Методика розв'язання задач

                            Міністерство освіти і науки України

                                            Педагогічний коледж 

            Львівського національного університету  імені Івана Франка

                                          Курсова (випускна) робота  

                                              з методики математики

Методика  розв’язування задач 
 
 

                                                                             Виконала студентка групи ШКВ  – 43

                                                                             спеціальності «Початкове навчання»

                                                Лойко  Леся Петрівна 

                                                 Керівник:

                                                 Стасишин Ірина Йосипівна

                                                                                     викладач математики та методики

                                                                                     навчання початкового курсу 

                                                                                     математики  

                                Львів - 2009

       ЗМІСТ 
 

ВСТУП………………………………………………………………………………. 

РОЗДІЛ 1. Функції арифметичних задач………………………………………….

1.1.Роль  і місце задач у початковому  курсі математики.

     Функції текстових задач………………………………………………………...

1.2. Організація  навчання розв’язувати задачі……………………………………

1.3. Формування  навичок розв’язувати прості  задачі…………………………… 

РОЗДІЛ 2. Шляхи реалізації навчання розв’язувати задачі……………………..

2.1. Методика  навчання розв’язуванню простих  задач………………………….

2.2. Розвиток  уявлень учнів про складену задачу і процес її розв’язування…..

2.3. Складені  задачі та основні прийоми  їх розв’язування……………………… 

ВИСНОВКИ………………………………………………………………………... 

СПИСОК  ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………………. 

ДОДАТКИ………………………………………………………………………….               
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                 ВСТУП 
 

      Арифметичною  задачею називається вимога визначити  число значення шуканих величин, коли дано числові значення інших  величин і вказана залежність, яка пов’язує ці величини як між  собою, так і з шуканими величинами.

      Розв’язати  задачу – значить встановити залежність між даними і шуканими числами, виконати над числовими даними арифметичні дії, що випливають з умови задачі і дають відповідь на її запитання.

      Відомо, що із запитання починається будь-який розумовий процес. Усвідомлення запитання при розв’язуванні арифметичної задачі є основою її успішного розв’язання.

     За  новою програмою вивчення арифметики натуральних чисел і нуля ґрунтується на системі доцільних задач і має на меті формування і розвиток основних математичних понять, розкриття і конкретизацію різного роду кількісних зв'язків, застосування теорії на практиці.

     Розв'язування задачі сприяє розвиткові логічного  мислення і мови учнів, їх кмітливості, вміння встановлювати залежності між  величинами, робити правильні умовиводи, набувати елементарних навичок застосування аналізу і синтезу.

     Математичний  зміст задач і система їх розміщення підпорядковуються змісту і системі розміщення програмового матеріалу з математики.

     Так, при вивченні дій додавання і віднімання в підручнику вміщено задачі, що допомагають розкрити зміст цих дій і їх застосування; поняття «кратне порівняння» формується на основі розв'язування задач, в яких ставиться життєве питання, що потребує застосування кратного порівняння чисел.

     Особливо  велике значення мають задачі, розв'язування яких допомагає учням зрозуміти  пряму і обернену пропорційні  залежності між величинами. Так, наприклад, коли вивчається тема «Зміна добутку залежно від зміни одного із співмножників», то щоб розкрити глибокий зміст залежностей з пропорційними величинами, виходять з життєвої задачі, потім складають таблиці, записують формули, що відбивають дані залежності (швидкість, час, відстань; ціна, вартість, кількість).

     Формування  вмінь і навичок розв’язування арифметичних задач є необхідним, оскільки в повсякденному житті людина щоразу стикається з тією чи іншою задачею: при покупці в магазині,  при плануванні сімейного бюджету, вимірюванні площі тощо.

     Саме  тому, навчання дітей розв’язуванню  арифметичних задач є одним з основних завдань методики математики, що відображено у даній роботі.

      Мета  роботи: дослідити методику розв’язання  арифметичних задач в початковій школі.

     Предмет дослідження: арифметичні задачі.

     Об’єктом  дослідження є методи та прийоми  розв’язання арифметичних задач.

     Завдання:

• розкрити зміст поняття «арифметична задача»;
• визначити роль і місце задач у початковому курсі математики;
• з’ясувати функції текстових задач;
• окреслити шляхи формування навичок розв’язування простих і складених задач;
• дослідити  розвиток уявлень учнів про складену задачу і процес її розв’язування.

РОЗДІЛ 1. Функції арифметичних задач 

1. Роль  і місце задач  у початковому  курсі математики.

