Обучение младших школьников табличному умножению и делению

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее  время школа является важнейшим  фактором ускорения социально – экономического развития страны. Задача не исчерпывается формированием знаний – школа призвана научить молодёжь творчески мыслить и действовать так, как этого требует общество.

Начальная школа является основой, фундаментом. Именно в начальной школе должна быть выполнена основная часть работы по формированию умений учиться.

В центре усилий учителей начальных классов  должна стать работа по совершенствованию  урока за счёт внедрения форм и  методов активного обучения, повышения методического мастерства, преодоление трафаретности в организации учебно–воспитательного процесса, привлечение технических и других наглядных средств, более широкого применения новых образовательных технологий.

Сказанное выше позволяет считать тему курсовой работы «Обучение младших школьников табличному умножению и делению» актуальной.

Объект  исследования: процесс обучения младших  школьников табличному умножению и делению.

Предмет исследования: табличное умножение  и деление.

Цель  исследования:

– исследование методики обучения табличному умножению и делению;

– формирование навыков табличного умножения и деления у учащихся младших классов;

– использование метода развивающего обучения при изучении табличного умножения и деления.

Гипотеза  исследования: если при проведении уроков в начальных классах систематически организовывать задания на зрительное восприятие младших школьников, то их успеваемость станет выше.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ОБУЧЕНИЯ ТАБЛИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

1. Составление и усвоение таблиц умножения и деления

В практике довольно часто можно наблюдать, что некоторые учащиеся механически  зазубривают результаты табличного умножения, а забыв их, не могут  прибегнуть к известным приемам вычисления. Поэтому в процессе составления таблиц и их усвоения надо стремиться развивать у детей умение пользоваться при умножении и делении разнообразными вычислительными приемами и выбирать из них те, которые для данного случая являются наиболее подходящими. Так, например, при составлении таблицы умножения на 4 основным вычислительным приемом является прием набирания равных слагаемых, то есть умножение выполняется при помощи сложения. Допустим, что, расположив элементы умножения по этому способу, мы взяли 3 раза по 4 и получили 12, затем взяли 4 раза по 4 и получили 16. Дальше уже нет необходимости начинать процесс набора четверок с самого начала. Чтобы составить сумму из 5 четверок, достаточно к 16 прибавить 4 и т.д. Процесс последовательного набора четверок записывается следующими равенствами:

4 × 4 = 4 × 4 + 4 + 4 = 16,

4 × 5 = 4 × 4 + 4= 20,

4 × 6 = 4 × 5 + 4 = 24.

В случаях, когда множитель больше пяти, широко используется прием разложения множителя  на слагаемое, так как здесь результат  умножения при помощи последовательного  сложения найти труднее:

4 × 9 = 4 × 4 + 4 × 5 = 36

Чтобы сделать  для детей вычислительные приемы вполне понятными, надо проработать  их внимательно и неторопливо, конкретизируя  каждый такой прием при помощи наглядных пособий. В этих целях широко используют предметный дидактический материал – карточки с изображением на них предметов парами, тройками и группами; прямоугольники, разделенные на квадраты; рисунки из учебника. При составлении и усвоении таблицы каждый раз обращается внимание не только на правильность полученного ответа, но и на то, как он получен, какие еще могут быть способы вычисления того же результата, какой из них более рациональный. Если ученик затрудняется назвать произведение чисел, ему напоминают предшествующую строчку. Зная результат этой строчки (или получив его от учителя), он находит заданное произведение, пользуясь приемом составления таблиц. В процессе вычислений учащиеся постепенно запоминают наизусть многие табличные произведения, но это достигается не путем механической зубрежки, а многократным применением многообразных вычислительных приемов. Наряду со способами сознательного усвоения таблицы в процессе вычислений нужно использовать и различные средства, способствующие лучшему усвоению и запоминанию. Например, основную работу по запоминанию таблиц необходимо проводить на уроках. Правда, для закрепления навыков табличного умножения требуются длительная и разнообразная тренировка, дифференцированная система заданий. Однако следует иметь в виду, что при работе над запоминанием таблицы умножения прибегать к вычислительным приемам нужно лишь в случаях возникновения ошибок.

