Математические методы в машиностроении

 

 

 

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт промышленных технологий и инжиниринга

Кафедра станков и инструментов

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу Математические методы и модели в управлении качеством

на тему Математические методы в машиностроении

 

 

 

Выполнил: ст. гр. УКб-11-1

Мельников А.А.

Проверил: Минухова М.В.

 

 

 

 

 

 

Тюм

ень, 2014 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Машиностроительное производство – это комплекс сложных взаимосвязанных процессов, предназначенных для обеспечения жизненного цикла продукта.

Каждый этап машиностроительного производства подвержен влиянию большому количеству факторов, влияющих на характер процессов и соответственно зависимостей их описывающих.

Для исследования и учета этих факторов используются теоретические исследования. Они базируются на использовании математических и логических методов.

Теоретико-экспериментальные исследования предусматривают последующую экспериментальную проверку результатов теоретических исследований на натурных объектах, образцах и моделях. Под методом исследований понимается совокупность правил и норм, регламентирующих и регулирующих деятельность исследователей.

Один из наиболее известных и часто применяемый в настоящее время метод – метод абстракции. Этот метод применяется тогда, когда требуется открыть закон или какую-нибудь зависимость в «чистом» виде, отбрасывая в определённом плане несущественные подробности.

Метод формализации заключается в том, что исследуемые процесс, явление, объект (его свойства, признаки) выражаются математическими терминами и формулами. Строится так называемая математическая модель, т.е. математическое уравнение или система уравнений, решая которые можно анализировать определение свойства объекта (явления, процесса).

Метод моделирования, о котором уже упоминалось, является широко применяемым. Сущность метода заключается в том, что изучение объекта производится с помощью математического аппарата, воспроизводящего его поведение с последующим переносом результатов исследований с модели на оригинал.

Результатами теоретических исследований является установление новых зависимостей, связей, свойств и закономерностей, происходящих явлений. Благодаря этому можно оптимизировать процессы производства и тем самым повысить общую эффективность производства.

Целью данной курсовой работы является исследование математических методов используемых в машиностроении.

Задачами данной работы являются изучение и применение:

• Закономерностей изменения технического состояния по наработке автомобилей,
• Закономерностей случайных процессов изменения технического состояния и
• Закономерностей процессов восстановления;
• Оптимизации математического моделирования;
• Корреляционного и регрессивного анализа;
• Дискретных форм зависимостей
• Системы массового облуживания

В них будет рассмотрена как теоретическая составляющая так и их практическое применение на производстве.

 

 

 

1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ  ИЗМЕНЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ  АВТОМОБИЛЕЙ

 

 

1.1 Закономерности изменения технического состояния по наработке автомобилей

 

У значительной части автомобилей процесс изменения технического состояния в зависимости от времени или пробега носит плавный, монотонный характер, приводящий в итоге к возникновению постепенных отказов. При этом характер зависимости может быть различным. Проведенные исследования и накопленный опыт показывают, что в случае постепенных отказов изменение параметра технического состояния конкретного изделия или среднего значения для группы изделий аналитически достаточно хорошо может быть описано двумя видами функций:

- целой рациональной  функцией n-го порядка:

 

                                               (1)

 

где а0 - начальное значение параметра технического состояния; l - наработка, т.е. пробег или время работы изделия; а1, а2…аn - коэффициенты, определяющие характер и степень зависимости y от l;

- степенной функцией:

 

 

 (2)

где a1 и b – коэффициенты, определяющие интенсивность и характер изменения параметра технического состояния.

В практических вычислениях по формуле (1), как правило, достаточно использовать члены до четвертого порядка.

Таким образом, зная функцию y = f(l) и предельное значение yn параметра технического состояния, можно определить из уравнения l = φ(y) ресурс изделия. Достаточно часто закономерности изменения параметров (например, зазора между накладками и тормозными барабанами, свободного хода педали сцепления и др.) описываются линейными уравнениями вида:

 

 ,                                                                                           (3)

 

где а1 - интенсивность изменения параметра технического состояния. Закономерности первого вида характеризуют тенденцию изменения параметров технического состояния автомобиля, а также позволяют достаточно определить наработки до момента достижения предельного или любого заданного состояния.

 

1.2 Закономерности случайных процессов изменения технического состояния автомобилей

 

1.2.1 Характеристики случайных величин в ТЭА

 

Под влиянием условий эксплуатации, квалификации персонала, неоднородности самих изделий и их начального состояния и других факторов интенсивность и характер изменения параметра технического состояния у разных изделий будут различными. В связи с этим возникает вопрос, как установить момент контроля и обслуживания изделий?

 

Решение этого вопроса во многом зависит от вариаций случайной величины. Характеристиками случайной величины x при n реализациях служат:

• среднее значение;
• среднеквадратическое отклонение;
• дисперсия;
• коэффициент вариации.

