Ленейные и неленейные системы регулирования

Алматинский Университет Энергетики и Связи

 

 

Кафедра Инженерной кибернетики

 

 

 

 

Курсовая  работа

Дисциплина: «Теория неленейных систем автоматизации управления»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ст.гр. АИСУ 09 Каирбеков Т.Б.

Проверил: проф. Сыздыков Д.Ж.            

 

 

 

             

 

 

 

Алматы 2013

 

              СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ, АВТОМАТИЧЕСКИЙ РЕГУЛЯТОР, СИНТЕЗ, УПРАВЛЯЕМОСТЬ, НАБЛЮДАЕМОСТЬ, НЕЛИНЕЙНЫЙ, АВТОКОЛЕБАНИЯ

 

Основной задачей курсового  проекта является практическое использование  знаний, полученных в процессе изучения курса, развитие навыков в расчете  и выборе оптимальных параметров настройки регуляторов одноконтурных систем регулирования при проектировании.

В данной работе синтезированы П-, ПИ-, ПИД-регуляторы для линейной САР, произведены анализ качества регулирования, оценка управляемости и наблюдаемости САР, для нелинейной САР определена возможность возникновения автоколебаний.

 

Содержание

 

Введение

Анализ нелинейной САР

Описание нелинейной САР

Оценка возможности возникновения автоколебаний

Моделирование нелинейной САР в simulink

Применение  метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

Заключение

Список  использованных источников

 

Введение

 

Всякая система регулирования  может быть представлена рядом элементов, выполняющих определенные функции. В данной курсовой работе будут рассмотрены  непрерывная система регулирования, состоящая из объекта регулирования, автоматического регулятора, и нелинейная система, включающая нелинейное звено.

Принципиально отличает объект регулирования  от всех остальных элементов системы  то, что он обычно бывает, задан и при разработке системы автоматического регулирования не может быть изменен, тогда как остальные элементы выбираются специально для решения заданной задачи управления.

Задача выбора параметров настройки  в системе автоматического регулирования  или управления состоит в том, чтобы найти такие параметры  регулятора, при которых переходный процесс в системе удовлетворяет  следующим требованиям:

• затухание переходного процесса должно быть интенсивным;
• перерегулирование должно быть минимальным;
• продолжительность переходного процесса должна быть минимальным.

Большинство уравнений объектов являются нелинейными, однако в этих случаях  знание решений, полученных для линейных систем, часто дает возможность подойти  к решению для нелинейной системы.

 

2. Анализ нелинейной САР

4.1 Описание нелинейной САР

 

Cтруктурная схема нелинейной САР представлена на рисунке 21.

 

Рисунок 21 – Структурная схема  нелинейной САР

 

Роль АР выполняет ПИ-регулятор с передаточной функцией, полученной в п. 1.4:

 

.

 

Нелинейное звено – звено  с насыщением (ограничением), статическая  характеристика звена изображена на рисунке 22.

 

Рисунок 22 – Статическая характеристика нелинейного элемента

 

Параметры звена с насыщением: .

 

 

1. Оценка возможности возникновения автоколебаний

 

Для оценки возможности и устойчивости автоколебаний в нелинейной САР  по методу Гольдфарба необходимо линеаризовать  систему. Применим к нелинейному элементу гармоническую линеаризацию. Тогда передаточная функция звена с насыщением будет иметь вид:

 

,

где ,

 при  , т. е. .

 

Таким образом, передаточная функция  нелинейного элемента принимает  вид:

 

.

 

Условие возникновения автоколебаний:

 

,

или

,

где ,

 

 – передаточная функция  линейной части разомкнутой САР  с ПИ-регулятором (см. п. 1.4).

Уравнение (19) решаем графически. Для  этого необходимо построить на одной  комплексной плоскости годограф Найквиста линейной части  и годограф Гольдфарба .

Script 21:

 

>> A=0.001:0.001:5;

>> Wnon=(2./pi).*(asin(2.4./A)+(2.4./A).*sqrt(1-5.76./A.^2));

>> Z=-1./(Wnon);

>> Re=real(Z);

>> Im=imag(Z);

>> w=0.1:0.01:1;

>> W2=(b3*(j*w).^3+b2*(j*w).^2+b1*(j*w)+b0)./ ...