Приведу примеры некоторых заданий по усвоению и запоминанию таблицы умножения. На практике мы убедились, что для лучшего запоминания таблицы полезным является ее зрительное восприятие. В своем классе я широко использовала не только демонстрационные таблицы, но и индивидуальные, которые изготавливаются на уроках труда. Чтение таблицы отдельными учениками и всем классом можно также использовать, так как некоторые произведения звучат ритмично и поэтому легко запоминаются при чтении (пятью пять – двадцать пять). Для лучшего запоминания таблицы полезно представить ее в таком виде, чтобы учащиеся могли сразу охватить весь тот материал, который они должны знать наизусть. С этой целью все табличные произведения группируются по десяткам (делается это на плакате, и по мере запоминания он вывешивается перед учащимися по частям или целиком):

Пользоваться этим плакатом легко. Учитель показывает одну из горизонтальных строчек, а учащиеся показывают числа, от умножения которых получены данные произведения. Например, они отвечают: “32 получается от умножения 4 на 8; 36 – 6 на 6 или 4 умножить на 9; 45 – 5 умножить на 9” и так далее. Отмечая в каждом ряду те случаи, которые трудно запомнить детям, я стараюсь в дальнейшем чаще возвращаться к ним в процессе вычислений.

Следующий прием – устный опрос по таблице, сначала последовательный, затем выборочный (с предъявлением задания на слух: 7 × 5 = ?) с постоянным обратным вопросом: “Сколько будет, если 35 разделить на 5?” – не нарушает ценности сознательного усвоения, так как не предшествует вычислениям, а следует за ними. Избегая однообразия приемов при проверке усвоения таблицы, можно широко использовать такие игры, как: “У кого больше примеров?” Содержание игры. Учащимся предлагается составить и записать табличные случаи умножения со следующими числами: 35, 48, 81 и т.д. Примеры составляются в тетрадях. Проверка осуществляется так: один из учеников читает примеры с ответом 35, остальные подчеркивают у себя примеры с этим ответом. Выигрывает тот, кто составит больше примеров.

“Проверь  себя!” Содержание игры. Учащиеся считают от 1 до 40 по одному. Вместо чисел, которые делятся, например, на 2, они говорят: “Не скажу!” На заключительном этапе усвоения и запоминания таблицы умножения большое внимание уделяется самостоятельной работе. Например, им предлагаются задания:

1. Запиши  действие умножения, используя  любые однозначные числа. Произведи  обратные действия с этими числами (1–2 столбика).

2. Продолжи  таблицу умножения до тех пор,  пока произведение не будет равно 40. (Дано: 4 × 5.)

3. Запиши  только ответы таблицы умножения  на 7.

4. Запиши  произведение чисел, от умножения  которых получится  18, 24, 42, 72.

Как показывает практика, учащиеся значительно больше допускают ошибок при делении  чисел. Объясняется это чаще всего  тем, что не всем понятно, что результат деления можно брать из таблицы умножения. Поэтому важным моментом в изучении табличного умножения и деления является установление связи между этими действиями, а также взаимосвязи между компонентами и результатами действий. Эти знания учащиеся приобретают еще до составления таблицы умножения, поэтому необходимо обеспечить полную осознанность теории при изучении этих вопросов. В учебнике имеются разнообразные упражнения, позволяющие раскрыть эту связь. Необходимо только в процессе выполнения этих упражнений чаще подводить детей к обобщениям. Например, на уроке учащиеся выполнили три различных упражнения:

1. По  рисунку составили пример на  умножение и два примера на  деление (рисунок дан).

2. Решили  и объяснили, как можно получить  второй и третий примеры из  первого, сделали запись:

5 × 3 = 15

15 : 3 =

15 : 5 =

3. Используя  числа 2, 7 и 14, составили пример на умножение и два примера на деление.

После выполнения каждого задания при проверке дети формулировали вывод: “Если  произведение разделим на один из множителей, то получим второй множитель”. Правда, только этого вывода мало, надо еще  сравнить все эти задания и  подвести детей к выводу о том, что, хотя они и выполнили разные задания, их сущность одинакова. Я убедилась, что для лучшего запоминания таблиц полезно зрительное восприятие записанных рядом примеров:

6 × 7 = 42    42 : 6 = 7    42 : 7 = 6

В случае, когда ученик допускает ошибку в  табличном делении, необходимо предложить ему найти в таблице умножения соответствующую строку. Слабоуспевающим ученикам некоторое время при решении примеров на деление разрешается пользоваться таблицей умножения.

2. Смысл действия умножения

Действие  умножения рассматривается как  суммирование одинаковых слагаемых. А также умножение – это математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором. [8, с 176] По определению умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) – это действие, выполняющееся по следующим правилам:

а × b= a + a + a + a + a +…+a, при b > 1

a × 1= a, при b = 1

a × 0= 0, при b = 0

Использование символики умножения позволяет  сократить запись сложения одинаковых слагаемых. Запись вида 2 × 4 = 8 подразумевает сокращение записи вида 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8». Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.

С теоретико–множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно. [1 ,с 138]

Изучение  таблицы умножения является центральной  задачей обучения математике во 2 и 3 классе. Знание табличных случаев должно быть доведено до автоматизма, так как только в этом случае учащиеся смогут успешно справиться с устными вычислениями при умножении и делении двузначного числа на однозначное, при делении двузначного числа на двузначное, а также с письменными случаями умножения и деления. Но это не значит, что дети должны механически зубрить готовые таблицы. Речь идет о формировании сознательных навыков, основанных на понимании смысла действий умножения и деления; на умении применять переместительное свойство умножения; на усвоении взаимосвязи между компонентами – и результатом действия умножения. [6, с 74] К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых). Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения. Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.

Например:

Умножение числа 2

Вычисли и  запомни: O O

2 + 2 2 * 2 O O

2 + 2 + 2 2 * 3 O O

2 + 2 + 2 + 2 2 * 4 O O

2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 * 5 O O

Расположенный рядом рисунок помогает ребенку  получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне' приемлем, и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.

При значении второго множителя больше 5, удобнее  использовать для получения результатов  табличных значений другой прием: прием  прибавления к предыдущему результату.

Например:

Вычисли и запомни:

2 × 6 = 2 × 5 + 2 =...

2 × 7 = 2 × 6 + 2 =…

2 × 8 = 2 × 7 + 2 =…

2 × 9 = 2 × 8 + 2 =...

Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.

Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей. Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:

От перестановки множителей произведение не меняется.

Способ  знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным  смыслом действия умножения. Используя  предметные модели множеств, дети сосчитывают  результаты группировки их элементов  разными способами, убеждаясь, что  результаты не меняются от изменения  способов группировки.

Например: O O 2 × 3 = 6

O O 3 × 2 = 6

O O

Счет  элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.

Для запоминания  таблицы умножения существуют такие  приемы как:

– прием счета двойками, тройками, пятерками;

– прием последовательного сложения – основной прием получения результатов табличного умножения. Данный прием связан со смыслом действия умножения как сложения одинаковых слагаемых;

– прием прибавления слагаемого к предыдущему результату (вычитания из предыдущего результата).

– прием взаимосвязанной пары: 2 × 6 × 6 × 2 (перестановка множителей);

– прием запоминания последовательности случаев с ориентиром на возрастание второго множителя;

– прием «порции»;

– прием запоминающегося случая в качестве опорного. Например, 5 × 6 = 30, значит 5 × 7 = 30 + 5 = 35;

– прием внешней опоры; В качестве опоры используется рисунок или прямоугольная таблица чисел. Детям, которые обладают плохой механической памятью, можно па первых порах предложить использовать клетчатое поле тетради. Обводя на клетчатом поле прямоугольник с заданным количеством клеток в сторонах, ребенок использует эту модель для контроля полученного результата или просто подсчитывает клетки как умеет. Например:

4 × 5 = 20

– прием запоминания таблицы «с конца»;

– пальцевый счет при запоминании таблицы умножения. Например, нужно умножить 6 на 7. Зажимаем пальцы на обеих руках в кулак, а затем на каждой руке отгибаем столько пальцев, на сколько каждый множитель больше, чем пять. На двух руках отогнуто три пальца – это число десятков в искомом числе. На одной руке остались прижатыми к ладони три пальца, на другой – четыре пальца. Эти числа перемножаем 3 × 4 = 12 и прибавляем к числу имеющихся десятков 30 + 12 = 42. Ответ: 6 × 7 = 42.