В ТЭА различают случайные величины с:

• малой вариацией (v ≤ 0,1);
• средней вариацией (0,1 < v ≤ 0,33);
• большой вариацией (v > 0,33).

Помимо приведенных, важнейшей характеристикой случайной величины служит "вероятность" – численная мера степени объективно существующей возможности появления изучаемого события. Обычно вероятность обозначается буквой Р. Статистически вероятность события А представляет собой отношение числа случаев n (A), благоприятствующих этому событию, к общему числу случаев n.

Вероятность может принимать значения в интервале 0 ≤ Р ≤ 1.

События, для которых P = 1, называются достоверными, а события, для которых Р ≤ 0,05 – маловероятными.

Вероятность безотказной работы R (x) определяется отношением числа случаев безотказной работы изделия за наработку x к общему числу случаев, то есть:

 

                                                                              (4)

 

где m (x) – число отказавших изделий к моменту наработки x.

Важным показателем надежности является интенсивность отказов λ(x) – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого изделия, определяемая для данного момента времени при условии, что отказа до этого момента не было. Аналитически для получения λ(x) необходимо элементарную вероятность dm/dx отнести к числу элементов, не отказавших к моменту x, то есть:

 

                                                                                     (5)

 

Зная интенсивность отказов, можно для любого момента времени или пробега определить вероятность безотказной работы.

Вероятность отказа является событием, противоположным вероятности безотказной работы, поэтому

 

                                                                         (6)

 

Имея значения F (x) или R (x), можно решать практические инженерные задачи. Если Xγ – это заданная наработка агрегата или детали, а x i – наработка до отказа, то вероятность события P(xi > Xγ) = γ означает, что с вероятностью P = γ изделие проработает без отказа больше заданной наработки Xγ. Эта наработка называется гамма-процентной наработкой (ресурсом) до отказа.

Обычно γ принимается равной 0,8; 0,85; 0,9; 0,95.

Следующей характеристикой случайной величины является плотность ее вероятности (например, вероятности отказа). f(x) – функция, характеризующая вероятность отказа за малую единицу времени при работе автомобиля без замены.

Если вероятность отказа за наработку x равна

 

                                                                                       (7)

 

то дифференцируя это выражение при n = const, получим плотность вероятности отказа:

 

                                                                                             (8)

 

где – элементарная «скорость», с которой в любой момент времени происходит приращение числа отказов при работе детали, агрегата без замены.

Так как f (x) = F(x), то

 

                                                                                 (9)

 

Поэтому F(x) называют интегральной функцией распределения, а f(x) – дифференциальной функцией распределения.

Имея значения F (x) или f(x), можно произвести оценку надежности и определить среднюю наработку до отказа.

Дифференциальная функция распределения f (x) называется также законом распределения случайной величины. Знание законов распределения случайных величин позволяет более точно планировать моменты проведения и трудоемкость работ ТО и ремонта, определять необходимое количество запасных частей и решать другие технологические и организационные вопросы. Для ТЭА наиболее характерны следующие законы распределения.

 

1.2.2 Нормальный закон распределения

 

Этот закон имеет место, когда на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число независимых (или слабозависимых) элементарных факторов (слагаемых), каждое из которых в отдельности оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным влиянием всех остальных.

Функция нормального закону записывается в виде:

 

                                                                              (10)

 

Для нормального закона при расчетах часто пользуются понятием нормированной функции Ф(z), для которой принимается новая случайная величина при , так называемое нормированное отклонение. Тогда:

 

                                  (11)

 

Для нормированной функции составляются специальные таблицы, облегчающие расчеты. Вероятность отказа в интервале пробега (х1 – х2) определяется разностью Р(х2) – Р(х1) = Ф(z2) – Ф(z1). Для нормального закона v ≤ 0,33.

 

1.2.3 Закон распределения Вейбулла – Гнеденко

 

Этот закон характерен для моделей с так называемым «слабым звеном». Если система состоит из группы независимых элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы, то в такой модели рассматривается распределение времени (или пробега) достижения предельного состояния системы как распределение соответствующих минимальных значений xi отдельных элементов: хс = min (x1; x2; … xn).

Функция распределения этой величины может быть выражена следующей зависимостью:

 

                                                                 (12)

 

где a и b – параметры распределения.

Примером использования распределения Вейбулла – Гнеденко является распределение ресурса или интенсивности изменения параметра технического состояния автомобиля, которые состоят из нескольких элементов, составляющих цепь[3].

Например, ресурс подшипника качения ограничивается одним из элементов (шарик или ролик, конкретный участок сепаратора и т. д.) и описывается указанным распределением.

Для этого закона в практических задачах ТЭА коэффициент вариации v = 0,4…0,6.

 

1.2.4 Логарифмически-нормальный закон распределения

 

Если на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число случайных и взаимонезависимых факторов, интенсивность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния, то возникают условия для логарифмически нормального закона. Эта так называемая модель пропорционального эффекта рассматривает некоторую случайную величину, имеющую начальное состояние x0 и конечное, предельное состояние xn.

Изменение случайной величины происходит таким образом, что

 

                                                                               (13)

 

где εi – интенсивность изменения случайных величин; h(xi-1) – функция реакции, показывающая характер изменения случайной величины.

При h(xi -1) = xi-1 имеем:

 

     (14)

 

 

Таким образом, предельное состояние:

 

                                                                            (15)

 

а его логарифм:

 

                                                                  (16)

 

Согласно центральной предельной теореме ln xn, имеем асимптотически нормальное распределение, как сумма ряда случайных равновеликих и взаимонезависимых величин, а сама величина xn распределена по логарифмически нормальному закону.

В ТЭА этот закон (при v = 0,3…0,5) характерен для описании процессов усталостных разрушений, коррозии, наработки до ослабления крепежных соединений и в ряде других случаев.

 

1.2.5 Экспоненциальный закон распределения

 

Предположим, что в начальный момент x0 = 0 элементы численностью N0 были исправны. При работе происходят отказы этих элементов таким образом, что независимо от проработанного времени x число отказов (ΔN) в небольшом интервале времени x пропорционально числу оставшихся исправных элементов Nx, а непосредственно перед отказом элемент находится в исправном состоянии, то есть:

 

,                                                                                             (17)

 

где λ – положительная постоянная, а знак минус свидетельствует о сокращении Nx при работе.

 

При , имеем

 

                                                                                            (18)

 

                                                                                             (19)

 

После интегрирования , откуда 

 

                                                                          (20)

 

При x0 = 0, C = N0, откуда

 

                                                                          (21)

 

Но , тогда вероятность безотказной работы

 

                                                                               (22)

 

Данное уравнение характеризует вероятность безотказной работы при экспоненциальном законе распределения ресурса до отказа, а λ – параметр потока отказов (называемый также для экспоненциального распределения интенсивностью отказов), равный обратной величине средней наработки на отказ, т.е. .

Плотность распределения для экспоненциального закона описывается уравнением : 

 

,                                                                              (23) 

 

При этом законе распределения коэффициент вариации v = 1.

Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим (λ), что облегчает расчеты и объясняет широкое его применение на практике. При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько проработало изделие с начала эксплуатации, а определяется конкретной продолжительностью рассматриваемого периода или пробега x, называемого временем выполнения задания.

 

1.3 Закономерности процессов восстановления

 

Выше были рассмотрены два вида закономерностей: изменение параметров технического состояния автомобилей по времени или пробегу и вариации параметров технического состояния.

Эти закономерности достаточно точно характеризуют надежность автомобилей, т. е. позволяют оценить среднюю наработку на отказ, вероятность отказа автомобиля при определенном пробеге, ресурс его агрегатов и др.

Для рациональной организации производства необходимо, кроме того, знать:

• сколько автомобилей с отказами данного вида будет поступать в зону ремонта в течение смены (недели, месяца);
• будет ли их количество постоянным или переменным;
• от каких факторов это количество зависит.

 

Взаимосвязи между показателями надежности автомобилей и суммарным потоком отказов для группы автомобилей изучают с помощью закономерностей третьего вида, которые характеризуют процесс восстановления – возникновения, и устранения неисправностей изделий во времени[2].

К важнейшим характеристикам закономерностей третьего вида относятся средняя наработка до k-го отказа, средняя наработка между отказами для автомобилей, коэффициент полноты восстановления ресурса, ведущая функция потока отказов Ω (x) и параметр потока отказов ω(x).

Средняя наработка до k-го отказа определяется по формуле:

 

                      (24)

 

где – средняя наработка до первого отказа; – средняя наработка между первым и вторым отказом; – средняя наработка между вторым и третьим и т.д.

Средняя наработка между отказами для n автомобилей получается из:

- между первым и вторым отказами

 

;                                                                                          (25)

 

Между (k – 1) – м и k – м отказами

 

;                                                                                        (26)

 

Коэффициент полноты восстановления ресурса характеризует возможность сокращения ресурса после ремонта, т.е. качество произведенного ремонта[2].

 

После первого ремонта (между первым и вторым отказами) этот коэффициент:

 

,                                                                                                  (27)

 

после k -го отказа:

 

.                                                                                              (28)

 

При этом 0 ≤ η ≤1.

Сокращение ресурса после первого и последующих ремонтов, которое необходимо учитывать при планировании и организации работ по обеспечению работоспособности, объясняется: частичной заменой только отказавших деталей при значительном сокращении надежности других, особенно сопряженных, использованием в ряде случаев запасных частей и материалов худшего качества, чем при изготовлении автомобиля, низким технологическим уровнем работ.

Ведущая функция потока отказов (функция восстановления) Ω(x) определяет накопленное количество первых и последующих отказов изделия к наработке х.

Поэтому, если вероятное количество отказов, например, к пробегу х1 определяется как Ω(x) = F1(x1), так как при х < х1 возникают только первые отказы, то для момента x2 общее количество отказов определяется суммированием вероятностей первого F1 (x2) и второго F2(x2) отказов. Поэтому Ω(x2) = F1(x2) + F2(x2), а в общем виде

 

                                                                                (29)

 

Параметр потока отказов ω(x) – это плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого изделия, определяемая для данного момента времени или пробега:  

 

,                                                                 (30) 

 

где – плотность вероятности возникновения k-го отказа.

Иными словами, ω(x) – это относительное число отказов, приходящееся на единицу времени или пробега одного изделия. Причем при оценке надежности изделия число отказов, обычно относят к пробегу, а при оценке потока отказов, поступающих для устранения, – ко времени работы соответствующих производственных подразделений.

В общем случае параметр потока отказов непостоянен во времени, то есть . Наблюдаются три основных случая поведения параметра по наработке (времени).

Первый случай – полное восстановление ресурса после каждого отказа, то есть:

 

.                                 (31)

 

При этом происходит стабилизация параметра потока отказов на уровне

 

.                                                                                                  (32)

 

Второй случай – неполное, но постоянное восстановление ресурса после первого отказа, т. е. 1 > η1= const. Для этого случая также характерна стабилизация параметра потока отказов, но на более высоком уровне:

 

 

                                                                                  (33)

 

Третий случай – последовательное снижение полноты восстановления ресурса, то есть:             .

 

.                                                      (34)

 

В этом случае и параметр потока отказов непрерывно увеличивается, что приводит к постоянному повышению нагрузки на ремонтные подразделения предприятия[1].

 

2 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

 

 

2.1 Общая методика планирования многофакторного анализа

 

• основе математического моделирования и планирования всегда должна находиться необходимая экспериментальная база. Экспериментальная база – это совокупность наблюдений, эмпирических данных полученных в практической деятельности и имеющая непосредственное отношение к исследуемому процессу или явлению.

Математическое планирование (МП) эксперимента позволяет изучать сложные явления и процессы при значительном количестве факторов в ограниченные строки по результатам ограниченного количества опытов.

При МП эксперимента необходимо сначала выбрать математическую модель (ММ) исследуемого процесса или объекта. Выбрать ММ это значит выбрать вид функции, связывающий параметр оптимизации с факторами. Общий принцип выбора ММ: переход от простого к сложному, то есть выбор сначала простейшей зависимости и проверка обеспечиваемой точности. При недостаточной точности – усложнение модели и опять проверка. Необходимо повторять эту процедуру до тех пор, пока модель не станет адекватна исследуемому процессу. В качестве ММ модели используют полиномы первой, второй и более высокой степеней, уравнения показательного типа. Во всех случаях, когда это возможно, желательно использовать полиномы первой степени, так как чем меньше степень полинома, тем меньше в модели членов и, следовательно, меньше количество необходимых опытов.

 

 

 

 

Вид ММ и количество членов в ней, кроме степени полинома и числа факторов зависит от наличия или отсутствия влияния на параметр оптимизации эффекта взаимодействия факторов. При наличии такого взаимодействия количество членов в полиноме увеличивается. Наличие взаимодействия факторов не противоречит их независимости.

Главное требование к ММ – ММ не должна предсказывать с требуемой точностью направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации.

Представим наиболее распространенные виды ММ.

1. Для случая двух факторов:
• полином первой степени:

 

 y = b0+b1x1+b2x2;                                                                          (35)

 

• полином второй степени:

 

;                     (36)

 

• полином третьей степени:

 

 

                                     (37)

 

• неполная квадратная модель (без членов, содержащих квадрат

факторов):

 

;                                                     (38)

 

 

 

2. Для случая трёх факторов:

- неполная кубическая  модель (без членов, содержащих кубы  факторов)

 

 

;                                                    (39)

 

В случае отсутствия эффекта взаимодействия между факторами ММ упрощаются, так как в них исключаются члены: b12x1x2, b13x1x3, b23x2x3, b123x1x2x3. Указанные виды уравнений, связывающие параметр «y» с факторами х1, х2, х3, - называются уравнениями регрессии. В этих уравнениях: