Методика работы над составной задачей
Содержание
Введение
Глава I. Теоретические основы методики обучения решению составной задачи
1.1.Задача, её
элементы. Виды задач. Способы
решения задачи
1.2. Основные этапы решения задач
1.3. Ознакомление с составной задачей и формирование умений решать составные задачи
Глава II. Методика работы над составной задачей
2.1. Задачи на нахождение четвертого пропорционального
2.2. Задачи на пропорциональное деление
2.3. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям
2.4. Задачи на движение
2.5. Моделирование в процессе обучения решению составных задач
Заключение
Литература
В курсе математики начальных классов текстовые задачи выступают, с одной стороны, как объект изучения, усвоения, формирования определенных умений, с другой стороны, текстовые задачи являются одним из средств формирования математических понятий. Задачи выполняют функцию связующего звена между теорией и практикой обучения, способствуют развитию мышления учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.
Решение задач имеет чрезвычайно важное значение, прежде всего для формирования у детей полноценных знаний, определяемых программой, также формирует практические умения и вычислительные навыки, необходимые человеку в повседневной жизни.
Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в составную задачу; составить план решения; выполнить проверку полученного результата. Необоснованно много внимания и не оправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и решения задачи. При этом основное внимание направлено на реализацию единственной цели - получение ответа на вопрос задачи. Так же в курсе математики в начальной школе масса времени посвящается вычислению уже по готовым математическим моделям, то есть по знакомому описанию, какого либо явления с помощью математической символики. Все это отрицательно сказывается на формировании общих умений решать задачу, и не оказывают необходимое влияние на развитие мышления учащихся.
Проблема обучения составным задачам в начальных классах рассматривалась в трудах таких ученых и методистов, как М.А. Бантова, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой. Большое внимание составным задачам (особенно задачам, решаемых арифметическим методом) уделяли советские педагоги-математики, и методисты Е.С. Березанская, А.С. Пчелко, Я.С. Чекмарев и др.
В связи с темой нашей работы можно выделить цель: более подробно рассмотреть, методику работы над составными задачами, которые решаются в начальных классах школы, в чем заключается специфика этого вида учебных упражнений по сравнению со всеми другими видами математических упражнений.
Исходя из цели, можно выделить следующие задачи:
- изучить психолого-
-рассмотреть особенности методики работы над составными задачами на уроках математики в начальной школе;
-проанализировать учебники и программы с точки зрения методических подходов разных авторов;
-выяснить какую роль играют составные задачи в процессе обучения младших школьников математике.
Объектом исследования является процесс обучения математике в начальных классах.
Предметом исследования являются методы обучения младших школьников решению составных задач.
Глава I. Теоретические основы методики обучения решению составной задачи
1.1.Задача, её элементы. Виды задач. Способы решения задачи
Ожегов С.И. в своем словаре дал следующее толкование «задачи»:
1 - то, что требует исполнения, разъяснения;
2 - упражнение, которое
выполняется, решается
В учебнике Моро М.И. дано такое определение:
«Задача – это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий.»[10;с.111]. Они имеют житейское, физическое содержание, а также текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.
Из самого определения задачи вытекает, что в ней обязательно должен быть заключен какой-то вопрос. Без вопроса задачи нет. Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен в результате арифметических действий, очевидно, в ней должно заключаться требование узнать то или иное число (или числа) – искомое и, кроме того, в задаче должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми может быть найдено искомое. Поэтому обязательными элементами всякой арифметической задачи являются неизвестное (искомое) число (или несколько чисел) и данныечисла. [10;с.111.]
Основная особенность сюжетных текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено над данными числами для получения искомого. Текст задачи должен, поэтому содержать какие-то косвенные указания на ту связь, которая существует между данными числами и искомыми и которая определяет выбор нужных арифметических действий и их последовательности. Это условие задачи. Условие, которое призвано раскрыть связь между данными и искомым, естественно, включает числовые данные задачи.
Итак, элементы задачи – условие и вопрос. Числовые данные представляют собой элементы условия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых случаях задача формулируется так, что вопрос может включить в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса. [4,с. 159.]
Остановимся на вопросе классификации задач.
Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (условия) к конечному (заключению) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (базис решения) и решение (преобразование условия задачи для нахождения, требуемого заключением искомого).
Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математическойзадачей.
На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.
Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.
Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называетсяобучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три – проблемной.
В научной и методической литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.
Темербекова А.А. предлагает такую классификацию задач, учитывающую характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников: алгоритмические задачи; полуалгоритмические задачи; эвристические задачи.
Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.
Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необходимо найти периметр треугольника.
Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.
Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.
При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.[14;с. 76]
Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называетсясоставной.
Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении.
Для составных задач нет такого единого основания классификации, которое позволило бы с пользой для дела разделить на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего многообразия задач некоторые группы, либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением).
В начальных
классах рассматривается
Решение этих задач основывается на знании соответствующих связей между величинами; например, если известны цена товара, его количество, то можно найти стоимость, выполнив действия умножения. Следовательно, для успешной работы по решению задач этих видов надо предусмотреть в подготовительной работе знакомство с новыми величинами и раскрытие связей между ними.
В задачах на нахождение четвертого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым.
Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.
В последние годы помимо учебников М.И. Моро с соавторами появились учебники по математике для начальных классов других авторов, предусматривающие повышение уровня сложности текстовых задач. Так, например, в учебнике И.И. Аргинской и Л.Г. Петерсон встречаются задачи на нахождение неизвестного по их сумме и отношению, на исключение неизвестных при помощи вычитания и другие виды задач.
Способы решения задач
Решить задачу - это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).[15;с.420] Составную задачу, как и простую можно решить, используя различные способы. В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач. Начальный курс математики ставит своей основной целью научить решать младших школьников задачи арифметическим способом.
При помощи этого способа ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются отношения между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий. Решение текстовой задачи арифметическим способом - это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления решения уравнения. При решении любой задачи алгебраическим способом после анализа содержания задачи выбирается неизвестное, обозначается буквой, вводится в текст задачи, а затем на основе выделенных в содержании задачи зависимостей составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни несоответствующие условию задачи отбрасываются. Если буквой обозначено искомое, оставшиеся корни могут сразу дать ответ на вопрос задачи. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвязей его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой. Алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и, кроме того, обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.
Не следует путать такие
понятия, как: решение задач различными
способами; различные формы записи
арифметического способа
В начальном курсе обучения дети также знакомятся с графическим способом. Опираясь только на чертеж легко дать ответ на вопрос задачи. Иногда решение задачи графическим способом связано не только с построением отрезков, но и с измерением их длин. Графическая модель – наиболее удачная опора для построения мысленной модели задачи: с одной стороны, она достаточно конкретна, воспринимаема зрительно, с другой – полностью отражает внутренние связи и количественные соотношения в задаче. [8;200.]
В числе способов решения задач можно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического способа решения, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание, схема моделирует только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство). Тем не менее, моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить на вопрос задачи.
Также выделяют логический способ решения – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.
Решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. д.). Не всякая задача решается практически. В, частности, задачи на движение и на работу, в которых речь идет о больших - расстояниях или длительных временных интервалах, невозможно решить практически.
Иногда в ходе решения задачи применяются
несколько методов: алгебраический и арифметический;
арифметический и практический; и т. п.
в этом случае считают, что задача решаетсякомбинированным
(смешанным) методом. [15;650.]
Таким образом, задача - это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Она состоит из условия и вопроса. Существуют различные классификации задач: по характеру связей между элементами задачи, по количеству действий которые необходимо выполнить для решения задачи и др. В качестве основных способов решения составных задач в математике различают арифметические и алгебраические способы.
1.2. Этапы решения задачи
Процесс решения каждой арифметической задачи осуществляется поэтапно, независимо от способа решения.
Рассмотрим возможный план работы учащихся над задачей:
1.Анализ текста задачи;
2. Схематическая запись условия;
3. Поиск решения; составление плана решения;
4. Осуществления плана решения задачи;
5. Проверка полученного ответа.
Этот план может существенно меняться, если задача решается устно или составлена по иллюстрации.
1.Анализ текста задачи. Основн
На этом этапе решения задачи используют следующие приемы.
Прочитаем, например, такую задачу: По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч от идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за это время собака?
Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задатьспециальные вопросы по тексту и ответить на них.
1. О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)
2. Что требуется найти в задаче? (В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все это время.)
3. Что означают слова 'за все это время'? (В задаче говорится, что собака бегает между мальчиками 'с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'. Поэтому слова 'за все это время' означают 'за все то время с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'.)
4. Что в задаче
известно о движении каждого
из участников его? (В задаче
известно, что: 1) мальчики идут в
одном направлении; 2) до начала
движения расстояние между
5. Что дальше
известно? (В задаче неизвестно, в
течение, какого времени
6. Что является
искомым: число, значение
Большую помощь
в осмыслении содержания задачи и
создания основы для поиска решения
задачи оказывает переформулировка тек
2. Схематическая запись условия
Составление по условию задачи чертежа, схемы, рисунка и т. д., т.е. интерпретация условия задачи – не самоцель. Она выполняется (учителем, или учащимися под руководством учителя, или самими учащимися – в зависимости от их подготовки, от сложности задачи) только тогда, когда ученики не могут решить данную задачу. Рассмотрим несколько видов интерпретации условия.
К р а т к а я з а п и с ь у с л о в и я з а д а ч и. не существует какой- либо определенной формы краткой записи условия. Критерием эффективности краткой записи являются признаки: краткая запись наглядно представляет связи между величинами и соответствующими числовыми данными задачи; по ней ученик способен самостоятельно воспроизвести условие задачи[4;с. 163].
Учитель должен соблюдать разумную меру в использовании символов для краткой записи условия задачи (скобок, стрелок и т. д.). Такая символика - это язык, усвоение которого требует от учащихся затрат времени и сил, а возможности его весьма ограничены.
В краткой записи условия отсутствуют многие несущественные элементы, содержащиеся в тексте задачи. Поэтому ученику легче выявить ее математическое содержание.
В средних и старших классах навыки краткой записи условия задачи, приобретенные учащимися в начальной школе, используются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии.
Ч е р т е ж п о у с л о в и ю з а д а ч и . Многие задачи можно иллюстрировать чертежом. Он в большей степени, чем краткая запись условия, приближает учащихся к математическому содержанию модели. Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения значений величины, а так же при решении задач, связанных с движением. В последнем случае принято изображать отрезком расстояние, пройденное движущимся телом, стрелкой – направление движения, флажком или столбиком - " пункты" на пути, движущегося тела. При это надо соблюдать указанные в условии отношения: большее расстояние изображать большим отрезком. [1;с.178]
Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение схематически изображает соответствующую жизненную ситуацию.
Еще более наглядно содержание задачи можно представить иллюстрацией, в которой условие задачи интерпретируется с помощью разрезного наглядного материала, схематического или образного представления объектов, рассматриваемых в задаче. Она помогает создать яркое представление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче, что в дальнейшем послужит отправным моментом для выбора действия.
Навыки выполнения краткой записи условия задачи, чертежей по условию задачи, приобретенные учащимися в начальной школе, будут полезны им и при решении математических задач в средних и старших классах.
3. Поиск решения; составление плана решения.
Цель данного этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.
Решение задач – сложная интеллектуальная деятельность. Описать ее содержание в полном объеме невозможно, даже если иметь в виду деятельность, осуществляемую младшим школьником. [4;с.166.]
На этом этапе ученики должны выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа, установить связи между данными и искомым и на этой основе выбрать соответствующие арифметические действия.
По существу поиск решения задачи начинается уже при анализе текста задачи и не заканчивается даже тогда, когда ответ получен и проверен. Идея нового способа решения может прийти тогда, когда, казалось бы, получен исчерпывающий ответ на вопрос задачи.
Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является достаточно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, которые помогают осуществлять этот этап.
Одним из приемов поиска пути решения задачи является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь). [15;с.427].
Аналитический метод. Анализ – логический прием, состоящий в расчленении исследуемого объекта на составные элементы и исследовании каждого из них в отдельности. Он может использоваться многократно.
Разбор задачи от вопроса к данным - это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными. Для их нахождения подбираются два других, и так продолжается процесс подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин. В результате такого разбора учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, расчленяют ее на простые задачи и составляют план ее решения.
Синтетический метод. Синтез – логическая операция установления связи между составными частями исследуемого объекта и изучения его как единого целого. Исследуемый объект называется в требовании задачи, а его элементы описываются в условии. Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается следующий вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи.
Аналитико-синтетический метод. Значительно чаще, используется на практике, чем аналитический и синтетический методы. Он сочетает элементы и анализа и синтеза. Так при решении сложной задачи она с помощью синтеза разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.
Обучение учащихся
начальных классов
При разборе задачи нового вида учитель должен в каждом отдельном случае поставить детям вопросы так, чтобы навести их на правильный или осознанный выбор арифметических действий.
Очень важно чтобы вопросы не были подсказывающими, а вели бы к самостоятельному нахождению пути решения задачи.
Разбор задачи заканчивается составлением плана решения.
План решения – это объяснение того, что узнаём, выполнив то или иное действие, и указания по порядку арифметических действий.
Часто при введении задач нового вида ученики затрудняются самостоятельно составить план решения, тогда им помогает учитель.
- Методика работы над сюжетным рассказом по картине
- Методика работы по развитию мелкой моторики у детей
- Методика работы по развитию речи
- Методика работы с ансамблем русских народных инструментов
- Методика работы с ансамблем русских народных инструментов
- Методика работы с географической картой
- Методика работы с детским хором
- Методика психодиагностического подхода при исследовании больных с психическими расстройствами
- Методика работы над вычислительными приемами в концентре «Сотня»
- Методика работы над лирическим стихотворением на уроках литературного чтения в начальных классах
- Методика работы над орфографическими ошибками
- Методика работы над паузой и логическим ударением на уроках литературного чтения в начальной школе
- Методика работы над рисованием природы
- Методика работы над связной речью в 4-классах
