Корреляционный анализ в банковской деятельности

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение

 высшего профессионального  образования

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ  СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ

Факультет очного обучения

Кафедра математики и системного анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Теория вероятностей и математическая статистика»

Корреляционный и регрессионный  анализ

Тема: Корреляционный анализ в банковской деятельности

(Для  решения одной задачи не может быть применён и корреляционный, и регрессионный анализ. Если месяцы выбраны случайным образом в стабильной экономической ситуации и измерены х_i ,y_i , то это корреляционный анализ)

 

 

 

Специальность:

Прикладная информатика  в экономике

 

Выполнила:

студентка гр. Иб-321

Карпеева Татьяна Викторовна

 

Научный руководитель:

кандидат технических  наук, доцент

Маслов Владимир Николаевич

                                                              

 

 

г.Нижний Новгород

2012 г.

 

Оглавление 

 

ВВЕДЕНИЕ

Математическая статистика – это один из разделов математики, который тесно связан с теорией вероятности и представляет собой метод сбора, анализа и свертывания информации о некоторых событиях и процессах природной или человеческой деятельности.

Основная задача математической статистики – это оценивание характеристик генеральной совокупности по выборкам, иногда с привлечением экспертной информации, которая основана на использовании данных об аналогичных событиях, объектах.

В экономических исследованиях  часто решают задачу выявления факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методами корреляционного и регрессионного анализа.

Корреляционный  анализ — метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции).   Не только. К скачиваемой из интернета информации надо относиться критически.

Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

Задачи корреляционного  анализа:

• Измерение тесноты известной связи между варьирующими признаками,
• определение неизвестных причинных связей и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

 Задачами  регрессионного анализа являются:

• выбор типа модели
• установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчётных значений зависимой переменной.

Решение всех названных  задач приводит к необходимости  комплексного использования этих методов.

Корреляционно-регрессионный  анализ применяется в тех случаях, когда между анализируемыми показателями нет строгой зависимости и полного соответствия, т. е. нет функциональной зависимости. Применение этого метода требует использования программ решения задач на ЭВМ, так как корреляционно-регрессионный анализ требует большого количества трудоемких расчетов и большой подготовительной работы.

 

 

 

 

 

1. Описание  ситуации

Центральный банк устанавливает  ставку рефинансирования, которая определяет размер процентов в годовом исчислении, подлежащий уплате центральному банку  страны за кредиты, предоставленные коммерческим банкам. Имеются данные об изменении ставки рефинансирования, и об изменении количества выданных коммерческими банками населению и организациям (предприятиям) кредитов. Данные представлены в таблице.

Год	Янв. 1992	Апр. 1992	Май 1992	Июнь 1993	Июль  1993	Сентябрь 1993	Январь 1994	Апрель 1994
Изменение ставки рефинансирования	-4	-2	0	2	3	4	7	10
Изменение кол-ва выданных кредитов	21	8	-2	-11	-16	-21	-33	-40

 

Из приведенных данных видно, что при повышении ставки рефинансирования, количество выданных кредитов уменьшается. Требуется составить интервал для индивидуального прогноза изменения количества выданных кредитов, если по сравнению с предыдущим годом, ставка увеличилась на 6 процентов.

Необходимо  более подробно описать ситуацию. Прежде всего, надо чётко написать, что такое х и y. Если это изменение, то какое: абсолютное, относительное, по какой формуле оно определяется, по сравнению с чем. И не должно быть противоречий: в Заключении у Вас написано: ставка рефинансирования. Надо ещё отразить, когда была изменена ставка рефинансирования: в начале месяца или в конце.

 

2. Использование методов регрессионного и корреляционного анализа для построения прогноза

 

Имеются исходные данные – выборка  из генеральной совокупности, представленная в таблице:

Таблица 1 Исходные данные

xi	-4	-2	0	2	3	4	7	10
yi	21	8	-2	-11	-16	-21	-33	-40

.

Нанесем точки из таблицы  на координатную плоскость

Рис. 1. Исходные данные

 

Пусть есть гипотеза H₀: =0.  Необходимо ее проверить. Если гипотеза будет принята, то линейной статистической связи между х и у нет.

Найдем оценки числовых характеристик х и у.

Оценки математических ожиданий, которые  характеризую центр рассеяния данных, вычислим по формулам:

,

Оценки дисперсий (смещенные):

Оценки дисперсий (несмещенные):

Найдем смещенные оценки средних квадратических отклонений:

Несмещенные оценки средних квадратических отклонений:

Определим несмещенную оценку ковариации, которая выражает степень статистической зависимости между двумя множествами данных, по формуле:

=650/7=-92,9  (Здесь вычисления требуется осуществлять хотя бы с точностью до сотых долей. Коэффициент корреляции и параметры уравнения регрессии будут уже другими).

Отрицательный коэффициент ковариации характеризует обратную  взаимосвязь величин.

Вычисление оценки коэффициента корреляции (характеризует силу и направление  связи между двумя переменными):

=-92,9/ (4,59* 20,39)= -0,9902

Коэффициент корреляции, близкий по модулю к минус единице, говорит  о наличии сильной связи между х и у.

Т. к. 0, значит гипотеза H₀ отвергается, следовательно  между х и у существует линейная статистическая связь.

Будем использовать регрессионную  модель в виде: , где –….

Предположим, что эмпирическое уравнение регрессии является  линейным:

.

Прямой метод построения линейной модели эмпирического уравнения Y на X. Используем формулу:

= -11,75

=2,5

=-0,9902; = 4,3;  =19,08

. Подставляем значения, находим эмпирические уравнения регрессии Y на X:

Прямой метод построения линейной модели эмпирического уравнения  X на Y .

 

 Подставляя значения, получаем следующие результаты:

На основании полученных данных построим графики функций.

Рис. 2. Эмпирические линейные уравнения регрессии Y на X и Х на Y

 

Также, предположим, что  эмпирическое уравнение регрессии является параболой:

Коэффициенты a, b, с найдем из системы уравнений:

;

   ;             

.

Подставляя известные  данные, получаем:

Используя метод Крамера, получаем:

=0,1343;

=-5,1857;

=-2,1089

Тогда параболическое эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:

Построим график функции  на координатной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Параболическое эмпирическое уравнение регрессии

 

Точность прогноза определяется, во-первых, естественным разбросом, т.е. дисперсией условного распределения, а во-вторых, ограниченность выборки, т. е. доверительным интервалом для величины , который зависит от х.

Поэтому, сначала найдем оценку среднего квадратического отклонения условного распределения для линейного уравнения Y на X двумя способами:

1. Метод наименьших квадратов:

-число параметров в эмпирическом уравнении регрессии

=4,6 =3,076 Пересчитайте

2. Прямой метод:

= =

Также найдем оценки дисперсии  и среднего квадратического отклонения условного распределения для параболического уравнения регрессии, по формулам:

            

В результате получаем:

= =((21-20,7827)+(8-8,7997)+(-2+2,1089)+(-11+11,9431)+(-16+16,4573)+(-21+20,7029)+(-33+31,8281)+(-40+40,5359))/5=0,7092

=

Оценим корреляционное отношение для параболического уравнения регрессии:

      l =?

     (?)

=

 

Гипотеза H₀ была отвергнута и , значит можно выбрать нелинейную (параболическую) регрессионную модель.

 

Определение доверительного интервала

Доверительный интервал для условного математического  ожидания Y находится по выражению:

где = Правильная ли формула?

,- квантиль распределения Стьюдента.

Найдем доверительный  интервал для условного математического  ожидания с доверительной вероятностью 1- =0,94. при предположении о нормальном распределении случайной величины Y используя линейную и параболическую модель регрессии.

По таблице «Критические точки распределения Стьюдента» находим квантиль , при принятом уровне значимости =0,06

Тогда, доверительный  интервал для линейного уравнения регрессии примет вид:

 

Доверительный интервал для y₉ при x₉=6: Неверно

, т.е.

-30,3534<y_ср(6)< -23,8672

 

Построим доверительный  интервал на координатной плоскости.

 

 

 

 

Рис.4. Доверительный интервал для  случая линейной модели

 

Доверительный интервал для случая параболической модели регрессии по выражению:

Доверительный интервал для y₉ при x₉=6:

 

-31,565 <y_ср(6)< -25,211

 

При тех же значениях  и , доверительный интервал примет вид:

 

Длина интервала у Вас получилась почти  такая же, как и в случае линейной модели. Но так быть не должно. Ищите ошибку.

Рис. 5. Доверительный интервал для параболической модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение толерантного интервала

Найдем также толерантный  интервал, зависящий от двух вероятностей p=0,98 и 1- =0,94, в который попадает индивидуальное значение y_n+1,  по выражению:

, где  ,  т. е.

,

 и  – нижний и верхний квантили условного распределения . Таких обозначений в формуле нет. А u_p – квантиль стандартного нормального распределения.

Квантили находим по таблице «Функция стандартного нормального  распределения». В таблице отсутствуют необходимые значения, поэтому для нахождения квантилей запишем уравнение прямой, проходящей через 2 точки, используя соседние значения:

где x – квантиль u_p, y – вероятность p/2=0,49

Подставляя вместо у значение 0,49, находим квантили: u_p= 2,3267

Следовательно, для линейной модели: u_p =7,1569, для параболической: u_p = 1,9593.

Толерантный интервал, зависящий  от двух вероятностей p=0,98 и 1- =0,94, для индивидуального значения у₉ в случае использования линейной регрессионной модели будет равен:

=-30,3534,    =-23,8672

-30,3534-7,1569<y(6)< -23,8672+7,1569

-37,5103<y(6)<-16,7103

Толерантный интервал для  индивидуального значения у₉ в случае использования параболической регрессионной модели будет равен:

=-31,565,    =-25,211

-31,565 -1,9593<y(6)< -25,211+1,9593

-33,5243<y(6)< -23,2517

 

 

Заключение

На основе выборки  генеральной совокупности с использованием методов регрессионного и корреляционного  анализов были произведены расчеты для того, чтобы выявить взаимосвязь между исходными данными: ставкой рефинансирования и количеством выданных кредитов, а также дать этой взаимосвязи количественную оценку.

Сначала были оценены  числовые характеристики исходных данных, такие как математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, а также коэффициенты ковариации и корреляции, которые показали наличие сильной обратной связи между показателями. После этого были построены эмпирические уравнения регрессии: линейное и нелинейное (параболическое), и оценены средние квадратические отклонения условного распределения для каждой из двух моделей регрессии.

На следующем этапе  анализа были построены доверительные  интервалы с доверительной вероятностью 1- =0,94  при использовании линейной и параболической моделей регрессии. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом: среднее изменение количества выданных кредитов, которое является результатом изменения процентной ставки на 6, с вероятностью 94% составит от-30,3534 до  -23,8672 процентов  для случая использования линейной модели регрессии, и от -31,565 до-25,211 процентов  для случая нелинейной модели.

Также были рассчитаны толерантные  интервалы, зависящие от двух вероятностей: 1- =0,94  и p=0,98  для индивидуального значения y₉. Таким образом, на основе анализа исходных данных – выборки генеральной совокупности – можно с выше указанной вероятностью утверждать, что при условии, что при увеличении ставки рефинансирования, по сравнению с предыдущим годом, на 6 процентов, количество выданных кредитов коммерческими банками будет находится в интервале от-37,5103 до -16,7103, в случае использования линейной модели регрессии, и в интервале от -33,5243 до  -23,2517 , в случае использования параболической модели.

 

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ  И ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшее образование», 2008. – 405 с.
2. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «ИНФРА-М», 1997. – 302 с.
3. Маслов В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – ВВАГС, 1999. – 107 с.