Налоговое регулирование инвестиционной деятельности. 5

Оглавление

1. Введение. 3

2. Линейные модели. Задачи линейного программирования. 5

3. Построение экономико-математических задач линейного программирования. 11

4. Заключение. 20

5. Список литературы. 22

 

 

 

1. Введение.

Основой для решения экономических  задач являются математические модели.

Линейное программирование - один из важнейших разделов математики, изучающий теории и методы решения  определенных задач. Эта математическая дисциплина стала в последние  годы широко применяться в различных  областях экономики, техники и военного дела, где в их развитии не последнюю  роль играет математическое планирование и использование компьютеров. Данный раздел науки изучает линейные оптимизационные  модели. Иначе говоря, линейное программирование посвящено численному анализу и  решению задач, требующих нахождения оптимального значения, т.е. максимума  или минимума, некоторой системы  показателей в процессе, а состояние  его описывает система линейных неравенств. 

Впервые термин "линейное программирование" предложил американский экономист  Т. Купманс в 1951 году. В 1975 году русский математик Л.В.Канторович и Т. Купманс были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам за свой вклад в теорию оптимального распределения ресурсов. Т.Купманс пропагандировал методы линейного программирования и защищал приоритеты Л.В.Канторовича, открывшего эти методы. . Л.В.Канторович изучал возможность применения математики к вопросам планирования, на основе чего в 1939 году была опубликована его монография "Математические методы организации и планирования производства". Важнейшей находкой Л.В.Канторовича явилась возможность четко математически сформулировать важнейшие производственные задачи, что позволяет найти количественный подход к данным задачам, а также их решение численными методами. 

Если бы первые работы Л.В.Канторовича  получили в свое время должную  оценку, то была бы велика вероятность  еще большего продвижения линейного  программирования в настоящее время. К сожалению, его работа оставалась в тени как в Советском Союзе, так и за его пределами, и, как отмечает Данциг: " ...и за это время линейное программирование стало настоящим искусством".

 Начало широкого использования  линейных зависимостей для описания экономических явлений, многие из которых вовсе не обладают свойством линейности, было в середине ХХ в. подлинной научной революцией. Ее даже так и называли — “линейная революция в экономике”. Она дала мощный толчок развитию экономико-математических методов, способствовала всестороннему формированию практически применимого математического аппарата для исследования разнообразных областей экономики. Но необходимо учитывать, что многие экономические процессы в действительности носят нелинейный и стохастический характер и их аппроксимация линейными зависимостями (линеаризация), упрощая расчеты, существенно огрубляет и искажает их. Поэтому линейные модели страдают известной ограниченностью в том, что касается отображения с их помощью реальных экономических процессов. Но во многих случаях созданный на этой основе математический аппарат в сочетании с компьютерной техникой, производящей сложные и трудоемкие расчеты, позволяет с успехом использовать такие модели в хозяйственной практике и в экономической науке.

Цель данной работы – рассмотреть математические модели решения экономических задач, представленные в форме задач линейного программирования, принципы построения линейных экономико-математических моделей и графический способ их решения.

 

 

2. Линейные модели. Задачи линейного программирования.

Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.

Линейное программирование - это область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными.

Составление математической модели включает:

• выбор переменных задачи
• составление системы ограничений
• выбор целевой функции

Переменными задачи называются величины Х₁, Х₂, Х_n, которые полностью характеризуют экономический процесс. Обычно их записывают в виде вектора: X=(X₁, X₂,...,X_n).

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность ресурсов в рассматриваемой задаче.

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи, экстремум которой требуется найти.

Слово “программирование” объясняется здесь тем, что неизвестные  переменные, которые отыскиваются в  процессе решения задачи, обычно в  совокупности определяют программу  работы некоторого экономического объекта. Слово “линейное” отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом задача обязательно имеет экстремальный характер, т. е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции.

Разработан целый  ряд вычислительных приемов, позволяющих  решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения, а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики.

Рассмотрим  теоретическое построение математической модели на примере модели использования  ресурсов (сырья).

Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.

Известны:

• b_i ( i = 1,2,3,...,m) — запасы каждого i-го вида ресурса;
• a_ij ( i = 1,2,3,...,m;  j=1,2,3,...,n) — затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;
• c_j ( j = 1,2,3,...,n) — прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.

Требуется составить  план производства продукции, который  обеспечивает максимум прибыли при  заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Решение:

Введем вектор переменных X=(X₁, X₂,...,X_n), где x_j ( j = 1,2,...,n) — объем производства j-го вида продукции.

Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного  объема x_j продукции равны a_ijx_j, поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:  
Прибыль от реализации j-го вида продукции равна c_jx_j , поэтому целевая функция равна:

Ответ -  Математическая модель имеет вид:

Задачи линейного  программирования, в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов (константы ограничений) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования.

В экономике широко применяются линейно-программные  методы решения задач размещения производства (например  - транспортная задача), расчета рационов для скота (например - задача диеты), наилучшего использования материалов (например -  задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (например - распределительная задача) и т. д.

Задачей линейного  программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

f(x)=

           iI  

   iM   xj0

При этом система  линейных уравнений  и неравенств,  определяющая допустимое множество  решений задачи, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция fх называется целевой функцией, или критерием оптимальности.

Если математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

f(x)=

 

b0

x_j0   j=

то говорят, что задача представлена в канонической форме.

Любую задачу линейного  программирования можно свести к  задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого  в общем случае нужно уметь  сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений  неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

1) если в исходной  задаче требуется определить  максимум линейной функции, то  следует изменить знак и искать  минимум этой функции;

2) если в ограничениях  правая часть отрицательна, то  следует умножить это ограничение  на —1;

3) если среди  ограничений имеются неравенства,  то путем введения дополнительных  неотрицательных переменных они  преобразуются в равенства;

4) если некоторая  переменная Xк не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными.

Один из видов  решения имеет особое значение для  экономической интерпретации задачи линейного программирования. Он связан с тем, что каждой прямой задаче линейного программирования соответствует другая, симметричная ей двойственная задача. Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т. д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) v_i каждого ресурса на его количество b_i, т. е. равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип линейного программирования состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны.

Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция  прямой задачи при увеличении (или  уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению  с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая  прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические  способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках.

Двойственность  в линейном программировании - принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу,

Двойственная  задача - одно из фундаментальных понятий теории линейного программирования; инструмент, позволяющий установить, оптимально ли данное допустимое решение задачи линейного программирования, без непосредственного сравнения его со всеми остальными допустимыми решениями.

К каждой задаче линейного программирования можно  построить своего рода симметричную: функционалы оптимальных решений у обеих задач совпадают, но если в прямой задаче они отражают наиболее эффективную комбинацию ресурсов, которая дает максимум целевой функции, то в другой, двойственной — наиболее эффективную комбинацию расчетных цен (оценок) ограниченных ресурсов. Это такие цены, при которых полученная продукция оправдывает затраты, а технологические способы, не включенные в план, по меньшей мере не более рентабельны, чем примененные.

Двойственная  задача состоит в минимизации  затрат при заданных лимитах ресурсов и формулируется следующим образом 

Найти набор переменных v₁, v₂, ..., v_n (называемых разрешающими множителями, объективно обусловленными (оптимальными) оценками, двойственными ценами и т. п.), минимизирующий линейную функцию

при том условии, что каждый включенный в план вид  продукции рентабелен (полученная продукция  оправдывает затраты), а невключенные в план — не более рентабельны, чем первые.

Оценки характеризуют  влияние свободных членов ограничений  прямой задачи на оптимальную величину целевой функции. Иначе говоря, они  показывают относительный вклад  каждого ресурса в достижение оптимума; небольшое изменение количества ресурса изменяет оптимальное значение пропорционально величине оценки.

 

 

 

3. Построение экономико-математических задач линейного программирования.

Рассмотрим процесс  построения математических моделей  задач линейного программирования на примере.

Пример. Определение оптимального ассортимента продукции.

Предприятие изготавливает  два вида продукции — П1 и П2, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья — А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в табл. 1.

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию  П1 никогда не превышает спроса на продукцию П2 более чем на 1 ед.

Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.

Таблица 1

Сырье	Расход сырья на 1 ед. продукции.		Запас сырья
	П1	П2
А	2	3	9
В	3	2	13

 

Оптовые цены единицы  продукции равны: 3 д. е. — для П1 и 4 д. е. для П2. Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Процесс построения математической модели для решения  поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопросы:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т. е. как идентифицировать переменные данной задачи?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Ответы на вышеперечисленные  вопросы могут быть сформулированы для данной задачи так: фирме требуется определить объемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д. е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Для построения математической модели остается только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Предположим, что  предприятие изготовит х₁ единиц продукции П1 и х₂ единиц продукции П2. Поскольку производство продукции П1 и П2 ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

2х₁+3х₂9

3х₁+2х₂13

х₁-х₂1

х₂2

х₁0

х₂0

Доход от реализации х₁ единиц продукции П1 и х₂ единиц продукции П2 составит F = 3х₁ + 4x₂.

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значения Fmax.

Рассмотренная задача относится к разряду типовых  задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени. 

Рассмотрим решение  задачи об ассортименте продукции  графическим способом.

Графический способ решения  задач линейного программирования целесообразно использовать для:

• решения задач с  двумя переменными, когда ограничения  выражены неравенствами;

• решения задач со многими  переменными при условии, что  в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат X₁X₂ на плоскости изобразим граничные прямые:

2x1 + 3x2 = 9 (L1)

3х1 + 2X2 = 13  (L2)

X1 - Х2 =1  (L3)

Х2 =2  (L4)

 

Рисунок 1 Графическое решение экономико-математической задачи линейного программирования.

 

Областью решений  является многоугольник, выделенный на рисунке красным цветом.

Для построения прямой Z = 3x₁+ 4x₂ построим вектор-градиент С = (3;4) и через точку О проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z= О перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора С. Из рис. 1 следует, что по отношению к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке С (показанную на рисунке стрелкой), где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1и L3 Для определения ее координат решим систему уравнений:

   2х₁+3х₂=9

   х₁-х₂=1

Оптимальный план задачи х₁ = 2,4; х₂=1,4. Подставляя значения х₁ и х₂ в линейную функцию, получим:

Z max =3*2,4 + 4*1,4=12,8.

Полученное решение  означает, что объем производства продукции П1 должен быть равен 2,4 ед., а продукции П2 — 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z = 12,8 д. е.

Геометрическим  способом можно также решать задачи линейного программирования с числом переменных более двух. Для этого исходную задачу преобразуют методом Жордана—Гаусса.

В задаче об ассортименте продукции  может представлять интерес  вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение

спроса на продукцию или запасов исходного  сырья. Возможно, также потребуется анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение.

Для проведения анализа модели на чувствительность с успехом могут быть использованы графические методы.  После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Для этого необходимо ответить на два вопроса:

1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции Z?

2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции Z?

Прежде чем  ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную точку, в противном случае, соответствующее ограничение будет несвязывающим. На рис. 1 связывающими ограничениями являются ограничения, представленные прямыми L1 и L3, соответственно, т. е. те, которые определяют запасы исходных ресурсов. Ограничение L1 определяет запасы сырья А. Ограничение L3 определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.

 

Если некоторое  ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относят  к разряду дефицитных ресурсов, так  как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере несвязывающими ограничениями являются линии L2 и L4. Следовательно, ресурс - сырье В - недефицитный, т. е. имеется в избытке, а спрос на продукцию П2 не будет удовлетворен полностью.

При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:

1) предельно допустимое  увеличение запаса дефицитного  ресурса, позволяющее улучшить  найденное оптимальное решение;

2) предельно допустимое  снижение запаса недефицитного  ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.

В нашем примере  сырье А и соотношение спроса на выпускаемую продукцию П1 и П2 являются дефицитными ресурсами.

Рассмотрим сначала  ресурс - сырье А. На рис. 2 при увеличении запаса этого ресурса прямая L1 перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки К в которой пересекаются линии ограничений L2, L3 и L4. В точке К ограничения становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник, выделенный на рис. 2 синим цветом. В точке К ограничение  (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.

Рисунок 2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение  становится избыточным, т. е. прямая  проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Устанавливаются координаты точки К, в которой пересекаются прямые L2, L3 и L4 т. е. находится решение системы уравнений:

3х₁+2х₂=13

х₁-х₂=1

х₂=2

В результате получается х₁ = 3 и х₂ = 2. Затем, путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения, определяется максимально допустимый запас ресурса А:

2x₁ + 3х₂ = 2*3 + 3*2 =12.

Следующий рис.3 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об изменении соотношения спроса на продукцию П1 и П2.

Новой оптимальной  точкой становится точка, где пересекаются прямые L1 и L2. Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений следующим образом:

2x₁+3x₂=9;

3x₁+2x₂=13.

В результате получается х₁ = 4,2; х₂ = 0,2, причем суточный спрос на продукцию П1 не должен превышать спрос на продукцию П2 на величину х1 - х2 = 4,2 - 0,2 = 4 ед.

Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию П1 и П2 не будет влиять на оптимальное решение.

 

Рисунок 3 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования при изменении спроса.

Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений. Ограничение х₂ 2 фиксирует предельный уровень спроса на продукцию П2. Из рис. 1 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую L4 можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой. Так как данная точка  имеет координаты х₁ = 2,4; х₂ = 1,4, уменьшение спроса на продукцию П2 до величины Х2 = 1,4 никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.

Рассмотрим ограничение  3x₁ + 2x₂ < 13, которое представляет собой ограничение на недефицитный ресурс — сырье В.

И в этом случае правую часть — запасы сырья В — можно уменьшать до тех пор, пока прямая L2 не достигнет точки С. При этом правая часть ограничения станет равной 3x₁ + 2x₂ = 3 • 2,4 + 2 • 1,4 = 10, что позволяет записать это ограничение в виде: 3x₁ + 2x₂ < 10. Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если суточный запас ресурса В уменьшить на 3 ед.

Результаты проведенного анализа можно свести в табл. 2:

Таблица 2

Ресурс	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса, ед.	Максимальное увеличение выручки  от увеличения ресурса, д.ед.
А	Дефицитный	12 - 9 =+3	17 - 12,8 = +4,2
В	Недефицитный	10 - 13 = -3	12,8-12,8 = 0
3.	Дефицитный	4 - 1 = +3	13,4 - 12,8 = +0,6
4.	Недефицитный	1 , 4 - 2 = -0,6	12,8 - 12,8 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Заключение.

С помощью методов  линейного программирования решается большое количество экстремальных  задач, связанных с экономикой. В  этих случаях находят крайние  значения (максимум и минимум) некоторых  функций переменных величин. 

Основой линейного  программирования служит решение системы  линейных уравнений, которые преобразуются  в уравнения и неравенства. Оно  характеризуется математическим выражением переменных величин, определенным порядком, последовательностью расчетов, логическим анализом. Оно применимо: 

• при наличии  математической определенности и количественной ограниченности между изучаемыми переменными  величинами;

• при взаимозаменяемости факторов из-за последовательности расчетов;

• в случае совмещения математической логики с пониманием сущности изучаемых явлений. 

В промышленном производстве этот метод помогает исчислению оптимальной общей производительности машин, агрегатов, поточных линий (в  случае, если задан ассортимент продукции  и соответствующие величины), а  также решению задачи рационального  использования материалов (с наиболее выгодным количеством заготовок). 

В сельском хозяйстве  с помощью этого метода определяют минимальную стоимость кормовых рационов с учетом заданного количества кормов (исходя из видов и содержащихся в них полезных веществ). 

В литейном производстве данный метод помогает решить задачу о смесях, входящих в состав металлургической шихты. Этот же метод позволяет решить транспортную задачу, задачу наиболее оптимального прикрепления потребляющих предприятий к предприятиям, производящим продукцию. 

Отличительной особенностью всех экономических задач, которые  можно решить, применяя методы линейного  программирования, является выбор вариантов  решения, а также определенные ограничивающие условия. Решение подобной задачи означает выбор наиболее оптимального из всех альтернативных вариантов. 

Существенной  ценностью применения методов линейного  программирования в экономике является выбор наиболее оптимального варианта из огромного количества всех допустимо  возможных вариантов. Иными способами  почти невозможно решать подобные задачи, чтобы найти степень рациональности использования ресурсов в производстве.  

Одной из основных задач, решаемых с помощью линейного  программирования, является транспортная задача, которая имеет целью минимизировать грузооборот товаров широкого потребления  при их доставке от производителя  к потребителю.