Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Курсовая математич моделирование

Содержание

Введение 2
Выполнение работы:

Разработка имитационной модели изменения пространственно-временного состояния объекта в трехмерном пространстве относительно неподвижной системы координат 3
Построение концептуальной модели изменения пространственно-временного состояния объекта в трехмерном пространстве 4
Построение модели изменения состояния объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах 7
Оценка математической модели пространственно-временного состояния объекта 12
Прогнозирование функции отклика объекта на изменение его геометрических свойств 17
Оценка и анализ результатов моделирования 26
Статистический метод оценки изменения пространственно-временного состояния объекта 30
Изучение изменения системы на втором уровне декомпозиции 36
Вывод 40

Заключение 41
Литература 42
Словарь 43
Приложение 54

Введение

Главной ролью и значением моделирования в современном мире является получение новой информации об объекте. Любой процесс, предмет или явление, которые изучают методом моделирования, называют объектом моделирования. Так как при изучении сложных объектов невозможно и не нужно учитывать все его качества и свойства, то приходится отбирать наиболее важные для достижения целей изучения или решения сформулированной задачи.

Актуальность реализации данной системы заключается в возможности широкого применения в различных сферах геодезии для контроля состояния объектов. Результаты моделирования применяются для повышения безопасности эксплуатации зданий и сооружений.

Целью данного курсового проекта является: анализ пространственно-временных состояний объектов по геодезическим данным.

В проекте нами будет проведена следующая работа:

Разработка имитационной модели изменения пространственно-временного состояния (ПВС) инженерного объекта в трехмерном пространстве.
Построение модели изменения ПВС объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах.
Оценка и анализ результатов моделирования ПВС.
Прогнозирование ПВС объекта методом экспоненциального сглаживания на основе результатов моделирования.
Статистический метод оценки ПВС результатов моделирования.
Анализ изменения ПВС блоков объекта.

Разработка имитационной модели изменения пространственно-временного состояния объекта в трехмерном пространстве относительно неподвижной системы координат

На рис.1 приведен план конструкции промышленного объекта, на котором нами была запроектирована схема положения геодезических марок фундамента, с условием равномерного распределения марок на каждом блоке.

Масштаб 1:500

Рис. 1 План конструкции промышленного здания

Элементы конструкции промышленного цеха представлены тремя частями: А, Б и В. В результате начала эксплуатации цеха возможны неравномерные осадки грунтов основания, что может повлиять на нормальную работу оборудования. Грунты основания представляют собой песчано-глинистые породы, опирающиеся на гранитный слой.

По схеме расположения марок (план конструкции промышленного объекта, рис.1), мы определили координаты марок Х (м) и У (м) на момент времени 0, в произвольной системе координат, с учетом масштаба и записали их в табл. 1, 2 прил.1

Координаты марок X и Y в период времени от 0 до 10,14 мы получили имитацией случайного движения в пределах 0,050 м – табл. 3, 4 прил.1

Отметки марок приведены в табл. 5 прил.1 – по исходным данным.

В таблице высотных координат марок Н (м) представлена имитация движения объекта в вертикальной плоскости.

Ошибка измерений Т = 0,1мм.

Допустимая относительная разность осадок ± 0,5см.

Построение концептуальной модели изменения пространственно-временного состояния объекта в трехмерном пространстве

Создание системы контроля состояний объекта делает необходимым формулирование следующих задач:

оперативное предоставление объективной информации о состоянии объекта в целом;
определение выхода состояния объекта за критический уровень;
определение границ структурных частей объекта;
прогнозирование будущего состояния объекта.

Решение этих задач невозможно без применения методов системного анализа, который дает объективную информацию об изменении всего объекта и его частей. Процедура декомпозиции системы имеет иерархическую структуру, состоящую из k уровней детализации. При этом величина k зависит как от степени сложности самого объекта, так и от вида, скорости движения, влияющего на изменение его состояния, и имеет предельное значение , где – количество точек системы. Критерием принятия решения о переходе от уровня к уровню является проверка условий выхода состояния объекта за предельно допустимые границы. При определенных обстоятельствах декомпозиция может осуществляться до уровня неделимого элемента системы – геодезического знака. В этом случае анализ системы контроля переходит к классическому виду.

