Математические методы в экономике. 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ (ГОУВПО)

«ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИКЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ржев, 2011

 

Содержание

 

 

 

 

Раздел 1. Графы

 

Графом Г=(V,X) называется пара множеств: V – множество, элементы которого называются вершинами, X – множество неупорядоченных пар вершин, называемых ребрами.

Если v, wÎV, x = (v,w)ÎX, то говорят, что ребро x соединяет вершины v и w или x инцидентноv и w. Таким образом, {v,w} – обозначение ребра.

 Если Х представляет собой упорядоченные пары (т. е. X – подмножество декартова произведения V×V), то граф называется ориентированным, а пары {v,w} называют дугами.

Если множеству X принадлежат пары v=w, то такие ребра (v,v) называют петлями.

Существование одинаковых пар {v,w} соответствует наличию параллельных или кратных ребер (дуг), а кратностью ребер называют количество таких одинаковых пар.

Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.

Мультиграф − псевдограф без петель.

Заметим, что графом также называют мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.

 

Понятия смежности, инцидентности, степени

Если x={v,w} - ребро, то v и w − концы ребраx.

Если x=(v,w) - дуга ориентированного графа, то v − начало, w – конец дуги.

Вершина v и ребро x неориентированного графа (дуга x ориентированного графа) называются инцидентными, еслиv является концом ребра x (началом или концом дуги x ).

Вершины v, w называются смежными, если {v,w}ÎX.

Степенью вершины v графа G называется число d(v) ребер графа G, инцидентных вершине v.

Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 – висячей.

 

Пусть D=(V,X) ориентированный граф, V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}.

Матрица смежности ориентированного графа D − квадратная матрица A(D)=[aij] порядка n, где

Матрица инцидентности − матрица B(D)=[bij] порядка n´m, где

 

Маршруты и пути

Последовательность v1x1v2x2v3…xkvk+1, (где k³1, viÎV, i=1,…,k+1, xiÎX, j=1,…,k), в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,…,k ребро (дуга) xj имеет вид {vj,vj+1} (для ориентированного графа (vj,vj+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v1 и vk+1 (путем из v1 в vk+1).

 

Цепь − незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны.

Цикл − замкнутая цепь (в неориентированном графе).

Контур − замкнутый путь (в ориентированном графе).

Простой путь (цепь) − путь (цепь, цикл, контур), в котором ни одна дуга/ребро не встречается дважды.

Простой цикл (контур) − цикл (контур), в котором все вершины попарно различны.

 

 Путь в графе или орграфе - это последовательность ребер, по которым можно поочередно проходить. Другими словами, путь из вершины A в вершину B начинается в A и проходит по набору ребер до тех пор, пока не будет достигнута вершина B. С формальной точки зрения, путь из вершины vi в вершину vj это последовательность ребер графа vivi+1, vi+1vi+2, ..., vj-1vj. Требуется, чтобы любая вершина встречалась на таком пути не более, чем однажды. У всякого пути есть длина - число ребер в нем.

      Во взвешенном графе или орграфе каждому ребру приписано число, называемое весом ребра. При изображении графа обычно записывают вес ребра рядом с ребром. Стоимость пути по взвешенному графу равна сумме весов ребер пути. Кратчайший путь во взвешенном графе - это путь с минимальным весом, даже если число ребер в пути и можно уменьшить. Критический путь – это путь с максимальным весом.

Задача 1. Для заданной матрицы смежности изобразить сетевой ориентированный граф, построить матрицу инцидентности, определить полный и критический пути. Веса ребер x12 = 3, x13 = 7, x14 = 4,  
x23 = 4, x32 = 5, x34 = 2.

Решение.

Изобразим сетевой ориентированный граф по заданной матрице смежности (рис. 1.1)

Построим матрицу инцидентности

Определим полный путь:

1 → 2 → 3 → 4, вес равен 9.

Определим критический путь – путь с наибольшим весом:

1 → 3 → 2, его вес 12. 
Раздел 2. Задача линейного программирования

Основы линейного программирования

Для многих практических задач показатель эффективности процесса, системы определяется в виде линейной функции от многих переменных.

W=C1x1+C2x2+…+Cnxn ,                  {2.1}

где W – показатель эффективности;

 – постоянные коэффициенты;

 –  отдельные частные  показатели, ресурсы или технические                                                              характеристики, от которых зависит  W.

В реальных условиях переменные имеют определенные условия-ограничения (либо сверху, либо снизу, либо и то и другое). Такие же ограничения (такого же вида) имеют и функции этих переменных. Поэтому выражение для W сопровождаются линейными ограничениями вида

------------------------------------            {2.2}

                        {2.3}

При таких условиях задача организации эффективного процесса производства формулируется следующим образом:

            {2.4}

            {2.5}

содержательная формулировка задачи следующая: определить такую совокупность переменных , для которых выполнялись бы ограничения {2.5}, а целевая функция {4} принимала бы экстремальное значение.

Такая задача получила название задачи линейного программирования (ЗЛП).

Примеры постановки ЗЛП.

1. Задача о пищевом рационе

2. Задача о переработке нефти

3. Задача о перевозках

4. Задача распределения ресурсов

Основная задача ЛП (ОЗЛП)

ЗЛП с ограничениями-равенствами называется ОЗЛП. ОЗЛП ставится следующим образом. Имеется ряд переменных x1, x2, …, xn. Требуется определить такие неотрицательные значения этих переменных , которые бы удовлетворяли системе линейных уравнений:

  {2.6}

и, кроме того, обращали бы в минимум линейную функцию

W=C1x1+C2x2+Cnxn®min     {2.7},

то есть   

при   {2.8}     

или     {2.9}

если maxW, то W’ = –W= –C1x1–C2x2

 

Задача ЛП с ограничениями - неравенствами

Если ЗЛП сформулирована выражениями {2.6},{2.7}, то порядок ее решения сводится к следующему:

a) приравнивая k=n-m переменных  задачи определяем опорное решение  в вершине ОДР (определяется совокупность  значений всех базисных переменных);

б) перебирая все возможные вершины ОДР и определяя каждый раз значение W, находят такую совокупность базисных переменных в некоторой вершине, при которой W ®min. Однако на практике ограничения в ЗЛП задаются часто не уравнениями, а неравенствами. Чтобы воспользоваться правилами и решениями задачи (а и б), необходимо  ограничения-неравенства привести к ограничениям-равенствам.

Пусть имеется ЗЛП с n неизвестными x1, х2,..., хn в которой ограничения заданы в виде линейных неравенств.

A11x1+a12x2+…+a1nxn+b1³0

…………………………….    {2.10}

am1x1+am2x2+…+amnxn+bm³0

Все неравенства линейно независимы.

Требуется найти такую совокупность неотрицательных переменных , которая удовлетворяла бы {2.10} и, кроме того, обращала бы в минимум линейную функцию

W=C1x1+C2x2+…+Cnxn  {2.11}

Заменим систему неравенств {2.11} на системой неравенств {2.12}

{2.12} 

а линейную функцию {3.1} выражением {2.13}

W=C1x1+C2x2+…+Cnxn+0y1+0y2+…+0ym  {2.13}, где –  некоторые новые (дополнительные) переменные yi³0. Поэтому любая совокупность неотрицательных переменных x1, x2, …, xn³0, удовлетворяющая совместно с системе {2.12}, будет удовлетворять и системе {2.10}.

Теперь {2.12, 2.13} можно рассматривать как типичную ЗЛП с ограничениями-равенствами, если принять в качестве базисных переменных , а в качестве свободных .

Хотя общее количество переменных увеличилось l=m+n, но зато такую задачу можно решать как ОЗЛП.

 

Геометрическая интерпретация ОЗЛП

Рассмотрим случай, когда в ОЗЛП число переменных на 2 больше числа уравнений-ограничений, то есть k=n-m=2. В этом случае можно выбрать две переменные задачи в качестве свободных (например, x1 иx2), а остальные m переменных сделать базисными, и выразить их через свободные. Тогда система {2.6} примет вид:

  {2.14} m-уравнений

Так как значения свободных переменных могут быть произвольными (в положительной области определения, так как все xj³0, ), то их геометрическим местом являются квадранты x10x2. 

