Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение………………………………………………………………………..	6
1. Несобственные интегралы………………………………………………….	7
1.1. Несобственные интегралы первого рода………………….………...	7
1.2. Несобственные интегралы второго и третьего рода ……………….	13
1.3. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.........	16
1.4. Несобственные интегралы, содержащие параметр ………………..	22
1.5 Гамма-функция и бета-функция Эйлера…………………………….	29
2. Реализация  на ЭВМ…………………………………………………………	30
2.1. Текст программы …………………………………………………….	39
2.2. Результат работы программы………………………..……………...	41
Заключение………………………………………………………………..........	42
Список  использованной литературы………………………………………....	43
Приложение……………………………………………………………………	44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Задачи, приводящие к несобственным  интегралам рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения несобственных интегралов  даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 

1.1. Несобственные  интегралы первого рода 

1.1.1. Пусть функция у = f(х) определена при и принимает комплексные значения. Если f(x)= u(x)+ iv(x), где u(х) и v(х) вещественны, мы полагаем по определению

.

Таким образом, интегрируемость  функции f(х) по отрезку [а, b] равносильна одновременной интегрируемости по этому отрезку функций u(х) и v(x).

Пусть функция f(x) интегрируема (например, кусочнонепрерывна) на каждом конечном промежутке , где а фиксировано, а b произвольно. Мы желаем придать смысл «несобственному интегралу 1-го рода»

                                                                                                (1.1.1.1)

Рассмотрим комплексную функцию от аргумента Х а

.                                                                                 (1.1.1.2)

Определение. Если при функция имеет конечный предел , то мы называем несобственный интеграл (1.1.1.1) сходящимся и полагаем по определению

.                             (1.1.1.3)

Если при  функция не имеет конечного предела, мы называем интеграл (1.1.1.1) расходящимся и не приписываем ему никакого значения.

1.1.2. Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости. Утверждается, что следующие четыре предложения эквивалентны:

а. Существует такое I, что для любого > 0 найдется такое, что для каждого

.

б. Для любой последовательности числа имеют (конечный) предел.

в. Для любой последовательности ряд                                                                                  сходится.

г. Для любого > 0 существует такое X > а, что при ,                                                              (критерий Коши).

Предложение а есть просто определение предела функции I(Х) на бесконечности. Предложение г есть критерий Коши для существования этого предела. Предложение б представляет собой эквивалентное условие на языке последовательностей. Наконец, предложение в выражает обычную связь между сходимостью ряда и сходимостью последовательности его частных сумм. Итак, предложения а—г эквивалентны.

В предложении б существенно, что речь идет о любой последовательности . Если известно, что для некоторой последовательности   числа имеют предел, то это еще не означает, что интеграл (1.1.1.1) сходится.

1.1.3. Случай неотрицательной подынтегральной функции.

а. Рассмотрим несобственный интеграл

.                                                                                             (1.1.3.1) с неотрицательной функцией f(x). Тогда первообразная не убывает; если I(Х) не ограничена на (а, ), то при она стремится к + и мы говорим, что интеграл (1.1.3.1) расходится к + ; если I(Х) ограничена на (а, ), то sup I(X) = I(X) ) и интеграл (1.1.3.1) сходится.

б. Признак сравнения формулируется следующим образом: если на (а, заданы две неотрицательные интегрируемые на каждом конечном промежутке функции (х)и (х) и (x) c(x) при х , то из сходимости интеграла от (х) следует сходимость интеграла от (х), из расходимости интеграла от (х) следует расходимость интеграла от (х).

Все эти выводы следуют  из неравенства                                                              имеющего место для любого , и из сходимости интеграла с ограниченной первообразной I(X) (а).

1.1.4. Интегральный признак сходимости числового ряда. Пусть есть ряд с положительными невозрастающими членами, так что (n=1,2, ...), и пусть, далее, у=а(х) — положительная невозрастающая функция, такая, что a(n)=. Из рис. 1.1.4 видно, что

.                                  (1.1.4.1)

Из неравенства (1.1.4.1) вытекает: если сходится интеграл , то сходится ряд ,u если расходится интеграл , то расходится и ряд. Это— интегральный признак Коши сходимости числового ряда.

Рис.1.1.4

1.1.5. Абсолютная и неабсолютная сходимость несобственных интегралов. Рассмотрим несобственный интеграл

 ,                                                                                             (1.1.5.1) где f(x)—кусочно-непрерывная комплексная функция. Если сходится интеграл

,                                                                                            (1.1.5.2) то сходится и интеграл (1.1.5.1), поскольку при любых X' и X" 

                                                                             и можно применить критерий Коши. В этом случае интеграл (1.1.5.1.) называется абсолютно сходящимся, а функция f(x) — абсолютно интегрируемой на (а, ). Но интеграл (1.1.5.1) может сходиться и при расходимости интеграла (1.1.5.2); в этом случае интеграл (1.1.5.1) называется условно или неабсолютно сходящимся. Существуют признаки сходимости, применимые к неабсолютно сходящимся интегралам.

1.1.6. Признак Лейбница. Рассмотрим несобственный интеграл

                                                                                                        где функция f(x) вещественна. Пусть есть последовательность всех корней функции f(x) на (а,), причем , f(х)>0 при , и f(x)< 0 при (рис. 1.1.6).

Рис. 1.1.6

Числа

,                                                                                 (1.1.6.1) образуют знакочередующуюся последовательность. Если для них выполняются условия признака Лейбница для числового ряда , т. е. если для всех n = N, N+1, N+2, ... выполняется неравенство и , то интеграл (1.1.6.1) сходится.

Для доказательства найдем при заданном X такое n, что . Тогда                                                                                                           .

Первое слагаемое справа постоянно. Сумма в квадратных скобках  при  имеет предел в силу признака Лейбница для ряда. Последнее слагаемое по модулю не превосходит

                                                                                           и в силу условия стремится к нулю при . Отсюда следует существование предела у левой части, что нам и нужно.

1.1.7.

а. Признак Абеля—Дирихле. Рассмотрим несобственный интеграл

.                                                                                       (1.1.7.1)

Если (комплексная) функция g(x) обладает кусочно-непрерывной абсолютно интегрируемой на (а,) производной и стремится к 0 при х , a s(x) имеет ограниченную первообразную G(x),, то интеграл (1.1.7.1) сходится.

Для доказательства воспользуемся  интегрированием по частям:                                  Здесь внеинтегральный член допускает оценку

, 

и, следовательно, стремится  к нулю при р, . Интегральное слагаемое допускает следующую оценку:

                                                               откуда следует, что оно также стремится к нулю при , . Таким образом, для интеграла (1.1.7.1) выполняется критерий Коши , и, следовательно, интеграл сходится.

б. Для вещественной функции g(x) условие признака а можно несколько видоизменить; именно, в этом случае достаточно предположить, что g(x) стремится к нулю монотонно, обладая кусочно-непрерывной производной. Действительно, в указанном предположении функция (х) не меняет знака и

                                          имеет конечный предел при , так что || интегрируема.

Условия на функцию s(x) остаются прежними.

1.1.8. Интегрирование по частям и через подстановку в несобственном интеграле. Фактически мы уже не раз пользовались этими приемами в конкретных случаях; выскажем теперь некоторые общие соображения. Достаточно проверить, что возможно произвести указанные действия на конечном промежутке (а, X), и затем перейти к пределу при . Так, если интегрирование по частям на промежутке (а, X) дает

,                                               то можно написать и равенство

,                                         в предположении, что по крайней мере два из написанных трех предельных выражений существуют (тогда, очевидно, будет существовать и третье). Здесь внеинтегральный член, в частности, определен так:

.

Аналогично, если в результате подстановки х=х(u) мы пришли к равенству

                                                                        и при этом из следует и обратно, то справедливо равенство

                                                                 если существует хотя бы один из написанных интегралов (тогда существует и второй).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Несобственные  интегралы второго и третьего  рода 

1.2.1. Несобственные интегралы второго рода.

а. Рассмотрим комплексную функцию f(x), заданную в конечном промежутке [a, b], интегрируемую в каждом промежутке [a+, b], но, возможно, не интегрируемую (например, не ограниченную) на всем отрезке [a, b]. Мы желаем придать смысл «несобственному интегралу 2-го рода»

.                                                                                               (1.2.1.1)

Для этого рассмотрим функцию  от

.

Если при  это выражение имеет конечный предел, положим I, то мы говорим, что несобственный интеграл 2-го рода (1.2.1.1) сходится, и приписываем ему значение

.

Если при  функция не имеет предела, мы говорим, что несобственный интеграл (1.2.1.1) расходится, и не приписываем ему никакого значения.

б. Если интеграл

.                                                                                        (1.2.1.2) существует как обычный определенный интеграл, то он существует и в нашем новом определении и имеет то же значение I. Действительно, если интеграл (1.2.1.2) существует в обычном смысле, то функция f(x) ограничена вместе с ее вещественной и мнимой частью; пусть, например, . При любом имеем

,                                            (1.2.1.3) причем

.

Отсюда следует, что при  предел второго интеграла в правой части (1.2.1.3) существует и равен интегралу в левой части, что и требуется.

в. Приведенное определение а очень похоже на определение несобственного интеграла 1-го рода (т. е. с бесконечным верхним пределом). И действительно, интеграл 2-го рода прямо приводится к интегралу 1-го рода с помощью подстановки . Поэтому можно всю теорию несобственных интегралов 2-го рода вывести из теории интегралов 1-го рода. Можно теорию строить и параллельно, формулируя заново соответствующие теоремы.

1.2.2. а. Для применения признака сравнения, как всегда, важно иметь широкий набор «эталонных» интегралов. Таковыми для интегралов 2-го рода служат чаще всего интегралы вида

.                                                                                                  (1.2.2.1)

Мы имеем 

                                       поэтому интеграл вида (1.2.2.1) сходится при < 1 и расходится при .

б. Применяя признак сравнения, получаем: если при выполняется неравенство

                                                                                то интеграл

                                                                                                сходится при < 1 и расходится при .

в. Рассмотрим, в частности, интеграл

.                                                                                            (1.2.2.2)

При малых x мы имеем а при любом . Можно взять ; сравнивая теперь интеграл (1.2.2.2) с интегралом

,                                                                                                     сходящимся в силу а, получаем, что и интеграл (1.2.2.2) сходится при любом .

1.2.3. Несобственные интегралы третьего рода. Пусть комплексная функция f(x) задана в промежутке (a, b), концы которого могут быть и в бесконечности (т.е. значения допускаются). По отношению к функции f(x) будем называть точку с особой в следующих случаях:

а) точки , если они являются концевыми точками промежутка (а,b), всегда считаются особыми;

б) точка с, лежащая внутри (а, b), называется особой, если функция f(x) не является интегрируемой в обычном смысле ни в какой окрестности этой точки; концевая точка с считается особой, если f(x) не интегрируема ни в какой односторонней (со стороны промежутка (а, b)) окрестности этой точки.

Будем предполагать, что  функция f(x) обладает не более чем конечным числом особых точек и что вне этих точек она непрерывна или кусочно-непрерывна. Мы хотим придать смысл «несобственному интегралу 3-го рода»

.                                                                                               (1.2.3.1)

Выбирая между каждыми двумя соседними особыми точками неособую точку мы получим совокупность промежутков вида , имеющих только по одной особой точке на границе. Определим сначала интегралы от функции f(x) по таким промежуткам, как несобственные интегралы 1-го и 2-го рода:

,       .

Только если все получающиеся несобственные интегралы сходятся, мы будем приписывать смысл интегралу  (1.2.3.1); именно, положим

.                                       (1.2.3.2)

Нужно проверить, что результат  не зависит от выбора точек . Проверим это для одного из промежутков [].

Пусть . Тогда

.

1.3. Вычисление  несобственных интегралов с помощью  вычетов 

1.3.1. Интеграл от рациональной функции.

Рассмотрим несобственный интеграл от рациональной функции— отношения двух многочленов Р(х) и Q(x) (с комплексными коэффициентами):

.                                                                                              (1.3.1.1)

Он сходится, если знаменатель  не имеет вещественных корней и степень  числителя по крайней мере на две единицы меньше, чем степень знаменателя.

Как вычислить значение этого  интеграла?

Можно, разумеется, взять  неопределенный интеграл от рациональной функции  и подставить пределы . Но, оказывается, иногда быстрее применить методы, связанные с аналитической природой функции .

Функция комплексного переменного z, равная , аналитична всюду в плоскости переменного z, за исключением конечного числа точек—корней знаменателя. Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый кусочно-гладкий контур L, образованный отрезком [-R, R] вещественной оси и полуокружностью

                                                                                    где R настолько велико, что вне полученного полукруга уже нет в верхней полуплоскости ни одного корня знаменателя.

Внутри этого полукруга  имеется, вообще говоря, некоторое число  корней знаменателя, например (рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1

 

 

В силу формулы 

 мы получаем выражение

.                          (1.3.1.2)

Устремим теперь R в . На полуокружности мы имеем в силу условия на степени многочленов Р(z) и Q(z), где А — некоторая постоянная; поэтому

.

Отсюда следует, что интеграл

                                                                                               (1.3.1.3) имеет пределом при величину (1.3.1.2). Но так как интеграл (1.3.1.1) сходится, то он должен совпадать с пределом интеграла (1.3.1.3). Итак,

=.                                                    (1.3.1.4)

а. Если корни простые, то по формуле

 

                                                                                       и, следовательно,

 .                                                                (1.3.1.5)

б. Замечание. Интеграл их мы привели к сумме вычетов (умноженной на ) функции в верхней полуплоскости, рассматривая контур L, составленный из отрезка [-R, R] и полуокружности .

Но таким же образом  можно рассуждать и с контуром , составленным из отрезка [R, -R] (проходимого справа налево) и полуокружности в нижней полуплоскости; мы получим

 где - корни многочлена Q(z), лежащие в нижней полуплоскости. 

Переходя к пределу  при , найдем

.          (1.3.1.6)

Полученный результат по форме отличается от результата (1.3.1.4). В действительности они, конечно, совпадают, так что разность этих результатов, т. е. умноженная на сумма вычетов функции во всех корнях Q(z), как в верхней, так и в нижней полуплоскости, равна 0.

Это можно показать и непосредственно. Как мы знаем, эта сумма вычетов  совпадает с интегралом

                                                                                      (1.3.1.7) по полной окружности радиуса R, достаточно большого, чтобы она содержала внутри все корни Q(z). Этот интеграл не зависит от R и в то же время допускает оценку

.

Таким образом, интеграл (8) равен 0. Отсюда

.

1.3.2. а. Интегралы Фурье. Часто встречаются интегралы вида

,                                                                                      (1.3.2.1)

,                                                                                  (1.3.2.2)

,                                                                                   (1.3.2.3) содержащие вещественный параметр ; они называются интегралами Фурье.

Если выполнено условие 

                                                                                                      то все три интеграла Фурье абсолютно сходятся. Если при функция f(x) вещественна и монотонно стремится к нулю, интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) сходятся при , но, вообще говоря, неабсолютно. Если при этом f(- х)f(x) (т. е. функция f(x) четна), то интеграл (1.3.2.3) равен нулю, если же f(- х) = -f(x) (функция f(x) нечетна), то интеграл (1.3.2.2) равен нулю. Кроме того, имеется очевидная связь

                         так что в случае вещественной f(х) интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) представляют вещественную и мнимую части интеграла (1.3.2.1).

б. Часто бывают полезны методы контурного интегрирования. Пусть . есть рациональная функция и полином Q(х) имеет степень по крайней мере на единицу выше степени полинома Р(х) и не обращается в 0 при вещественных х. В этом случае интегралы (1.3.2.1) — (1.3.2.3) сходятся 

Пусть — корни многочлена Q(х), лежащие в верхней полуплоскости. Образуем замкнутый контур , состоящий из отрезка [-R, R] вещественной оси и полуокружности .Тогда

                                                                             (1.3.2.4)

Покажем, что при 

.                                                                   (1.3.2.5)

Если , , то ||=||=. Поэтому если степень многочлена Q(z) по крайней мере на две единицы выше степени многочлена P(z), доказательство соотношения (1.3.2.5) можно провести точно так же, как в 1.3.1.

в. Если степень многочлена Q(z) лишь на единицу выше степени многочлена P(z), то рассуждение 1.3.1 не проходит. Для этого случая мы установим следующую лемму.

Лемма. При справедливо неравенство

   (c – постоянная).

Доказательство. Так как , то достаточно рассмотреть интеграл

                                                                                   составляющий ровно половину предыдущего. Мы имеем при

                                                              поскольку функция при u>0 ограничена. Лемма доказана.

г. Следствие (лемма Жордана). Если функция f(z) определена и аполитична в полуплоскости при и при этом

,

то для 

.

Доказательство. Применяя лемму в, находим

                                            что и требуется.

д. Теперь завершим вычисление интеграла (1.3.21) для . Так как эта функция при достаточно больших |z| удовлетворяет неравенству

                                                                                                   то из леммы Жордана следует выполнение равенства (1.3.2.5). Интеграл Фурье от функции f(z) получается теперь при из (4) предельным переходом при :

.

е. Если , то проведенное рассуждение теряет силу, так как на дуге функция неограниченно возрастает. В этом случае аналогичное построение мы проведем не в верхней, а в нижней полуплоскости. Обозначим через полуокружность настолько большого радиуса, что все корни многочлена Q(z) в нижней полуплоскости оказываются внутри нее; тогда

.

Интеграл по полуокружности допускает оценку

                                                                                                                       и в силу леммы стремится к нулю при . Отсюда

           что дает значение интеграла Фурье от функции при .

1.3.3. Особые интегралы Фурье. Интегралы Фурье 1.3.2 (1.3.2.2) и (1.3.2.3) иногда могут существовать и для функций f(x), имеющих особенности на самой оси х, если эти особенности компенсируются соответствующими нулями функций или .

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Несобственные  интегралы, содержащие параметр

1.4.1. Определение. Несобственный интеграл с параметром

,                                                                               (1.4.1.1) сходящийся при каждом значении из некоторого множества S, называется равномерно сходящимся на S, если для любого существует такое N, что при любом и любом

.

Возьмем произвольно числа  и составим последовательность функций

.                                         (1.4.1.2)

Если интеграл (1.4.1.1) сходится равномерно на множестве S, то последовательность (1.4.1.2) в том же промежутке равномерно сходится к своему пределу, которым служит интеграл (1.4.1.1).

1.4.2. Теорема. Если S есть метрическое пространство, функция равномерно непрерывна на каждом произведении , и интеграл (1.4.1.1) сходится равномерно на S, то —непрерывная функция от на множестве S.

Доказательство. Функция  непрерывна при . Функция , как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, также непрерывна при . Теорема доказана.

1.4.3. Теорема. Если функция непрерывна по совокупности на каждом прямоугольнике

 и интеграл (1.4.1.1) сходится при равномерно по, то функция

                                                                                обладает сходящимся несобственным интегралом по промежутку и

.                                      (1.4.3.1)

Доказательство. Из равномерной сходимости непрерывных функций к следует, что

.                                                          (1.4.3.2)

С другой стороны 

.

Поэтому равенство (1.4.3.2) можно переписать в форме

.                                   (1.4.3.3)

Но существование предела  справа для любых  означает существование несобственного интеграла . Поэтому из (1.4.3.3) получаем (1.4.3.1). Теорема доказана.

1.4.4. а. Теорема. Если частная производная непрерывна по совокупности в любом прямоугольнике ,, интеграл сходится при   равномерно по и сходится интеграл , то функция