(a4*(j*w).^4+a3*(j*w).^3+a2*(j*w).^2+a1*(j*w));

>> re=real(W2);

>> im=imag(W2);

>> plot(re,im,Re,Im);grid

 

Построенные в результате выполнения Script 21 годографы приведены на рисунке 23. На рисунке 24 показана увеличенно область, в которой годографы могут пересекаться. Видно, что годографы не пересекаются, значит автоколебания в системе невозможны.

 

Рисунок 23 – Годографы линеаризованной САР

Рисунок 24 – Годографы линеаризованной САР (увеличенно)

2. Моделирование нелинейной САР в Simulink

 

Для подтверждения сделанных выводов  построим модель САР в Simulink. Схема модели изображена на рисунке 25, переходная характеристика, полученная с помощью этой модели – на рисунке 26.

 

Рисунок 25 – Схема s-модели нелинейной САР

 

Рисунок 26 – Переходная характеристика нелинейной САР

 

Очевидно, что автоколебаний в  системе нет, значит, расчеты и вывод о том, что в системе невозможны автоколебания, были сделаны верно.

 

 

Применение  метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

 

 

  На ранней  стадии развития теории автоматического  регулирования требование устойчивости  работы системы было первым  и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.

  “Термин  “устойчивость” настолько выразителен,  что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.

  Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар

устойчив, шар  из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

  Рассмотрим  теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система

                   . 

                   x=Ax+bx,   s=c’x,             (1)

где x и s - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого m, £ m £

система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива.

   Для  абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М( ) нелинейностей x=j(s,t), удовлетворяющих условию

 

      £ j(s,t)/s £                     (2)

достаточно, чтобы при всех w, -¥<w<+¥, выполнялось соотношение

 

    

        Re{[1+ w)][1+ W(jw)]}>0.      (3)

 

  Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x,s)=( s-x)(x- s). Действительно, как было показано выше, форма F(jw,x) имеет вид

   F(jw,x)=-Re{[1+ W(jw)][1+ W(jw)]}|x|    

  Из этой формулы после сокращения  на |x| следует (3).

  В (3) ¹-¥ ,  ¹+¥. Случай, когда либо =-¥, либо =+¥ рассматривается аналогично.

  Круговой  критерий представляет собой  распространение линейных частотных  критериев устойчивости Найквиста,  Михайлова и других на линейные  системы с одним линейным или  нелинейным, стационарным или нестационарным  блоком. Он получается из (3), если  вместо передаточной матрицы  использовать частотную характеристику  линейной части W(jw).

  Обозначая  комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:

   Re[(1+ z)(1+ z )]£0, если  ¹-¥ ,  ¹+¥.    (4)

   Re[(1+ z)z ]£0, если  ¹-¥ ,  ¹+¥.          (5)

   Re[z(1+ z )]£0, если  ¹-¥ ,  ¹+¥.          (6)

 

  Пусть С( ) - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В( ) области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/ , -1/ с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если >0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор ( ) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если =0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/ . На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов ( ) в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.

  Круговой  критерий обеспечивает также  абсолютную устойчивость для  системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству

     ( s-x)(x- s)³0                            (7)  

 

                   Рисунок 1, а.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим  систему, приведенную на рис. 2.

 

 

 

           А          Х    Y     У (P)         Z

              (-)          

                        G(p)      g

 

 

                          Рисунок 2.

  Здесь  W (p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид:

 

            W (p)= ;                

                                               (8)

         W(p)= ;

 

  Алгоритм регулятора имеет вид:

              y=Y x,

                               

             при gx>0          

      Y =                                     (9)

             - при gx<0,

        g=(

   В форме уравнений Коши рассматриваемая  система имеет вид:

                               

         = ,            

         =- ,                  (10)

                                

  

                    k при g >0

       где    =

                   - k при g <0,        

             

          g=c + ; = .

  Соответствие  записей системы на рис. 2 достигается,  когда при

W (p)= в уравнениях (10) имеем:

                         (11)  

 

а при W(p)=      имеем:

                         (12)

Причем для  обоих случаев (11) и (12) имеет место  соотношение

                                             (13)     

В соответствии с изложенным одинаково справедливо  рассматривать в виде структурной  схемы на рис. 2 с известным линейными  операторами - и G(p) или в виде формы Коши (10).

   Дополнительно  отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.

                           |x|=c

 

 l                          g              y                z

(-)    x         G(p)                           W(p)

 

 

                        Рисунок 3.

 

 

Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют  два структурных представления  исследуемой СПС, причем второе позволяет  рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда  |x| - var.