     Функції текстових задач 

     Застосовувати математичні методи і знання після  закінчення школи будуть усі. Тому вже в процесі вивчення математика має виступати перед учнями не тільки як система логічних правил і дедуктивних доведень, а й як метод пізнання, засіб розв'язування питань практичного характеру. Істотне значення для виконання цих завдань мають зміст і методика навчання учнів початкової школи розв'язувати задачі.

     Математичну задачу розуміють як будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень  і просторових форм, створених  людським розумом на основі знань про навколишній світ.

     Арифметичною  задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших  величин та існує залежність, що пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою величиною.

     У системі навчання дітей початкових класів загальноосвітньої школи переважають арифметичні задачі. Задачі на побудову, найпростіші доведення, а також завдання логічного порядку займають порівняно незначне місце.

     Задачі  у початковому курсі математики з одного боку становлять специфічний розділ програми, матеріал якого учні повинні засвоїти, а з іншого — є дидактичним засобом навчання, виховання і розвитку школярів. Отже, задачі мають як навчальні, так і виховні та розвивальні функції.

     Навчальні функції задач спрямовані на формування системи математичних знань, умінь і навичок на різних етапах її засвоєння. Початкове розкриття змісту арифметичних дій здійснюється за допомогою відповідних операцій над предметними множинами. Засобом переходу від операцій над множинами предметів до дій над натуральними числами є задачі. Розв'язуючи задачі, учні спираються на уявлення про предмети, що згадуються в умові, але оперують уже числами.

     Текстові  задачі, що відображають конкретні життєві ситуації, використовуються для ознайомлення школярів з певними математичними поняттями та закономірностями, для з'ясування взаємозв'язків між словом і символом. У деяких випадках формування теоретичних знань через задачі може бути організоване у вигляді проблемної форми навчання.

Навчальні функції задач виявляються також у здійсненні принципу політехнізації та в процесі контролю знань і математичного розвитку учнів. Самостійне розв'язування ними задач як засіб оберненого зв'язку (учень – учитель) дає змогу виявляти вміння правильно вибирати і виконувати арифметичні дії, робити висновок про розвиток мислення школярів.

     Виховні функції задач допомагають пов'язати  навчання з життям, ознайомити учнів  з пізнавально важливими фактами, виховують у дітей свідоме  ставлення до навчання, любов до Батьківщини, бажання зробити власний внесок у загальну справу. Внутрішня краса самої математики, оригінальність прийомів розв'язування задач збуджують у дітей естетичні почуття.

     Розвивальними вважають функції задач, спрямовані на формування в учнів науково-теоретичного, зокрема функціонального, стилю мислення, на оволодіння ними прийомами розумової діяльності. У процесі розв'язування задач діти виконують різні розумові операції (аналіз, синтез, конкретизація й абстрагування, порівняння, узагальнення), висловлюють судження і міркування.

     У початкових класах переважно розглядають  так звані сюжетні задачі, в  яких описується кількісний бік якихось  явищ, а знаходження невідомого зводиться  до виконання певних арифметичних дій. В умові сюжетних задач подаються  значення величин і деякі залежності (відношення) між цими значеннями, причому ці залежності мають певні числові характеристики.

     Сюжетну задачу, для розв'язування якої треба  виконати одну арифметичну дію, називають  простою. Задачу, для розв'язування якої потрібно виконати дві чи більше пов'язаних між собою арифметичних дій, називають складеною [4].

2. Організація навчання розв’язувати задачі

     На формування і розвиток умінь молодших школярів розв'язувати задачі відводиться 40-50% часу, передбаченого на вивчення математики. Задачі розв'язують на кожному уроці. Для ознайомлення з новими видами задач та розвитку умінь їх розв'язування відводяться окремі уроки. На уроках для розв'язування задач виділяють 15-20 хвилин.

     Урок ознайомлення із задачами нового виду відрізняється від звичайного комбінованого тим, що кожна його складова підпорядкована головній меті — ознайомленню із задачею нового виду. Урок, присвячений розвитку вмінь розв'язувати задачі, також комбінований, але він підпорядкований вимогам узагальнення та систематизації знань учнів про задачі чи механізми їх розв'язування, — розв’язуються задачі певного виду або з'ясовуються зв'язки між ними. На таких уроках основна увага приділяється творчій роботі над задачами.

     Якщо на уроці опрацьовується новий арифметичний матеріал, розв'язування задач може супроводжувати цей процес або використовуватись як окремий вид роботи.