Следуя структурной схеме (рис.2) рассмотрим процедуру декомпозиции на примере модели объекта (рис.3).

Поток сигналов Х, поступающих на вход системы

Анализ входных сигналов Х, описание природы объекта, анализ структуры объекта

I УРОВЕНЬ ДЕКОМПОЗИЦИИ

Анализ функции изменения состояния объекта в фазовом пространстве
Анализ функции изменения состояния объекта в гильбертовом пространстве
Расчет прогнозного значения состояния объекта
Расчет предельных значений функции состояния объекта
Принятие решения о переходе на II уровень декомпозиции

II УРОВЕНЬ ДЕКОМПОЗИЦИИ

Анализ функции изменения состояний блоков объекта (подсистем) в гильбертовом пространстве
Расчет прогнозного значения функции состояний блоков объекта
Расчет предельных значений функции состояний блоков объекта
Сравнительный анализ изменения состояний блоков объекта
Принятие решения о переходе на III уровень декомпозиции

К=2

Выходные сигналы Y

Рис.2 Структурная схема алгоритма процедуры декомпозиции

Рис.3 Модель объекта

Во все времена информация имела огромную ценность и представляла собой основу знания человека. В результате взаимодействия объектов между их состояниями устанавливается определенное соответствие, и чем сильнее оно выражено, тем больше информации один объект содержит о другом. Для того чтобы установить это соответствие, необходима система, которая на основе данных об объекте объективно и правильно отображала бы его состояние. Главной целью этой системы является извлечение информации, а основными задачами являются: сбор данных об объекте, возможность применения методов и средств их обработки, хранение и передача информации. В современной интерпретации речь идет об информационной системе.

Объекты информационных систем характеризуются структурной сложностью, неоднородностью, сопровождающейся большим количеством параметров и характеристик. Это обстоятельство делает необходимым применение иерархических схем моделирования, которые позволяют рассматривать любой объект в виде совокупности блоков , каждому из которых приводится в соответствие множество его возможных состояний где – номер момента времени из периода .

В модели для каждого блока фиксируется момент перехода в новое состояние . В результате, образуется массив состояний, отображающий динамику функционирования модели системы по времени. Блоки модели могут быть представлены отдельными программными модулями. Работа каждого такого модуля воспроизводит работу всех однотипных блоков, а их количество эквивалентно числу блоков.

В основном информационные системы оперируют объектами дискретного типа: дискретные производственные процессы, каналы передачи данных и т. д. В геодезической сфере деятельности к дискретным процессам относится наблюдение за движением системы геодезических знаков во времени и пространстве.

Рассмотрим типовую схему моделирующего алгоритма на примере объекта (рис.3) по геодезическим данным.

На рисунке 4 представлена типовая схема моделирующего алгоритма, построенная по блочному принципу. Схема состоит из четырех модулей:

Рис.4 Типовая схема моделирующего алгоритма

Согласно математическому описанию модели изменения состояний объектов по геодезическим данным, содержание программных модулей следующее:

модуль 1 – формирование начальных значений состояний объекта:

а) начальные значения состояния объекта

где – координаты геодезических марок приходящихся на нулевую эпоху;

б) начальные значения состояния объекта для одного прогона модели (указываются отметки марок из множеств ,, учитываемых при анализе состояния объекта для одного прогона (рис. 3));

модуль 2 – определение очередного момента изменения состояния объекта, где и выбор блока ;
модуль 3 – логическое переключение:

а) переход по номеру блока и по времени Т (принятие решения о завершении прогона);

б) фиксирование информации о переходе системы (блока) из состояния в состояние (в графической интерпретации выражается очередной точкой функции, определяющей состояние объекта в фиксированный момент времени с фазовыми координатами * и , эквивалентными значениям множества отметок геодезических знаков);

в) завершение прогона, если ;

модуль 4 – управление и обработка информации:

а) проверка точности результатов моделирования (расчет предельно допустимых границ, в рамках которых состояние объекта можно считать устойчивым);

б) окончательная обработка информации и подготовка результатов моделирования к передаче на выход модели системы.

Построение модели изменения состояния объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах

В качестве формальной модели объекта принята модель динамической системы

, (1)

где – множество входных сигналов;

– множество выходных сигналов;

– пространство состояний системы;

– отображение перехода системы из состояния в состояние в результате потока входной информации;

– отображение выхода системы.

Задача структурного анализа объекта сводится к содержательному определению элементов модели (1).

Исходными данными для решения этой задачи, служит массив высотных координат контрольных точек объекта, т.е. состояние объекта в момент определяется высотными координатами точек. Следовательно, множество состоит из скалярных функций (2).

, (2)

Пространство состояний системы контрольных точек объекта определяется как декартово произведение всех элементов этого множества. Размерность пространства равна числу контрольных точек.

Каждому циклу наблюдений с номером в пространстве состояний соответствует точка, радиус-вектор которой

, (3)

где – орт-векторы базиса - мерного пространства состояний.

Таким образом, функция есть отображение, которое множеству входных сигналов ставит в соответствие фазовую точку (элемент ) пространства состояний. Эта точка и представляет состояние объекта в цикле с номером . Множество точек, радиус-векторы которых определяются вектор-функцией (3) в каждом цикле наблюдений, образует в фазовом пространстве фазовую траекторию, которая представляет собой явную функцию координат и времени, характеризующую изменение состояния объекта от цикла к циклу.

Однако, для адекватной оценки состояния объекта в пространстве и времени, кроме высотных координат контрольных точек объекта, необходимо учитывать и плановые координаты x, y.

Имея для каждой контрольной точки массив данных на множество циклов измерений, анализ изменения положения объекта относительно системы координат сводится к анализу вектор-функции:

, (4)

Таким образом, анализируя вектор-функцию (4) для каждой контрольной точки, делают выводы о закономерностях изменения положения объекта.

Множество X={x,y,z,…} называется метрическим пространством X, если на совокупности упорядоченных пар (x,y) элементов этого множества определена неотрицательная функция ρ(x,y), называемая расстоянием (или метрикой).

Элементы метрического пространства называются точками.

Для множества всевозможных последовательностей x={x_n} действительных чисел:

, (5)

Каждая такая последовательность называется точкой пространства, а числа x_n, n=1,2,…, - ее координатами. Расстояние между двумя точками x={x_n} и y={y_n} определяется по формуле:

, (6)

При любом натуральном m в пространстве R^m для точек (x₁,…,x_m), (y₁,…,y_m), (z₁,…,z_m), справедливо неравенство треугольника:

, (7)

Метрическое пространство всех действительных последовательностей, удовлетворяющих условию (5), с метрикой (6) называется гильбертовым пространством последовательностей и обозначается l₂ .

Используя принцип сжимающего пространства можно преобразовать n-мерное метрическое пространство в 3-х мерное.

Положение точки в 3-х мерном пространстве определяется координатами X,Y,Z, которые вычисляются по формулам:

, (8)

где , (9)

X,Y,Z – координаты точки фазовой траектории; x,y,z – координаты контрольных точек системы; m – количество контрольных точек.

По координатам X,Y,H (прил.1 табл. 3,4,5) и заданной математической модели изменения состояния объекта в фазовом пространстве построим график функции для X,Y,H, где:

, (10)

По формуле (10) вычисляем для X,Y,H (прил.2 табл. 1,2,3) и строим графики функций (рис. 5,6,7).

Рис.5 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям Х

Рис.6 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям Y

Рис.7 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям H

Для разработки изменения состояния объекта в гильбертовом пространстве составим матрицы (4) (прил. 2 табл. 4,5,6). По прил. 2 табл. 4,5,6 и формуле (9), вычисляем значения NORM (прил. 2 табл. 7) и по формулам (10) вычисляем значения координат X,Y,Z в гильбертовом пространстве (прил. 2 табл. 8).

По вычисленным координатам X,Y,Z строим трехмерный график в гильбертовом пространстве (рис. 8).

