

end.  

  
 
 
 
 
 

Пример. Найти значение функции y=f(x), изображенной  на рисунке, при х=1 
 

  

Воспользуемся формулой линейной интерполяции(1). Значение х=1 находится между точками х_i =2 и х_i-1 = 0. Отсюда имеем 

=  

   b_i= y_i-1 – a_i ٠x_i-1 = 4 – 0.5٠0=4 

у=  а٠х_р +b = -0.5 ٠1 + 4 = 3.5 
 

Результаты  выполнения программы

На рисунке 1 показан вид окна программы при  вводе исходных данных

Рис.1 
 
 
 

На рисунке 2 представлен вид окна программы  после вывода результатов

Рис.2 
 

Исполнимый  модуль программы находится в  файле с именем interpol1.exe  
 
 
 

Пример 2.

 Если в  два часа ночи температура  воздуха была +10, а в шесть утра - +25, 
то используя линейную интерполяцию можно предположить 
что в три часа ночи температура воздуха была равна 
(25 - 10) / (6 - 2) * (3 - 2) + 10 = 13.75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Квадратичная  интерполяция

 

В качестве интерполяционной функции на отрезке [х_i-1, x_i+1] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической.

Уравнение квадратного трехчлена  

                                             y = a_ix² + b_ix + c_i ,         x_i-1 x_i x_i+1               (2)

содержит три  неизвестных коэффициента a_i , b_i , c_i , для определения которых необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы (2) через три точки ( x_i-1, y_i-1),

(x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1). Эти условия можно записать в виде

  

        y_i-1 = a_ix²_i-1 + b_ix_i-1 + c_i 

        y_i = a_ix²_i + b_ix_i + c_i                                                (3) 

       y_i+1 = a_ix²_i+1 + b_ix_i+1 + c_i 

Данная система  уравнений решается методом Крамера.  

 

Определители: 
 

     

Решение:

 

                                 

Алгоритм  нахождения приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяции можно записать в виде структурограммы, как и для случая  линейной интерполяции. Вместо формулы (1) нужно использовать (2)  с учетом решения системы линейных уравнений (3).  Интерполяция для любой точки x є  [x_o, x_n] приводится по трем ближайшим к ней узлам.

Данный алгоритм представлен на рисунке  
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         

                                       

                             Да

 

 

 

 
 
 

 
 

 

 
 
 
 
 

 

 
 
 

 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 

Program interpol2;

Const N=3;

Var x: array [1..N] of real;

    y: array [1..N] of real;

a, b, c, xр, yр, deltaA, deltaB, deltaC, delta : real;

i: integer;

begin

      for i:=1 to N do

     begin {ввод данных через массивы}

           writeln (‘x[‘,I,’]=’);

     readln (x[i]);

     writeln (‘y[‘,I,’]=’);

     readln (y[i]);

      end;

      write (‘vvedite x’); {ввод промежуточного значения}

      readln (xр);

      for i:=2 to N do

      if (x[i-1]<=xр) and (xр<=x[i-1]) then

      begin  {вычисления}

delta:= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i];

deltaA:= x[i+1]*y[i]–  x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1];

            deltaB:=x[i-1]*x[i-1]*y[i] – x[i+1]*x[i+1]*y[i]-

y[i-1]*x[i]*x[i] + y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1];

deltaC:= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i];

     a:= delta/deltaA;

     b:=delta/deltaB;

     c:= delta/ deltaC;

     yр:= a*xр*xр + b*xр +c;

      end;

      writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}

      readln;

end.  
 
 
 
 

Пример. Найти приближенное значение функции y = f (x) при x = 2.5, если известна следующая таблица её значений: 
 

               

Найдем  приближенное значение функции с  помощью формулы квадратичной интерполяции (2) . Составим систему уравнений (3). С  учетом ближайших к точке x = 2.5 узлов x_i-1 = 2 ,      x_i = 3, x_i+1 = 4. Соответственно y_i-1 = 2 , y_i = 4 y_i+1 = 7. Система (3) запишется в виде

                                      2²a_i + 2b_i + c_i = 2;

                                      3²a_i + 3b_i + c_i = 4

                    4²a_i + 4b_i + c_i = 7. 
 

         4     2   1

  9     3   1     =  4٠3-4٠4 +2٠16 -2٠ 9 – 16٠3+ 4٠9=  -2                  

16   4   1 

           2  2  1 

   4  3  1     =  2٠3 -2٠4  +2٠3 – 4٠2 - 7٠3 +2٠7 = -1

           7  4  1

            4   2  1

   9  4  1     = 4٠4- 16٠4 -2٠9 + 7٠9 - 4٠7+16٠2= 1

           16  7  1 

            4   2  2

   9   3  4     =7٠4٠3 – 4٠4٠4 + 4٠2٠16 – 7٠2٠9 – 2٠16٠3 + 2٠4٠9= -2

           16  4  7 

    

  ;   

  

Решая эту систему, находим a_i =0.5 , b_i = -0.5, c_i = 1. Искомое значение функции

y (2.5)²٠0.5 + 2.5٠(-0.5) + 1 2.875. 

На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных

Рис.1 

На рисунке 2 представлен вид окна программы  после вывода результатов

Рис.2 
 

Исполнимый модуль программы находится в файле  с именем interpol2.exe  
 

                                                       

                                           
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                         

                  

           Инструкция по работе с программами

Исполнимые  модули программ находятся в файле  с именами interpol.exe и interpol2.exe, запускаются на выполнение в операционной системе ее средствами.

После запуска программы пользователь должен ввести исходные данные, как это показано на рисунке 1 (см. стр.8, 14) После ввода исходных данных программа производит вычисления и выводит результат на экран в том же окне, что и исходные данные, как это показано на рисунке 2(см. стр.9,15). Чтобы завершить работу программы, пользователь должен нажать любую клавишу.  

Составленные  программы решают задачу интерполирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Как показывает анализ результатов, вычисления, производимые программами, верны. 

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Заключение

 В  данной работе была изучена  и проанализирована справочная  литература, вследствие чего были  выявлены два наиболее  простых  и удобных вида интерполяции – линейная и квадратичная; созданы программы в  системе программирования  Borland Turbo Pascal 7.0 для вычисления значений функции f(x) и разработан быстрый (экономичный) алгоритм решения этой функции, предоставленный в виде блок-схем. 

          Список использованных источников

1. Калиткин  Н.Н.. Численные методы. – М.: Наука, 1982.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1977.
3. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров.. М.: Бином, 1994
4. Самарский А.А. Численные методы. – М.: Наука, 1989.