     Робота учнів над розв'язуванням задач на уроці організовується у формі колективної фронтальної роботи, індивідуальної самостійної роботи, напівсамостійної групової роботи.

     Колективна форма роботи має характер бесіди вчителя та учнів з елементами зв’язного пояснення. Вона здебільшого застосовується під час розв'язування задач нового виду, а також на етапі ознайомлення зі змістом задачі.

     Одна з форм фронтальної роботи — це метод зв'язного викладу, розповіді, коли вчитель сам  ставить запитання і сам на них відповідає. До коментованого розв'язування задач учитель вдається не для ознайомлення учнів з новим їх видом, а для подачі зразків міркування.

     Напівсамостійна фронтальна робота. Один учень розв'язує задачу біля дошки або коментує розв'язування з місця, а всі інші виконують роботу у своїх зошитах. Кожен учень намагається розв'язати задачу самостійно, проте в будь-який момент він може отримати консультацію чи звірити своє розв'язання з розв'язанням свого товариша. Така форма напівсамостійної роботи може використовуватись у процесі первинного закріплення, під час розв'язуванні задач підвищеної складності, для порівняння різних способів розв'язування однієї й тієї самої задачі, для аналізу помилок, у ході підготовки дітей до сприймання нового матеріалу.

     Напівсамостійна групова робота. Під час розв'язування задачі учні, які сидять на одній парті, спілкуються між собою, узгоджуючи свою діяльність. Групова форма роботи в навчанні учнів розв'язувати задачі має стати однією з провідних. Вона може застосовуватись на всіх етапах розв'язування задачі.

     Індивідуальна самостійна робота полягає в тому, що кожен учень виконує поставлене вчителем завдання окремо. До такої роботи вдаються на будь-якому з етапів навчання, а найчастіше — у процесі розвитку вмінь розв'язувати задачі того чи іншого виду. Письмове самостійне розв'язування учнями задач на уроках математики — не мета і засіб навчання. Самостійне розв'язування задач у початкових класах майже завжди є творчим процесом для учнів [5].

     Отже, в організації такої роботи потрібно враховувати вимоги, що ставляться до проблемного навчання. Учитель повинен спрямовувати учнів на самостійне розв'язування задач за допомогою відповідних підготовчих вправ чи засобів унаочнення, своєчасно виявляти неправильні міркування у процесі розв'язування і допомагати дітям, підтримувати емоційний тонус і впевненість у тому, що кожен школяр може самостійно розв'язати задачу.

     На уроці різні форми роботи можна поєднувати. Наприклад, ознайомлення зі змістом задачі варто провести у формі фронтальної роботи, а проаналізувати задачу, скласти план її розв'язування та записати його учні можуть самостійно. 
 
 
 
 

3. Формування навичок розв'язувати прості задачі

     Прості задачі є математичними моделями життєвих ситуацій, що виникають внаслідок об'єднання, вилучення чи поділу предметних множин, у процесі різницевого чи кратного порівняння двох значень тієї самої величини, а також при кількісній характеристиці якого-небудь явища кількома взаємопов'язаними величинами.

     У роботі над простою сюжетною задачею йдеться про вибір тієї дії, за допомогою якої реалізується задачна ситуація. Отже, основне призначення простих сюжетних задач — розкрити випадки застосування арифметичних дій.

     Тому прості задачі класифікують за характером цих випадків.

     Є три основні групи задач.

     До першої групи належать прості задачі, під час розв'язування яких учні засвоюють конкретний зміст кожної з арифметичних дій. Це задачі на знаходження суми двох чисел, остачі, добутку, частки (ділення на рівні частини і на вміщення). Всього 5 задач.

     До другої групи належать прості задачі, під час розв'язування яких учні засвоюють зв’язки між компонентами і результатами арифметичних дій. Це задачі на знаходження невідомих компонентів: доданка, зменшуваного, від'ємника, множника, діленого, дільника (8 задач).

     До третьої групи належать задачі, пов'язані з поняттям різницевого чи кратного відношення двох чисел. Це задачі на збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць або в кілька разів (у прямій і непрямій формах), на різницеве чи кратне порівняння двох чисел ( 12 задач) [4].

     За сюжетом у початковому курсі математики розглядають ще прості задачі на час, обчислення площі прямокутника, а також на знаходження частини числа і числа за його частиною.

     Усі прості задачі, крім задач на непряме збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць або в кілька разів, є обов'язковою складовою частиною програми.  

     Роль простих задач у навчанні математики надзвичайно велика. Вони служать основним засобом у формуванні поняття про арифметичні дії та величини. У процесі розв'язування простих задач учні опановують основні прийоми роботи над задачею. Високий рівень умінь розв'язувати прості задачі — необхідна умова успішного розвитку вмінь розв'язувати складені задачі.

     Навчити дітей розв'язувати задачі означає навчити їх встановлювати зв'язки між даними та шуканими величинами і відповідно до цього вибирати а потім і виконувати арифметичні дії. Від того, наскільки добре засвоєні учнями ці зв'язки, залежить їх уміння розв'язувати задачі. Враховуючи це, у початкових класах працюють над групами задач, розв'язування яких ґрунтується на тих самих зв'язках між даними та шуканим, а відрізняються вони конкретним змістом і числовими даними. Групи таких задач називають задачами одного виду.

     Щоб розв'язати просту задачу, учень має виділити в ній відоме і невідоме, потім вибрати арифметичну Дію, за допомогою якої знайти невідоме. Для цього треба перекласти математичною мовою відношення між даними і шуканими величинами, про які йдеться в задачі, а це він зможе зробити, якщо розумітиме конкретний зміст арифметичних дій. зміст дій у поняттях «збільшити», «більше на», а також знатиме зв'язки між компонентами і результатами дій.

Тому в методиці роботи над задачами одного виду виділяють три ступені. На першому ступені діти засвоюють зв'язки, на основі яких вибираються дії. На другому — вчитель ознайомлює їх з розв'язуванням задач нього виду.

На третьому — формує відповідні вміння і навички.

     Зміст арифметичних дій (у широкому розумінні), зв'язки між компонентами і результатами дій розкривають на основі відповідних операцій над множинами предметів, повідомлення правил та ін. Отже, перший ступінь у роботі над задачами біліше стосується процесу ознайомлення з математичними поняттями.

     Задачі на знаходження суми й остачі.

     Ці задачі вводяться після вивчення нумерації чисел першого десятка та ознайомлення з діями додавання і віднімання. Однак цьому передує пропедевтична робота — розв'язування задач без застосування арифметичних дій, коли відповідь знаходять завдяки перелічуванню предметів або їхніх малюнків.

     Особливості пропедевтичного етапу: не ставиться завдання розчленувати задачу на умову і запитання; умову задачі вчитель повідомляє здебільшого у ході виконання практичних дій чи відповідних малюнків. Запитання задачі ставиться вже на основі виконаних дій з предметами чи за «кінцевим» малюнком [4].

   Розгляньмо зразки такої роботи.

     Задача. На годівниці спочатку було 3 горобці. Потім прилетіло 2 синиці. Скільки всього птахів стало на годівниці?

     Прочитавши задачу, вчитель організовує практичну роботу дітей: «Знайдемо відповідь за допомогою кружечків. На годівниці було 3 горобці. Покладіть на парті у рядок 3 жовті кружечки. Далі сказано, що прилетіло ще 2 синички. Покладіть у цей рядок ще 2 зелених кружечки. Що означає кожен жовтий кружечок? Кожен зелений кружечок? Покажіть усіх горобців, усіх синичок, усіх птахів. Нам треба знайти, скільки стало всіх птахів на годівниці. Полічіть кружечки і дайте відповідь на запитання».

     Надалі задачі на знаходження суми на пропедевтичному етапі розв'язують як на основі предметних дій, так і за малюнками. Малюнки можна виконувати як у зошитах, так і на дошці. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РОЗДІЛ 2. Шляхи реалізації навчання розв’язувати задачі 

2.1. Методика навчання розв'язуванню простих задач 

     У навчанні розв'язування простих задач передбачається:

• сформувати чітке розуміння учнями понять «умова», «запитання», «розв'язання» і «відповідь» задачі;
• добитися, щоб учні свідомо вибирали дію, за допомогою якої знаходимо відповідь на запитання задачі;
• навчити їх записувати розв'язання задачі та формулювати відповідь до неї.

     Відповідно до цих завдань прості задачі розв'язують за такими етапами:

а) читають задачу один раз;

б) повторюють задачу за запитаннями вчителя;

в) вибирають дію;

г) розв'язують задачу (усно або письмово);

д) формулюють відповідь. 
Спинимося коротко на цих етапах.

а) Оскільки на початку навчання в умовах простих задач фігурують одноцифрові числа, то їх не треба записувати ні на дошці, 
ні в зошитах: їх учні запам'ятовують. Краще, коли вчитель виразно, 
не поспішаючи, ознайомлює учнів з задачею, а не читає її з підручника.

б) Щоб діти ясно уявляли структуру задачі (розрізняли умову, 
запитання), слід привчати їх повторювати задачу спочатку за запитаннями вчителя, а потім запропонувати комусь з учнів повторити 
всю задачу. При потребі задачу ілюструють наочним посібником.

      Після повторення задачі учнем учитель ще раз зосереджує увагу 
класу на її запитанні.

      Повторення задачі доцільно поєднувати з її аналізом. З перших кроків треба навчити дітей виділяти в задачі дані і шукане.

в) На цьому етапі важливо навчати дітей самостійно визначати в умові «дані» і «шукане» і позначати шукане через х.

     Звертаємо увагу на психологічний момент, який треба врахувати як нове, позитивне при навчанні розв'язування простих задач. Коли ми пропонуємо учням спочатку позначити невідоме через х, то шукане стає центральним завданням роботи. Складання числової формули (чи найпростішого рівняння) ставить завдання перед учнем оглянути систему взаємозв'язків, визначених в умові задачі, між шуканою величиною і даними.

              Довести до свідомості учнів, якою дією треба розв'язати просту задачу,—найважче для вчителя завдання. Оскільки діти оперують спочатку невеликими числами, то вони не відчувають потреби проробляти над ними якусь дію, а обчислюють відповідь до задачі на основі своїх знань про склад чисел першого десятка. Вибір дії (додавання чи віднімання) в першу чергу відбувається у дітей на підставі розуміння ними життєвих подій, описаних у задачі — більше чи менше число треба взнати в задачі.

              Правильне розуміння забезпечує свідомість у розв'язанні питання і є підготовкою до засвоєння дітьми суті арифметичних дій у 
різних випадках їх практичного застосування.

г) Позначення невідомого через х, записування розв'язання 
числовою формулою, а в 2 класі розв'язання простих задач з буквеними даними є важливим видом узагальнюючої роботи, що підвищує теоретичний рівень навчання, становить новий напрям у роботі над простими задачами за новою програмою.

            Складання формули є однією з важливих, але не єдиною формою запису розв'язання задачі. Тому вчитель, як правило, вказує дітям, яку задачу слід розв'язувати шляхом складання формули, а яку просто за допомогою відповідної дії.

д) Після розв'язання простої задачі слід привчати дітей формулювати її відповідь повністю. Наприклад, якщо сказано, що Коля зробив 4 прапорці, а Толя 5 таких самих прапорців, і треба дізнатися, скільки прапорців зробили обидва хлопчики, то учень, розв'язавши задачу, повинен сказати: «Відповідь: хлопчики зробили разом 9 прапорців». Це допомагатиме учням зосереджувати свою увагу 
на головному запитанні, а пізніше, розв'язуючи складену задачу, 
чітко уявляти, закінчили її розв'язувати чи ні.

     Задачі на знаходження суми і остачі (решти).

     Приступаючи до розв'язування цих задач у межах першого десятка, треба ознайомити учнів з поняттями «умова», «запитання», «розв'язання», «відповідь» задачі. Доцільно, щоб перші задачі виникали в процесі виконання дітьми практичних завдань під керівництвом учителя [4]. Покажемо це на прикладі (в дужках подано відповіді учнів, їх дії тощо).

• Таню, іди з своєю корзинкою до мене. Що лежить тут на столі? (Кубики). Вітю, іди до столу і дай Тані два кубики (Вітя виконує). Колю, іди сюди і дай Тані ще 3 кубики (Коля виконує).
• Маринко, скажи (з місця), що робив Вітя, а потім Коля? (Вітя поклав Тані в корзинку 2 кубики, а потім Коля поклав у корзинку Тані ще 3 кубики).
• Діти, Маринка зараз сказала умову задачі. Повторіть цю умову задачі. (Учень повторює).
• Що можна запитати у Тані про кубики? (Скільки всього кубиків стало в Тані?). Це, діти, запитання задачі. Повторіть запитання задачі. (Викликаний учень повторює).
• Повторіть умову і запитання задачі. (Повторюють). Як дізнатися, скільки всього кубиків одержала Таня? (До двох кубиків додати три кубики). Покажи, Таню, на своїх кубиках. (Таня виконує додавання).
• Це, діти, Таня розв'язала задачу. Повторіть, як розв'язати задачу? Скільки ж всього кубиків у Тані? (5).
• Діти, це Таня сказала відповідь задачі. Повторіть повністю відповідь задачі. (У Тані стало разом 5 кубиків).