Рис.8 График изменения состояния объекта в Гильбертовом пространстве

Оценка математической модели пространственно-временного состояния объекта

При моделировании вертикальных движений сооружений по результатам измерений происходит потеря точности из-за приближённости математического описания реального континуального процесса движений дискретной моделью, ошибок измерений и ошибок округления при представлении чисел в ЭВМ.

Ошибки округления обычно оценивают, выполняя вычисления на ЭВМ по одному и тому же алгоритму с простой и двойной точностью. Когда ошибки исходных экспериментальных данных значительно превосходят ошибки округления при представлении чисел в ЭВМ, влияние последних на результаты моделирования пренебрегаемы и могут не учитываться. Приближённость математического описания реальных континуальных вертикальных движений по результатам повторных циклов наблюдений можно оценить, только изменив частоту повторных циклов, что экономически нецелесообразно и зачастую просто невозможно. Поэтому рассмотрим влияние на результаты моделирования только ошибок экспериментальных данных.

Обычно предполагают, что ошибки исходных данных распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией _. При этих предположениях для оценки точности можно применить метод Монте-Карло и, выполнив достаточное число опытов, оценить точность моделирования вертикальных движений сооружения. Более простой, но менее надёжный путь оценки точности состоит в применении известных методов теории ошибок. Основной недостаток в этом случае состоит в необходимости линеаризации оцениваемых функций. Чтобы избежать принятия гипотез о функции распределения ошибок и необходимости линеаризации оцениваемых функций, используем метод имитационного моделирования для оценки точности результатов моделирования, полагая, что нам известна предельная абсолютная погрешность определения исходных данных, связанная со средней квадратической погрешностью выражением .

Для этого положим, что

, (11)

где – вектор ошибок исходных данных;

– вектор ошибок результатов моделирования.

Следовательно,

, (12)

и для выполнения оценки точности результатов моделирования достаточно вычислить вектор (12). Координаты вектора зададим равными предельной погрешности исходных данных.

Задача оценки точности результатов моделирования сводится к определению предельных значений фазовых координат и . Полагая предельную погрешность исходных данных равной ± D, можно определить векторы и значений левой и правой границ интервалов в пределах, в которых должны находиться значения исходных данных

, (13)

Имея значения исходных данных, можно вычислить соответствующие значения фазовых координат и , и графически или аналитически определить неустойчивые состояния объекта, где реальные значения фазовых координат превосходят предельно допустимые.

Для оценки точности результатов моделирования примем D = ±0,020м по осям Х,Y и D = ±0,002м по оси Н. По формулам (14) вычисляем верхний и нижний пределы, в которых должны находиться значения исходных данных (прил. 3 табл.1, 2, 3, 4, 5, 6).

м,

м.

м, (14)

м.

м,

м.

По формуле (10) вычисляем для X,Y,H верхнего и нижнего предела (прил. 3 табл.1, 2, 3, 4, 5, 6) и строим графики функций (рис. 9, 10, 11).

Контроль:

Рис. 9 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами по дискретным значениям Х

Рис. 10 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами по дискретным значениям Y

Рис. 11 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами по дискретным значениям H

Оценку состояния системы в фазовом пространстве мы производили в прил. 3 табл.7, 8, 9. Для этого вычислили интервалы, в пределах которых должны находиться исходные данные по формуле:

, (15)

Далее рассчитываем изменение системы во времени относительно исходного состояния:

, (16)

Если выполняется условие

, (17)

то состояние системы в данный момент времени можно считать устойчивым, в противном случае – неустойчивым.

Для оценки состояния объекта в гильбертовом пространстве также используем верхний и нижний пределы, в которых должны находиться значения исходных данных (прил. 3 табл. 1, 2, 3, 4, 5, 6). По формулам (8),(9) вычисляем значения координат X,Y,Z в гильбертовом пространстве, которые представлены в прил. 3 табл. 10, 11. Строим трехмерные графики нижнего, верхнего предела и реальных данных (рис. 12).

Рис.12 График изменения пространственно-временного состояния объекта в гильбертовом пространстве. Верхний и нижний предел.

Оценку состояния объекта в гильбертовом пространстве мы производили в прил. 3 табл. 12, 13, 14 по формулам (15), (16) и условию (17).