Это обстоятельство отмечается штриховкой, направленной в область положительных значений.

 

По условию ОЗЛП все xj³0, . Значит, x3=a31a1+a32x2+a3³0. Крайнее левое значение x3=0. В системе координат x10x2 уравнение x3= 0 =a31a1+a32x2+a3=0 есть уравнение прямой. Линия x3=0 делит плоскость x10x3 на две полуплоскости, в одной из которых x3>0 , в другой x3<0.

Обозначим сторону, где x3>0 штриховкой (это зависит от знаков a31, a32, a3). Аналогично можно нанести все n-2 линии , соответствующие x3, x4, ..., xn.

 

При этом на плоскости x10x2 эти штрихованные линии образуют некоторую область, которая может принадлежать всем m=n-2 положительным плоскостям (штриховка внутрь области), а может и не принадлежать. В последнем случае говорят, что ЗЛП не имеет ОДР.

Пример:

Любая точка, принадлежащая ОДР, является допустимым решением ОЗЛП, так как любая точка удовлетворяет ограничениям и ³0.

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении из числа допустимых оптимального решения. Для рассматриваемого случая k = n – m = 2 (m = n – 2).

W=C1x1+C2x2+...+Cnxn{2.15}

Подставим в {2.15} значения x3, x4, ..., xnиз {2.14} и выразим W=W(x1,x2).

W=g0+g1x1+g2x2  {2.16}

Функция W достигает минимума при тех значениях переменных x1 иx2, что и W'=W–g0, так как g0не зависит от x1 иx2.

Пусть или   {2.17}

Построим прямую х2 на плоскости x10x2.

При изменении значения на при заданных g1 и g2 прямая x2 будет перемещаться параллельно самой себе ( > >0)  при W’=0 прямая проходит через начало координат.

Нетрудно выяснить то направление движения прямой, при котором W’ (а, следовательно, и W) стремится к минимуму.

т. А – оптимальное решение.

 

Нет оптимального решения (ОДР не имеет границы снизу (сверху)).

Решение достигается в одной из вершин ОДР. Решение, лежащее в основе одной (любой) из вершин ОДР называется опорным (опорным планом), а сама вершина - опорной точкой. Вершина образуется путем приравнивания нулю стольких переменных, сколько свободных.

 

 

 

 

 

Задача 2.1.

Для выпуска двух видов продукции, используются три вида ресурсов. Известна матрица норм расхода  , цены Q = (2, 1, 3) на ресурсы, цены реализации Р = (14, 10) продукции и запасы ресурсов. Планируется произвести Х  единиц продукции. Составить целевые функции выручки и прибыли и найти их максимум.

Решение

Стоимость необходимых ресурсов

Предполагаемая выручка

Функция прибыли

Таким образом, получим следующую задачу

1. Графический способ (рис. 2.1)

Построим соответствующие данным ограничениям-неравенствам прямые

Так как , областью допустимых решений является четырехугольник ОАВС

Построим для задачи

Перпендикулярно этим векторам проведем опорные прямые и .

Параллельным перемещением этих прямых найдем точку В, в которой целевая функции РХ  достигает максимума и точку А (0; 9), в которой W максимальна.

Решая совместно уравнения граничных прямых АВ и ВС

находим координаты точки В:

Таким образом,

2. Аналитический способ

Имеем координаты вершин многоугольника

О (0;0), А (0;9), В(2,4; 7,8), С(5;0)

Вычислим значения функций в этих точках

	О	А	В	С
РХ	0	90	111,6	70
W	0	27	23,4	0

 

 

Ответ:maxРХ = 111,6; maxW=27.

 

Задача 2.2. Определить объемы инвестиций в различные виды ценных бумаг при заданных ограничениях с целью снижения издержек.

1. Графический метод  (рис. 2.2)

Построим прямые, соответствующие ограничениям-неравенствам (1) – (3)

и полуплоскости, которые определяют неравенства.

Так как , областью допустимых решений является четырехугольник АВСD.

Построим для целевой функции вектор

Перпендикулярно этому вектору проведем опорную прямую .

Параллельным перемещением этой прямой в направлении, противоположном вектору , найдем точку В, в которой целевая функции F  достигает минимума.

Решая совместно уравнения граничных прямых АВ и ВС

находим координаты точки В:

Таким образом,  
Раздел 3. Теория вероятностей и элементы математической статистики

Случайные события. Основные понятия теории вероятностей.

Любое событие в теории вероятностей можно рассматривать как результат определенного комплекса условий, называемого испытанием.

Случайным событием называется явление, которое может произойти или не произойти в результате испытания.

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.

Невозможным называется событие, которое никогда не появится в результате испытания.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление всех остальных.

События называются равновозможными, если нет никаких оснований предполагать, что одно из них более возможно, чем другое.

Противоположным событию А называется событие , состоящее в непоявлении А.

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие А·В, состоящее в наступлении каждого из этих событий.

Классическое определение вероятности

Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом.

Элементарные исходы, в которых интересующее событие наступает, называются исходами, благоприятствующими этому событию.

Вероятностью событияА называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех исходов данного испытания: .

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность случайного события заключена между 0 и 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей: 

Вероятность противоположного к А события равна единице минус вероятность события А: 

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие А. Вероятность события А постоянна и равна p, а вероятность несвершения события А: p = q. Тогда - вероятность наступления событияА в n испытаниях ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Задача 3.1. Банк имеет N= 6 отделений. С вероятностью Р= 0,15 независимо от других каждое отделение может заказать на завтра крупную сумму денег. Какова вероятность того, что будет    а) ровно две заявки; б) хотя бы одна.

Решение

а) Здесь n=6, k=2, p=0,15, q=1-0,15=0,85

По формуле Бернулли имеем

б) Событие  А - «поступила хотя бы одна заявка» противоположно событию «нет заявок», поэтому искомая вероятность

Ответ:   а) 0,176;               б) 0,623

Случайные величины и их характеристики.

Переменная величина, значения которой определяются исходом некоторого опыта, называется случайной величиной.

Различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой заполняют весь промежуток, в котором она рассматривается.

Дискретной (прерывной) величиной Х называется случайная величина, которая принимает отдельные изолированные значения    с соответствующими им вероятностями     . Это соотношение, называемое законом распределения случайной величины, может быть задано в виде таблицы, графика, формулы.

Числовые характеристики

Математическое ожидание характеризует центр распределения случайной величины и считается по формуле

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – параметры, определяющие рассеяние случайной величины относительно :

;

.

 

Задача 3.2.  За каждый  процент перевыполнения плана полагается премия 50 рублей, а за каждый процент недовыполнения заработок уменьшается на 30 рублей, но не более чем на 100 рублей. Найти ожидаемый размер премии, если прогноз выполнения плана:

96	97	98	99	100	101	102	103	104	110
0,01	0,07	0,14	0,12	0,16	0,14	0,17	0,10	0,05	0,04

 

Решение

Размер премии  y есть функция от % выполнения плана.

Рассчитаем размер премии для каждого случая и составим закон распределения функции премии y

yi	-100	-90	-60	-30	0	50	100	150	200	500
pi	0,01	0,07	0,14	0,12	0,16	0,14	0,17	0,10	0,05	0,04

 

 

Размер ожидаемой премии есть математическое ожидание функции y:

Ответ:  ожидаемая премия  49,7 руб.

 

 

Раздел 4. Модель межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс в экономике - это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей, производящих определенные товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определенные ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Полагаем, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление).

Введем следующие обозначения:

хi -  общий объем продукции i-й отрасли (ее валовый выпуск), i=1,2,...,n;

хij–объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции хj;

yi–объем продукции i-ой отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.

- коэффициенты прямых затрат (для производства продукции j-й отрасли объемом хj  нужно использовать продукцию i-йотрасли объемом aijxj)

Балансовый принцип вязи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-ой отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах.

В принятых обозначениях балансовые соотношения имеют вид:

   (4.1)

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

(4.2)

Тогда система уравнений (4.1) в матричной форме имеет вид

Это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления  .

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времениТ известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (4.3) с известной матрицей А и заданным вектором .

Между тем система (4.3) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладного характера данной задачи; прежде всего – все элементы матрицы А и векторов   и должны быть неотрицательными.

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (4.3) – вектор ,все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Перепишем систему (4.3) с использованием единичной матрицы Е в виде

Если существует обратная матрица (Е – А)-1, то существует и единственное решение уравнения (4.3)

Матрица (Е – А)-1 называется матрицей полных затрат.

 

Задача 4. Установить вид модели межотраслевого баланса продукции выпускаемой в объемах х1, х2, х3 с заданной матрицей коэффициентов прямых затрат и конечным продуктом, заданным вектором . По виду матрицы А составить матрицу полных затрат В.

Решение.

Пусть – объем выпускаемой продукции, тогда

X = AX + C – уравнение межотраслевого баланса, соответствующее модели Леонтьева.

 

Коэффициенты полных затрат найдем с помощью матрицы , где Е – единичная матрица, А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Определитель равен

тогда матрица полных затрат равна

, где  - матрица, обратная матрице .

Найдем .

Алгебраические дополнения:

Следовательно,  матрица полных затрат

 

 

 

Объем валовой продукции отраслей найдем по формуле X= ВС:

 

 

 

 

 

 

Раздел 5. Производственные функции

Производственная функция отражает функциональную связь между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом и организационном знании.

Производственная функция имеет в общем следующее выражение:

где:

K – число производственного капитала

L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к увеличению выпуска – первая производная положительна. Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается с увеличением величины данного фактора – вторая производная отрицательна.

В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:

Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как

,

и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска наb процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.

В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства a и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):

.

Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли  выражается через dy/dK:

,

и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a.

 

Задача 5.1. Для заданной мультипликативной производственной функции Y = 32∙L0,5∙K0,5, K = 25, L = 100, найти предельный продукт труда, предельный продукт капитала, коэффициенты эластичности по труду и капиталу.

 

Решение.

Коэффициент эластичности по труду a = 0,5.

Коэффициент эластичности по капиталу b  = 0,5.

Предельный продукт труда

Предельный продукт капитала

 

Спрос – платежеспособная потребность покупателей в данном товаре при данной цене. Спрос характеризуется ценой спроса – количеством товара, которое покупатели готовы приобрести по данной цене.

Предложение – способность и желание продавцов предложить определенное количество товара по данной цене. Характеризуется, в первую очередь, величиной предложения.

Точка равновесия – точка пересечения кривой спроса и кривой предложения на графике спроса и предложения. Точка пересечения соответствует состоянию равновесия, ее координаты – равновесной цене, равновесному количеству.

Равновесная цена – цена, для которой величина спроса и величина предложения равны.

Задача 5.2. Для заданных функций спроса  и предложения  определить равновесную цену p спроса-предложения на товар.

Решение.

Равновесная цена находится из условия g=s, тогда , откуда p=1, т.е. равновесная цена 1ден.ед.

График изображен на рис. 5.1.

 

Функция полезности U (x, y) выражает меру полезности (для потребителя) набора (x, y), где х – количество товара Х, а y – количество товара Y.

Чувствительность набора (х, у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью х и определяется как частная производная . Аналогично предельная полезность у определяется как

Кривые безразличия задаются уравнениями U(x, y) = C, где C - любая const. Таким образом, кривая безразличия математически представляется как линия уровня функции полезности, т.е. . Для любой функции полезности существует бесконечное множество кривых безразличия (для разных const).

Предельная норма замещения х на у в точке А(х0, у0) равна отношению их предельных полезностей: