Методы описательной статистики

Введение.

 

     Общая теория статистики  включает два крупных раздела:  описательную статистику и аналитическую  статистику. В курсовом проекте  рассматриваются методы описательной  статистики: группировка данных, построение  статистических таблиц и графиков, а также вычисление основных статистических показателей.

     Задачи в составе  курсового проекта позволяют,  освоит основные статистические  методы.  Для использования этих  методов, требуется понимание  соответствующих разделов общей  теории статистики.

     Расчеты в процессе курсового проектирования выполняются с помощью калькулятора, графики строятся на миллиметровой бумаге. Выполнение всех операций «вручную» позволяет получить глубокое понимание статистических методов и освоить практические навыки статистической обработки данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходные данные.

                                     Таблица №1 «Исходные данные».

N	X	Y	Z	G
1	29	-82	28	42
2	31	-86	45	75
3	32	-89	-38	61
4	33	-93	57	65
5	32	-88	-26	69
6	35	-92	-26	60
7	33	-89	49	57
8	29	-87	-38	70
9	35	-93	14	63
10	37	-98	-51	55
11	36	-97	-25	72
12	38	-97	10	79
13	39	-100	-27	63
14	35	-105	-62	70
15	39	-100	-16	62
16	39	-101	-30	73
17	41	-111	-88	82
18	41	-108	-46	87
19	41	-109	-23	88
20	41	-118	-26	85
21	40	-120	-90	88
22	40	-107	31	76
23	41	-117	11	69
24	45	-127	10	89
25	45	-125	-27	90
26	43	-120	-25	86
27	47	-126	-30	93
28	47	-128	31	91
29	43	-125	38	87
30	45	-126	-16	95

                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.

     Вычислить показатели  вариации по каждой из выборок  X,Y,Z

• среднее арифметическое;
• моду;
• медиану;
• размах вариации;
• дисперсию;
• стандартное отклонение;
• среднее линейное отклонение;
• коэффициенты осцилляции и вариации.

 

Методика решения

     Показатели вариации вычисляются следующим образом.

1. Среднее значение - средняя арифметическая простая.

Среднее арифметическое значение вычислим по формуле:

,       ,    

  где n-объем выборки.

В данном случае n=30

Подставив в формулу известные  значения, получим средние арифметические по 3-м выборкам X,Y,Z

   x = = 38,4

 

  

 

2. Мода – такое значение варьирующего признака, которое в данном ряду распределения имеет наибольшую частоту. Для нахождения моды необходимо расположить все исходные данные в порядке возрастания. Повторяющиеся значения записываем столько раз, сколько они повторяются в массиве. Затем выбираем значение с наибольшей частотой.

=

Строим дополнительную таблицу:                                                                                                                                              Таблица №2 «X,Y,Z в возрастающем порядке».

X	Y	Z
29	-128	-90
29	-127	-88
31	-126	-62
32	-126	-51
32	-125	-46
33	-125	-38
33	-120	-38
35	-120	-30
35	-118	-30
35	-117	-27
36	-111	-27
37	-109	-26
38	-108	-26
39	-107	-26
39	-105	-25
39	-101	-25
40	-100	-23
40	-100	-16
41	-98	-16
41	-97	10
41	-97	10
41	-93	11
41	-93	14
43	-92	28
43	-89	31
45	-89	31
45	-88	38
45	-87	45
47	-86	49
47	-82	57

 

                                                                                                                                        

 

Найдем значение с наибольшей частотой.

Из таблицы видно, что  (X)=41, (Y)=-126, (Z)=-26.

 

3. Медиана – такое значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот.

     Если ряд  распределения дискретный и состоит  из четного числа членов, то  медиана определяется как средняя  величина из двух серединных  значений ранжированного ряда. Если  в дискретном ряду нечетное  число уровней, то медианой  будет серединное значение ранжированного ряда.

        если n - четное                                       

Так как данный ряд состоит из четного числа членов, то используем формулу №2:

 

4.Размах вариации - показывает разницу между максимальным и минимальным значением.