По проведенной оценке математической модели пространственно-временного состояния объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах можно сделать вывод о том, что в момент времени t = 10.14 для X и Y система выходит за пределы и является неустойчивой. В фазовом пространстве для H система является устойчивой во всех временных промежутках, в гильбертовом пространстве для H система является устойчивой только в момент времени t = 10.14, в остальные же моменты – неустойчива.

Прогнозирование функции отклика объекта на изменение его геометрических свойств

Одним из признаков адекватности модели является возможность с необходимой точностью прогнозировать будущее состояние объекта. Поэтому выбор методов прогнозирования является очень важной задачей, и ее решение требует индивидуального подхода к выбору используемой модели.

Модели можно классифицировать по различным признакам. В зависимости от вида объекта, могут быть модели физических процессов, модели развития производства, модели развития науки и техники, экономические модели, демографические модели, социальные модели, модели политических ситуаций и т. д.

В зависимости от характера протекания прогнозируемого процесса, существуют следующие группы моделей: эволюционного развития; революционного развития; включающие элементы и эволюционного, и революционного развития.

В настоящее время существует большое количество способов и методов прогнозирования, однако все они основаны на двух подходах: эвристическом
и математическом.

Эвристический метод основан на мнении высококвалифицированных специалистов в данной области знания, что дает возможность избежать грубых ошибок, особенно в области скачкообразных изменений прогнозируемой величины. Метод эвристического прогнозирования в основном используется для прогнозирования процессов, формализацию которых нельзя привести к моменту прогнозирования.

Математическое прогнозирование заключается в использовании имеющихся (до определенного времени) данных о некоторых характеристиках прогнозируемого объекта, обработке этих данных математическими методами и определении функций зависимости этих характеристик от времени (или от других независимых переменных) для получения необходимых свойств объекта в заданный момент времени.

Процесс математического прогнозирования условно подразделяется на следующие этапы:

-сбор и подготовку исходных данных;

-выбор и прогнозирование математической модели исследуемого объекта;

-обработку статистических данных для определения неизвестных параметров модели и получения зависимости, связывающей прогнозируемые характеристики объекта от времени или других величин;

-прогнозирование, т. е. вычисления значения интересующих характеристик или свойств объекта в заданный момент времени и при заданных значениях других известных переменных.

Методы математического прогнозирования условно подразделяются на методы прогнозирования движения (развития) и экстраполяции (статистические методы). Процессы прогнозирования могут быть как непрерывными во времени, так и дискретными.

Качество прогноза определяет степень соответствия модели реальному процессу. В ряде случаев функциями, моделирующими процесс, являются экспонента, полином (парабола, прямая), тригонометрические ряды и т. д. Используя достаточно большое количество параметров, можно провести кривую через все точки. Однако такой подход к прогнозированию содержит методический недостаток, так как при постоянных параметрах, полученных по предыстории, нельзя предсказать возможные изменения характера процесса.

Комбинированное прогнозирование. Эвристическим и математическим методам прогнозирования присущи и преимущества, и недостатки. Комбинированный метод объединяет достоинства этих методов и сглаживает недостатки. Комбинированное прогнозирование имеет следующую последовательность действий. Из исследования модели процесса развития явления выявляются общие закономерности, при этом в них могут быть коэффициенты или функции, которые не удается определить на основании анализа моделей процесса. Эти коэффициенты (или функции) определяют статистическими методами. Полученные данные позволяют выполнить математический прогноз. Независимо от него осуществляется эвристический прогноз, и затем результаты эвристического и математического прогнозирования сравниваются. В случае их непротиворечивости, задачу прогнозирования можно считать решенной. В случае противоречивости прибегают к методу логического анализа, с помощью которого и принимают окончательное решение.

Укажем на достоинства и недостатки методов математического и эвристического прогнозирования.

Эвристический метод принципиально применим для прогнозирования любых процессов: непрерывных или дискретных, стационарных или нестационарных, имеется ли «скачок» или нет, имеются ли статистики или нет. Однако этот метод является субъективным.

Курсовая математич моделирование 📙 Курсовая → 🆔 114285