 

   Далее перейдем к анализу нашего  метода.

Согласно  частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех w, изменяющихся от    - ¥ до + ¥, выполнялось соотношение:

 

            Re{[1+ w)][1+ W(jw)]}>0,

а гадограф mW(jw)+1 при соответствовал критерию Найквиста.

  Для исследуемой системы условие  (3) удобнее записать в виде

(4) и (5).

  На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М( ) и годографы W(jw), расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.

           y ^

 

              y= g   ( )   

 

                |x|        y= g (при =0)         

                               >

                                                           0 

 

                                                              

 

         “а”                                         “б”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          

 

 

         “в”                                         “г”

        

                     Рисунок 4.

  В рассматриваемом случае (10) при

 

               W (p)= , когда

         W(p)= W (p)G(p), G(p)= p+1,

  годограф W(jw) системы на рис. 5.

 

 

                            j                         

                                      W(jw)

 

        

                                    w=¥

 

                   >           <

 

                                      =

                        w=0

                               

 

                       Рисунок 5.

 

 В случае (10) справедливы графические формы  на рис. 4 в,г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при

                    >                        (14)

  Интересно заметить, что достаточные  условия абсолютной устойчивости  по Ляпунову 

        а > 0 , y(t) > 0

                 и

                a > c

для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование

                 y(t) > 0                       (15)

поскольку, согласно (11) и (13)  a=a = .

    Докажем  это, используя условия существования  скользящего режима 

       - k£y(t)=c k

т.е. подставим  сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через

, , , тогда получим

 

       - £ y(t)= £              (16)

Согласно  рис. 5 и условия (16) получаем:

1) при  = , y(t)=0

2) при  > , y(t)>0

3) при  < , y(t)<0,

   что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена  на рис. 6.

 

                             |x|=c

 

 l                   g            s                            z

   (-)x       G(p)                    (p)        

 

                                                                               

 

 

 

                        Рисунок 6.

 

В данном случае считаем что:

  - варьируемая величина,

=0.5,

=0.1 (анализ поведения системы  при изменении данного параметра  исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),

=0.1,1 (коэффициент обратной связи),

=10,100.

  Рассмотрим теперь саму функцию:

 

             W(p)=G(p)W (p),

где G(p) - функция корректора, W (p)= (p)W (p), где

         

(p)= , а W (p) в свою очередь будет:

 

          W (p)= ,

  где  , соответственно вся функция имеет вид:

 

      W(p)= ;

  Теперь заменяем p на jw и имеем вид:

 

      ;

 

Для построения гадогрофа выведем формулы для P(w), jQ(w) которые имеют вид:

 

P(w)= ;

 

  jQ( ;

  Графики можно посмотреть в  приложении N 2.

 Учитывая , что добротность x должна быть ³ 0.5¸0.7 мы можем определить добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за увеличения и ,  x уменьшается, можно сделать вывод, что колебательность звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2.

Но это  не подходит по требованию нашей задачи.  Так как  > , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только на высоких частотах, а на низких будет преобладать , что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать минемальные значения , это значит что, при этих значениях будет максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.

   Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении  .

                   Приложение N 2.

                    Рисунок N 1.1

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В ходе выполнения курсового проекта  был произведен анализ объекта регулирования, построены кривая разгона ОР.

В результате проведения необходимых  расчетов были определены оптимальные  параметры настройки П, ПИ, ПИД-регуляторов, запас устойчивости систем, оценено качество переходных процессов САР с П, ПИ, ПИД-регуляторами. Также был проведен анализ наблюдаемости и управляемости САР: система со всеми тремя регуляторами оказалась полностью наблюдаемой и управляемой.

Для случая, когда регулирующий орган  имеет нелинейную характеристику был проведен анализ на возможность возникновения автоколебаний в нелинейной системе регулирования методом Гольдфарба. Установлено, что автоколебания в системе невозможны. Невозможность автоколебаний подтверждена моделированием системы в Simulink.

 

Список использованных источников

 

1. Линейные и нелинейные системы управления: Методические указания и задания на курсовой проект по курсу «Теория управления» для  студентов дневной и заочной  форм обучения специальности 2102 – Автоматизация  технологических процессов и  производств / Составители С. Г. Денисенко, Ю. Е. Кичкарь. Кубан. гос. технол. ун-т; - Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2000. – 22 с.
2. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения / Дьяконов В. П. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 768 с.