Лекции по "Математике"

Определение

Пусть дано вероятностное пространство  , и на нём определена случайная величина   с распределением  . Тогда функцией распределения случайной величины   называется функция  , задаваемая формулой:

.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины   называют функцию  , значение которой в точке   равно вероятности события  , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых  .

Свойства

 непрерывна справа:^[1]

 не  убывает на всей числовой прямой.

.

.

Распределение случайной  величины   однозначно определяет функцию распределения.

Верно и обратное: если функция   удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что   является её функцией распределения.

По определению непрерывности  справа, функция   имеет правый предел   в любой точке  , и он совпадает со значением функции   в этой точке.

В силу неубывания, функция   также имеет и левый предел   в любой точке  , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция   либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

 

1. Дискретная случайная  величина, закон и функция распределения

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством) 
Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σp_i = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i)

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: 
F(X) = P(ξ < X). 
Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины. Ниже будет приведён пример, разъясняющий смысл сказанного.

2. Числовые характеристики  дискретных случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: 
M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

Свойства математического  ожидания. 
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: 
М(С) = С 
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: 
М(СХ) = С·М(Х) 
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: 
М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n) 
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: 
М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: 
D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии. 
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х) 
3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: 
σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации. 
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле: 
As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ + ... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³ 
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле: 
Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ + ... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

 

 

 

Непрерывные случайные  величины  
 
     Интегральная функция (функция распределения)  

     

Свойства:     

1)  ;     

2)  ;     

3)  ;     

4)  .

 
     Дифференциальная  функция распределения (плотность  вероятности)  

где F(x) - интегральная функция.     

Свойства:     

1)  ;     

2)  ;     

3)  ;     

4)  .

 
     Числовые характеристики непрерывной случайной величины  
 
     Математическое ожидание  

 
     Дисперсия  

Свойства математического  ожидания

 

            1) Математическое ожидание постоянной  величины равно самой постоянной.             

2) Постоянный множитель  можно выносить за знак математического  ожидания.            

3) Математическое ожидание  произведения двух независимых  случайных величин равно произведению  их математических ожиданий.           

 Это свойство справедливо  для произвольного числа случайных  величин.           

4) Математическое ожидание  суммы двух случайных величин  равно сумме математических ожиданий  слагаемых.        

Это свойство также справедливо  для произвольного числа случайных  величин.        

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.            

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.            

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.           

 Это отклонение равно  разности между случайной величиной  и ее математическим ожиданием.  При этом математическое ожидание  отклонения равно нулю. Это объясняется  тем, что одни возможные отклонения  положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного  погашения получается ноль. 

Свойства дисперсии

1)      Дисперсия постоянной величины равна нулю.           

2) Постоянный множитель  можно выносить за знак дисперсии,  возводя его в квадрат.           

3) Дисперсия суммы двух  независимых случайных величин  равна сумме дисперсий этих  величин.           

4) Дисперсия разности  двух независимых случайных величин  равна сумме дисперсий этих  величин.           

 Справедливость этого  равенства вытекает из свойства 2. 

 

 

            Теорема. Дисперсия числа появления  события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в каждом испытании.  

 

Определения

Если дана случайная величина   определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• -м нача́льным моментом случайной величины   где   называется величина

если математическое ожидание   в правой части этого равенства определено;

• -м центра́льным моментом случайной величины   называется величина

• -м абсолю́тным и  -м центральным абсолютным моментами случайной величины   называется соответственно величины

 и 

• -м факториальным моментом случайной величины (Стефенсен)   называется величина

если математическое ожидание в  правой части этого равенства  определено.^[1]

Абсолютные моменты могут  быть определены не только для целых  , но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

 

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью   имеем:

если 

а для дискретного распределения с функцией вероятности 

если 

 

 

 

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

•  — значение моды
•  — нижняя граница модального интервала
•  — величина интервала
•  — частота модального интервала
•  — частота интервала, предшествующего модальному
•  — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот   , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

М_е = (n_{(число признаков в совокупности)} + 1)/2,

в случае четного числа  признаков медиана будет равна  средней из двух признаков находящихся  в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

•  — искомая медиана
•  — нижняя граница интервала, который содержит медиану
•  — величина интервала
•  — сумма частот или число членов ряда
•  - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному
•  — частота медианного интервала

 

 

Распределения дискретных случайных  величин

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m, … , n,  а соответствующие им вероятности равны:

             (21)

где  0 < p < 1,  q = 1 – p ;  m = 0, 1, 2, ... , n.   

Как видно из (21), вероятности Рm вычисляются, как члены разложения бинома Ньютона  , откуда и название «биномиальное распределение».

Примером  является выборочный контроль качества производственных изделий, при котором  отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки, т.е. когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда количество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей. 

Биномиальное  распределение определяется двумя  параметрами: n  и  p. Cлучайная величина, распределенная по биномиальному закону, имеет следующие основные числовые характеристики:

            (22)

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она имеет бесконечное счетное множество возможных значений 0, 1, 2, ... , m, …,  а соответствующие им вероятности определяются формулой:

        (23)

Примерами случайных явлений, подчиненных  закону распределения Пуассона, являются: последовательность радиоактивного распада  частиц, последовательность отказов  при работе сложной компьютерной системы, поток заявок на телефонной станции и многие другие.  
Закон распределения Пуассона (23) зависит от одного параметра а , который одновременно  является и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Таким образом, для распределения Пуассона имеют место следующие основные числовые характеристики:

          (24)

 
Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m, … , а вероятности этих значений:

          (25)

где 0 < p < 1,  q = 1 – p ;  m = 0, 1, 2, ... .

Вероятности Рm для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q, откуда и название «геометрическое распределение».

В качестве примера рассмотрим стрельбу по некоторой цели до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов  и сохраняет постоянное значение р (0 < p < 1). Тогда количество произведенных выстрелов будет случайной величиной с геометрическим распределением вероятностей. 

Геометрическое  распределение определяется одним  параметром р. Cлучайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, имеет следующие основные числовые характеристики:

           (26) 

Гипергеометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами  a, b,  n,  если ее возможные значения  0, 1, 2, ... , m, … , а  имеют вероятности:

            (27)

 
Гипергеометрическое распределение  возникает, например, когда из урны, содержащей  а  черных и  b белых шаров, вынимают n шаров. Случайной величиной, подчиненной гипергеометрическому закону распределения, является число белых шаров среди вынутых. Основные числовые характеристики этой случайной величины:

 

Равномерное распределение. Непрерывная величина  Х  распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

            (29)

 
Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

           (30) 
  
Рис. 4. График плотности равномерного распределения 

 

Примерами равномерно распределенных величин  являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой  функции округлены до одного и  того же разряда  , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале   

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина  Х  имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

          (31)

График  плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.

  
Рис. 5. График плотности показательного распределения 

 

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина  Х  имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

            (32)

где m = M(X) ,  .

При    нормальное распределение называется стандартным.

График  плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.

  
Рис. 6. График плотности нормального  распределения 

 

Нормальное  распределение является наиболее часто  встречающимся в различных случайных  явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля  в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют  нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.

 

Теорема Пуассона

 

 

Теорема Пуассона в теории вероятностей описывает способ получения распределения Пуассона как предел биномиальных распределений.

Формулировка  Править

Пусть есть   Пусть также дана последовательность   такая, что

Тогда

Уточнённая теорема  Пуассона  Править

Пусть   и   Тогда

Замечания  Править

• Таким образом функция вероятности биномиального распределения   сходится к функции вероятности распределения Пуассона 
• Уточнённая теорема Пуассона позволяет оценить качество приближения распределения Пуассона биномиальным распределением для фиксированных   и 

 

Локальная и интегральная теоремы  Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ(x) можно  воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x')

Здесь

-функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят  по специальной таблице.

 

Определения

Определение:

Cлучайные величины   и   называются независимыми, если   события   и   независимы.

Иначе говоря, две случайные  величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать  выводы о значении другой.

Независимость в  совокупности

Определение:

Случайные величины   называются независимы в совокупности, если события   независимы в совокупности[1].