Контрольная работа по «Математическим методам в оценке собственности»

Министерство образования и науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Институт экономики отраслей, бизнеса и администрирования

Кафедра  экономики отраслей и рынков

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Математические методы в оценке собственности»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка гр. 25ЭЗ-301

Ильина Ю.Е.

 

Проверил:

Преподаватель

Нурмухаметов И.А.                             

 

 

 

 

 

Челябинск 2013

Задание 1. Имеются следующие ряды оценок двух экспертов характеристик некоторого объекта. Вычислите коэффициент корреляции.

В11	Эксперт 1	45	53	37	58	55	61	64	46	62	60	56	60	37	58
	Эксперт 2	28	35	38	30	37	33	32	30	38	30	28	29	38	30

 

Вычислим сумму столбцов и средние значения. Полученные данные занесем в таблицу 1.

 

 

Таблица 1

Эксперт 1	Эксперт 2
45	28
53	35
37	38
58	30
55	37
61	33
64	32
46	30
62	38
60	30
56	28
60	29
37	38
58	30
∑            752	456
Средн.   53,7	32,57

 

Рассчитаем выборочный линейный коэффициент корреляции (показатель тесноты связи), который рассчитывается по формуле:

 

Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем случае связь между признаком Y фактором X  умеренная.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

 

 

Коэффициент регрессии b = - 0,14 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на - 0,14.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b. Если b > 0 – прямая связь, иначе - обратная. В нашем случае связь обратная.

 

 

 

Задание 2. Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у). Определите формулу для прогноза у по х (однофакторную линейную модель), затем двухфакторную линейную модель у(х,t); теоретические значения (прогноз) ŷ(х,t) для х=100,113,119 и t=2004; долю вариабельности у, которая объясняется вариабельностью х и вариабельностью t.

 

В11	Индекс цен	105	110	113	115	113	113	115	115	112	115	120	122	125	128
	Индекс пр-ва	70	71	74	81	85	96	99	99	100	95	97	102	105	110

 

Уравнение однофакторной модели линейной регрессии имеет вид:

 

Значения параметров линейной модели определим, используя данные таблицы 2.

Таблица 2

№ п/п	х	у	х*у	х*х
1	105	70	7350	11025
2	110	71	7810	12100
3	113	74	8362	12769
4	115	81	9315	13225
5	113	85	9605	12769
6	113	96	10848	12769
7	115	99	11385	13225
8	115	99	11385	13225
9	112	100	11200	12544
10	115	95	10925	13225
11	120	97	11640	14400
12	122	102	12444	14884
13	125	105	13125	15625
14	128	110	14080	16384
Сумма	1621	1284	149474	188169
Ср.значение	115,7857	91,71429	10676,71	13440,64

 

Выборочные средние:

 

 

 

Система уравнений имеет вид

14a + 1621 b = 1284

1621 a + 188169 b  = 149474

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1,6761, a = -102,3581

Уравнение регрессии: y = 1,6761 x – 102,3581

Для х = 100,113,119

y (100) = 1,67*100 – 102,36 = 64,64

y (113) = 1,67*113 – 102,36 = 86,35

y (119) = 1,67*119 – 102,36 = 96,37

Двухфакторная модель регрессии имеет вид:

У=b0+b1* х1+b2* t

Таблица 3

Расчет параметров двухфакторной линейной модели

№ п/п	у	х1	х2	x1*y	x2*y	x1*x1	x2*x2	x1*x2	y*y
1	105	70	1999	7350	209895	4900	3996001	139930	11025
2	110	71	2000	7810	220000	5041	4000000	142000	12100
3	113	74	2001	8362	226113	5476	4004001	148074	12769
4	115	81	2002	9315	230230	6561	4008004	162162	13225
5	113	85	2003	9605	226339	7225	4012009	170255	12769
6	113	96	2004	10848	226452	9216	4016016	192384	12769
7	115	99	2005	11385	230575	9801	4020025	198495	13225
8	115	99	2006	11385	230690	9801	4024036	198594	13225
9	112	100	2007	11200	224784	10000	4028049	200700	12544
10	115	95	2008	10925	230920	9025	4032064	190760	13225
11	120	97	2009	11640	241080	9409	4036081	194873	14400
12	122	102	2010	12444	245220	10404	4040100	205020	14884
13	125	105	2011	13125	251375	11025	4044121	211155	15625
14	128	110	2012	14080	257536	12100	4048144	221320	16384
Сумма	1621	1284	28077	149474	3251209	119984	56308651	2575722	188169
Средн.	115,78	91,72	2006	10676,71	232229,2	8570,286	4022047	183980,1	13440,64

 

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:

s = (XTX)-1XTY

Матрица X

1	70	1999
1	71	2000
1	74	2001
1	81	2002
1	85	2003
1	96	2004
1	99	2005
1	99	2006
1	100	2007
1	95	2008
1	97	2009
1	102	2010
1	105	2011
1	110	2012

 

 

Матрица Y

105
110
113
115
113
113
115
115
112
115
120
122
125
128

 Матрица XT

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
70	71	74	81	85	96	99	99	100	95	97	102	105	110
1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012

 

 Умножаем матрицы, (XTX)

 

В матрице,  (XTX) число 14, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы,  (XTY)

 

Находим обратную матрицу (XTX)-1

124101.65	18.58	-62.73
18.58	0.00325	-0.00942
-62.73	-0.00942	0.0317

 

 Вектор оценок коэффициентов  регрессии равен 

s = (XTX)-1XTY = 

 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = -3332,54-0,15X1 + 1,73X2

для х = 100,113,119 и t=2004

y (100;2004) = -3332,54 - 0,15*100 + 1,73*2004 = 119,38

y (113;2004) = -3332,54 - 0,15*113 + 1,73*2004 = 117,43

y (119;2004) = -3332,54 - 0,15*119 + 1,73*2004 = 116,53

Определим долю вариабельности у, которая объясняется вариабельностью х для однофакторной модели:

se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) = 94,74

Несмещенная оценка дисперсии равна:

 

Оценка среднеквадратичного отклонения равна:

 

Коэффициент детерминации:

 

R2 = 0,92 = 0,8

Связь между признаком Y факторами X сильная

Таким образом, доля вариабельности у, которая объясняется вариабельностью х составляет 90%.

Используя ранее вычисленное:

 

S2 у = 124101,65

Так непосредственное влияние фактора x1 на результат Y в уравнении регрессии составляет 0,928 и определяется как rx1x2β2 = 0,928 * 1,18 = 1,1

 

 

Задание 3. Определите вид и параметры тренда в динамическом ряде выплавки стали ряда стран

 

Вариант	Год	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
В11	Выплавка стали, млн.т.	50,8	56,3	60,2	65,0	71,0	76,6	76,6	76,6	82,2	86,5	90,3	95,9	90,2	100,5

 

Построим линии тренда:

 

Рис.1 – Линейный тренд

 

Рис.2 – Экспоненциальный тренд

Рис.3 – Полиномиальный тренд

 

Рис.4 – Степенной тренд

 

Определим параметры основных видов тренда. Полученные данные занесем в таблицу 4.

Таблица 4

Тип тренда	Уравнение	R2
Линейный	y = x + 1989	1
Экспоненциальный	y = 1989e0,0005x	1
Полиномиальный	y = -1E-13x2 + 1x + 1989	1
Степенной	y = 1987,4x0,0025	0,8869

     

Лучшей являются 3 формы тренда, т.к. коэффициент детерминации их равен 1. Опишем их все по очереди.

Уравнение линейного тренда в исходной форме имеет вид: y = x + 1989

Можно сказать, что темпы выплавки стали ряда стран за 14 лет изменялись от 1989 % со средним за год абсолютным приростом 1 %.

Уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид: y = 1989e0,0005x

Можно сказать, что темпы выплавки стали ряда стран за 14 лет изменялись от 1989 % со  средней убылью 1,0005 %.

Уравнение полиномиального тренда в исходной форме имеет вид: y = -1E-13x2 + 1x + 1989

Можно сказать, что темпы выплавки стали ряда стран за 14 лет изменялись от 1989 % со  средней убылью 13 %.

 

 

 

Задание 4. Используя формулы моделирования сезонных колебаний, определите тренд в динамическом ряде помесячных удоев от одной коровы.

 

Вариант	Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
В11	Фактические удои	110	119	139	208	250	294	275	248	195	139	110	101

 

Решение:

Общий вид модели (аддитивной) следующий:

Y=T+S + E, где Т - трендовая, S - сезонная и Е - случайная компонента.

Рассмотрим данный временной ряд как содержащий сезонные колебания периодичностью 4.  

Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем yt последовательно за каждые 4 месяца со сдвигом на один (гр.3 табл. 5);

б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл. 5);

в) приведем эти значения к соответствующим периодам, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних -центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.5).

Таблица 5

Месяц	Фактический уровень	Итого за 4 месяца	Скользящая средняя	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	110
2	119	576	144
3	139	716	179	161,5	-22,5
4	208	891	222,75	200,875	7,125
5	250	1027	256,75	239,75	10,25
6	294	1067	266,75	261,75	32,25
7	275	1012	253	259,875	15,125
8	248	857	214,25	233,625	14,375
9	195	692	173	193,625	1,375
10	139	545	136,25	154,625	-15,625
11	110
12	101

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты.

Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю:

-22,5+7,125+10,25+32,25+15,125+14,375+1,375-15,625 = 42,375 ≠ 0

Поэтому определяем корректирующий коэффициент к = 42,375 / 4=10,6. Окончательно определяем сезонную компоненту Sf = S;- k.

Таблица 6

	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
	-	-	-22,5	7,125
	10,25	32,25	15,125	14,375
	1,375	-15,625	-	-
Всего	11,625	16,625	-7,375	21,5
Средняя оценка сезонной компоненты	5,8125	8,3125	-3,6875	10,75
Скорректированная сезонная компонента	- 4,7875	- 2,2875	- 14,2875	0,15

 

Таким образом, получаем S1 = - 4,79; S2 = - 2,29; S3 = - 14,29; S4 = 0,15

Шаг 3. Занесем полученные значения, в табл.7 для соответствующих кварталов (гр.З).

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный тренд  Т= - 0,9736x + 193,97, Подставляя в это уравнение t= 1,2,... 12, находим Т (гр. 5 табл.7).

Шаг 5. Находим теоретические значения T+S (гр. 6 табл. 7).

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8 табл.7).

Таблица 7

Расчет тренда

t	yt	St	T+E=yt-St	T	T+S	E=yt-(T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	110	- 4,79	114,79	193,00	188,21	-78,21	6116,33
2	119	- 2,29	121,29	192,02	189,73	-70,73	5003,30
3	139	- 14,29	153,29	191,05	176,76	-37,76	1425,89
4	208	0,15	207,85	190,08	190,23	17,77	315,84
5	250	- 4,79	254,79	189,11	184,32	65,69	4314,52
6	294	- 2,29	296,29	188,13	185,84	108,16	11698,15
7	275	- 14,29	289,29	187,16	172,87	102,13	10430,74
8	248	0,15	247,85	186,19	186,34	61,66	3802,45
9	195	- 4,79	199,79	185,21	180,42	14,58	212,49
10	139	- 2,29	141,29	184,24	181,95	-42,95	1844,70
11	110	- 14,29	124,29	183,27	168,98	-58,98	3478,29
12	101	0,15	100,85	182,29	182,44	-81,44	6633,13

 

 

Рис. 5  – Тренд в динамическом ряде помесячных удоев от одной коровы