Найдем максимальное и минимальное  значения для X,Y,Z 

 

5.Дисперсия - средний квадрат отклонения от среднего значения.

Построим дополнительную таблицу для последующих вычислений:

                                                                                                                                 Таблица №3.

 

№
1	29	-128	-90	12	2	64	144	4	4096
2	29	-127	-88	12	1	62	144	1	3844
3	31	-126	-62	10	0	36	100	0	1296
4	32	-126	-51	9	0	25	81	0	625
5	32	-125	-46	9	1	20	81	1	400
6	33	-125	-38	8	1	12	64	1	144
7	33	-120	-38	8	6	12	64	36	144
8	35	-120	-30	6	6	4	36	36	16
9	35	-118	-30	6	8	4	36	64	16
10	35	-117	-27	6	9	1	36	81	1
11	36	-111	-27	5	15	1	25	225	1
12	37	-109	-26	4	17	0	16	289	0
13	38	-108	-26	3	18	0	9	324	0
14	39	-107	-26	2	19	0	4	361	0
15	39	-105	-25	2	21	1	4	441	1
16	39	-101	-25	2	25	1	4	625	1
17	40	-100	-23	1	26	3	1	676	9
18	40	-100	-16	1	26	10	1	676	100
19	41	-98	-16	0	28	10	0	784	100
20	41	-97	10	0	29	36	0	841	1296
21	41	-97	10	0	29	36	0	841	1296
22	41	-93	11	0	33	37	0	1089	1369
23	41	-93	14	0	33	40	0	1089	1600
24	43	-92	28	2	34	54	4	1156	2916
25	43	-89	31	2	37	57	4	1369	3249
26	45	-89	31	4	37	57	16	1369	3249
27	45	-88	38	4	38	64	16	1444	4096
28	45	-87	45	4	39	71	16	1521	5041
29	47	-86	49	6	40	75	36	1600	5625
30	47	-82	57	6	44	83	36	1936	6889

 

 

Подставив в формулу значения, занесенные в таблицу, рассчитаем дисперсию:

 

6. Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии.

=5,8072;

 =25,5153;    

=40,4372.

7.Среднее линейное отклонение – учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности, определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений без учета знака этих отклонений

Подставим, уже рассчитанные и занесенные в таблицу № значения в формулу:

8.Относительные показатели вариации вычисляют как отношение абсолютного показателя к среднему значению, выраженное в процентах.

     Коэффициент осцилляции – отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней

             где R- размах вариации

   - среднее значение

 

Подставляя полученные значения в  формулу, получим:

   Линейный коэффициент вариации – характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины

Подставляя полученные значения в  формулу, получим:

  Коэффициент вариации – используется для сравнения размеров вариации в вариационных рядах с различными средними, а также для сравнения вариации разных показателей в одной и той же совокупности

Подставляя в формулу значения, получим коэффициент вариации:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

 

     По каждой из выборок X, Y, Z:

• провести группировку данных по интервалам равной длины;
• составить вариационный ряд;
• вычислить относительные частоты и накопленные частости;
• построить полигон, гистограмму и кумуляту;
• нанести на график кумуляты график накопленных частот без группировки

 

Методика решения:

     Вариационный ряд – это значение признака (или интервалы значений) и их частоты. Вариационный ряд позволяет по фактическим данным оценить форму закона распределения.

Для группировки данных вначале  выберем число интервалов группирования и границы интервалов. Число групп, по которому разбивается совокупность по количественному признаку, зависит от объема совокупности и разброса значений этого признака. Интервалы должны полностью охватывать все значения признака в изучаемой выборке. Желательно выбрать интервалы равной длины с «круглыми» границами. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса.

 

 

где k – число групп;

n – объем выборки (число единиц совокупности)

 

Используя данную формулу получаем число групп:

 

6

Следовательно, всю нашу совокупность мы должны разбить на 6 групп.

     Поскольку группировка  данных нужна для изучения  формы распределения, мы должны  учитывать, что с одной стороны,  число интервалов должно быть достаточно большим, чтобы изучить форму распределения. С другой стороны, число интервалов не должно быть слишком большим – тогда в каждый диапазон попадает несколько единиц совокупности. Желательно избегать получения «малочисленных» или пустых групп.

     После определения  числа групп, мы должны определить  интервал группировки.

Ширина  интервала – разница между верхней и нижней границами.

 

 

где  максимальное значение данной совокупности;

минимальное значение донной совокупности;

       число групп

 

Подставляя значения в формулу, получим интервалы группировок  для X, Y, Z.

 

 

                                                            

     После того как  сформированы группы, посчитывают абсолютные частоты – число «попаданий» признака в каждый интервал, т. е число объектов в каждой группе. Каждая единица совокупности учитывается только один раз. Если значение  оказывается на границе интервала, его относят к «левому» интервалу и не учитывают в «правом» интервале.

Частости – относительные частоты, выраженные в процентах.

где - частота повторений;

n – объем выборки.

Подставляя значения в формулу, получим частости X,Y,Z:

 

Накопленные (кумулятивные) частоты:

где  - частота повторений j – го значения признака;

 i – число вариантов;

Каждая накопленная частость –  сумма текущей частости и всех предыдущих.

Для упрощения можно складывать текущую частосту и предыдущую кумулятивную частоту:

 

При этом считаем, что кумулята начинается с нуля:

Пользуясь формулой, рассчитаем накопленные  частоты для X,Y,Z:

  

    

 

Создадим таблицу группировки  данных для x:

                                                                                 Таблица №4.

29…32	5	16,7	16,7
32…35	5	16,7	33,4
35…38	3	10	43,4
38…41	10	33,3	76,7
41…44	2	6,6	83,3
44…47	5	16,7	100

Создадим таблицу группировки  данных для y:

                            Таблица №5.

-128…-120	8	26,7	26,7
-120…-112	2	6,6	33,3
-112…-104	5	16,7	50
-104…-96	6	20	70
-96…-88	6	20	90
-88…-80	3	10	100

Создадим таблицу группировки  данных для z:

                                                                                   Таблица №6.

-90…-65	2	6,6	6,6
-65…-40	3	10	16,6
-40…-15	14	46,7	63,3
-15…10	2	6,6	69,9
10…35	5	16,7	86,6
35…60	4	13,4	100

 

Мы видим, что сумма частостей  и последние накопленные частоты  равны 100%, следовательно, расчеты выполнены  без ошибок.

 

     Любой ряд распределения  удобно анализировать при помощи  его графического изображения.  Графическое представление вариационного ряда представляет собой эмпирическую оценку формы теоретического распределения. Гистограмма и полигон частот соответствуют плотности вероятности, а кумулята – функции распределения.

     Гистограмма – столбиковая диаграмма частот. Основание каждого прямоугольника соответствует интервалу группировки. Высота столбика – частость.

 Построим гистограммы для  наших полученных частот X,Y,Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.

 

     По сгруппированным  данным и графикам определить

• среднее арифметическое;
• моду;
• медиану;

Методика решения

     При расчетах по  сгруппированным данным учитывается  относительная частота появления  каждого варианта

где - частота, показывающая сколько раз встречается i – ое значения усредняемого

признака;

    Построим вспомогательные таблицы:

                                                       Таблица №7 «Расчет среднего значения X».

29…32	5	30,5	152,5
32…35	5	33,5	12
35…38	3	36,5	20
38…41	10	39,5	395
41…44	2	42,5	85
44…47	5	45,5	227,5
Σ	30	228	892

 

 

 

 

 

 

 

                                                       

                                                       Таблица №8 «Расчет среднего значения Y».

-128…-120	8	-124	-992
-120…-112	2	-116	-232
-112…-104	5	-108	-540
-104…-96	6	-100	-600
-96…-88	6	-92	-552
-88…-80	3	-84	-2916
Σ	30	-624	-5832

 

 

                                                       Таблица №9 «Расчет среднего значения Z».

-90…-65	2	-77,5	-155
-65…-40	3	-52,5	-157,5
-40…-15	14	-27,5	-385
-15…10	2	2,5	5
10…35	5	22,5	112,5
35…60	4	47,5	190
∑	30	-85	-390

 
 
Найдем средние значение , , :

 

     Мода - это координата основания самого высокого столбика гистограммы, т.е. модального интервала. Распределение может иметь несколько мод. В качестве оценки моды используют не середину модального интервала, а скорректированное значение.

  

    Медиана - определяется как 50%-й квантиль. Это аргумент функции распределения, при котором вероятность равна 0,5=50%

Me:  F(Me)=0.5=50% -

 

Медиана делит упорядоченную совокупность пополам.

     Оценки моды  и медианы, полученные по результатам  группировки, могут отличаться от оценок показателей, полученных без группировки. Группировка данных – это обобщение, укрупнение, при котором могут теряться отдельные мелкие подробности, но зато становится видна «картина в целом».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.

 

     Построить корреляционное поле. Провести группировку Y и Z, используя X как группировочный признак. Вычислить условные средние , . Нанести линию эмпирической регрессии на корреляционное поле.

    Методика решения

     Корреляционное поле – это графическое изображение исходных данных.Каждый изучаемый объект (единица совокупности) характеризуется парой значений { и изображается точкой. Поскольку объекты в составе выборочной совокупности считаются независимыми, точки на графике не соединяют линиями. График должен быть достаточно большим, чтобы его можно легко анализировать. Масштаб по координатным осям выбирается так, чтобы эффективно использовать все доступное место на графике. Для этого определяют минимальное и максимальное значение для X и Y, затем округляют их в меньшую и большую сторону соответственно – до ближайшего «стандартного» круглого числа.

    Группировка данных – это деление совокупности на группы единиц по какому-либо признака. Этот признак называют группировочным. Группировка позволяет оценить характер зависимости между переменными путем вычисления условного среднего.

Проведем группировку данных по Y и Z, используя X как группировочный признак. Для этого данные ряда X расположим в порядке возрастания. Затем составляем новые ряды Y и Z.

Таблица №10«Группировка данных Y и Z , построенная по группировочному признаку X»

X	Y	Z
29	-82	28
29	-86	45
31	-89	-38
32	-93	57
32	-88	-26
33	-92	-26
33	-89	49
35	-87	-38
35	-93	14
35	-98	-51
36	-97	-25
37	-97	10
38	-100	-27
39	-105	-62
39	-100	-16
39	-101	-30
40	-111	-88
40	-108	-46
41	-109	-23
41	-118	-26
41	-120	-90
41	-107	31
41	-117	11
43	-127	10
43	-125	-27
45	-120	-25
45	-126	-30
45	-128	31
47	-125	38
47	-126	-16

 

Условное среднее значение – это среднее значение одного признака при условии, что другой признак принимает заранее заданное фиксированное значение:

    

     При вычислении условных  средних значений подсчитываем средние и для каждой группы единиц в зависимости от значения группировочного признака х.

 

Полученные значения заносим в  таблицу.

                                                                                             Таблица №11 «Условные средние».

 

29…32	30,5	5	-438	-87,6	66	13,2
32…35	33,5	5	-459	-91,8	-52	-10,4
35…38	36,5	3	-294	-98	-42	-14
38…41	39,5	10	-1096	-109,6	-339	-33,4
41…44	42,5	2	-252	-126	-17	-8,5
44…47	45,5	5	-625	-125	-2	-0,4

 

 

     Для построения эмпирической  регрессии, на поле корреляции нужно нанести точки с координатами { и соединить их отрезками прямых линий.

     По внешнему  виду графика можно выявить  возможный характер взаимосвязи  между признаками и оценить  погрешность построения уравнения  регрессии.