3. Смысл действия деления

Действие  деления рассматривается в начальной  школе как действие, обратное умножению. Деление – это обратное умножению математическое действие: нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. [10, с 944] С теоретико–множественной точки зрения смыслу деления соответствует операция разбиения множества на равночисленные подмножества. Таким образом, процесс нахождения результатов действия деления связан с предметными действиями двух видов:

а) разбиение  множества на равные части (например, 8 кружков разложили в 4 коробки поровну - раскладывают 8 кружков по одному в 4 коробки, а затем считают, сколько кружков получилось в каждой коробке);

б) разбиение множества на части по сколько – то в каждой части (например, 8 кружков разложили в коробки по 4 штуки – раскладывают 8 кружков по 4 штуки в коробки, а затем считают, сколько получилось коробок; деление по этому принципу в методике называют «деление по содержанию»).

Используя подобные предметные действия и рисунки, дети находят результаты деления.

Выражение вида 12 : 6 называют частным. Число 12 в этой записи называют делимым, а число 6 – делителем. Запись вида 12 : 6 = 2 называют равенством. Число 2 называют значением выражения. Поскольку число 2 в данном случае получено в результат деления, его также называют частным.

В начальной  школе действие деления рассматривают  как действие обратное умножению. В связи с этим сначала дети знакомятся со случаями деления без остатка в пределах 100 – так называемым табличным делением. С действием деления дети знакомятся после того, как уже выучили наизусть таблицы умножения чисел 2 и 3. На основе знания этих таблиц уже на четвертом уроке после знакомства с делением, составляется первая таблица деления на 2. Для получения ее значений используют предметный рисунок.

2 : 2 =…     8 : 2 =…     14 : 2 =…

4 : 2 =…     10 : 2 =…   16 : 2 =…

6 : 2 =…     12 : 2 =…   18 : 2 =…

Значения  частных в этой таблице получают подсчетом элементов рисунка на картинке.

Приемы  запоминания табличных случаев  деления связаны со способами получения таблицы деления из соответствующих табличных случаев умножения.

– прием, связанный со смыслом действия деления. При небольших значениях делимого и делителя ребенок может либо произвести предметные действия для непосредственного получения результата деления, либо выполнить эти действия мысленно, либо использовать пальцевую модель.

– прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов умножения и деления. В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимосвязанной тройки случаев, например:

3 × 7 = 21    21 : 7 = 3     21 : 3 = 7

Если  ребенку удается хорошо запомнить  один из этих случаев (обычно опорный – это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов запоминания таблицы умножения, то, используя правило «если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий табличные случаи. [1, с 138]

Таким образом, при изучении действия умножения  и деления ученикам необходимо знать  смысл действия умножения и деления, табличные случаи умножения и  деления.

ГЛАВА 2 УЧЕБНИК  МАТЕМАТИКИ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ ТАБЛИЧНОМУ УМНОЖЕНИЮ И ДЕЛЕНИЮ

2.1 Общая  характеристика учебника математики  Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких

Данный  курс создан на основе личностно ориентированных, деятельностно ориентированных и культурно ориентированных принципов, сформулированных в образовательной программе «Школа 2100», основной целью которой является формирование функционально грамотной личности , готовой к активной деятельности и непрерывному образованию в современном обществе, владеющей системой математических знаний и умений, позволяющих применять эти знания для решения практических жизненных задач, руководствуясь при этом идейно–нравственными, культурными и этическими принципами, нормами поведения, которые формируются в ходе учебно - воспитательного процесса.

Важнейшей отличительной особенностью данного  курса с точки зрения содержания является включение наряду с общепринятыми  для начальной школы линиями  «Числа и действия над ними», «Текстовые задачи», «Величины», «Элементы геометрии», «Элементы алгебры», ещё и таких содержательных линий, как «Стохастика» и «Занимательные и нестандартные задачи». Кроме того, следует отметить, что предлагаемый курс математики содержит материалы для системной проектной деятельности и работы с жизненными (компетентностными) задачами. Цели обучения в предлагаемом курсе математики в 1–4 классах, сформулированные как линии развития личности ученика средствами предмета:

– уметь использовать математические представления для описания окружающего мира (предметов, процессов, явлений) в количественном и пространственном отношении;

– уметь производить вычисления для принятия решений в различных жизненных ситуациях;

– уметь читать и записывать сведения об окружающем мире на языке математики;

– уметь формировать основы рационального мышления, математической речи и аргументации;

– уметь работать в соответствии с заданными алгоритмами;

– уметь узнавать в объектах окружающего мира известные геометрические формы и работать с ними;

– уметь вести поиск информации (фактов, закономерностей, оснований для упорядочивания), преобразовать её в удобные для изучения и применения формы.

В результате освоения предметного содержания предлагаемого  курса математики у учащихся предполагается формирование универсальных учебных действий (познавательных, регулятивных, коммуникативных) позволяющих достигать предметных, метапредметных и личностных результатов. Познавательные: в предлагаемом курсе математики изучаемые определения и правила становятся основой формирования умений выделять признаки и свойства объектов. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у учеников формируются основные мыслительные операции (анализа, синтеза, классификации, сравнения, аналогии и т.д.), умения различать обоснованные и необоснованные суждения, обосновывать этапы решения учебной задачи, производить анализ и преобразование информации (используя при решении самых разных математических задач простейшие предметные, знаковые, графические модели, таблицы, диаграммы, строя и преобразовывая их в соответствии с содержанием задания). Решая задачи, рассматриваемые в данном курсе, можно выстроить индивидуальные пути работы с математическим содержанием, требующие различного уровня логического мышления. Отличительной особенностью рассматриваемого курса математики является раннее появление (уже в первом классе) содержательного компонента «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей», что обусловлено активной пропедевтикой этого компонента в начальной школе. Регулятивные: математическое содержание позволяет развивать и эту группу умений. В процессе работы ребёнок учится самостоятельно определять цель своей деятельности, планировать её, самостоятельно двигаться по заданному плану, оценивать и корректировать полученный результат (такая работа задана самой структурой учебника).

Коммуникативные: в процессе изучения математики осуществляется знакомство с математическим языком, формируются речевые умения: дети учатся высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, формулировать вопросы и ответы в ходе выполнения задания, доказательства верности или неверности выполненного действия, обосновывают этапы решения учебной задачи. Работая в соответствии с инструкциями к заданиям учебника, дети учатся работать в парах, выполняя заданные в учебнике проекты в малых группах. Умение достигать результата, используя общие интеллектуальные усилия и практические действия, является важнейшим умением для современного человека.

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике решаются комплексно. В основе методического аппарата курса лежит проблемно–диалогическая технология, технология правильного типа читательской деятельности и технология оценивания достижений, позволяющие формировать у учащихся умение обучаться с высокой степенью самостоятельности. При этом в первом классе проблемная ситуация естественным образом строится на дидактической игре. Предлагаемый учебно–методический курс также обеспечивает интеграцию в математике информационных технологий. Предполагается, что в расписании курса математики может иметь постоянное место компьютерный урок в специально оборудованном классе, где может происходить работа с цифровыми образовательными ресурсами по математике, созданного на основе учебников по данному курсу.

2.2 Общая характеристика математики Л.Г. Петерсон

Курс  математики Л.Г. Петерсон ориентирован на личностное развитие ребенка, поэтому математические знания рассматриваются не как самоцель, а как средство развития мышления детей, их чувств и эмоций, творческих способностей и мотивов деятельности. Реализация этой цели требует выполнения таких задач: 1) обучение деятельности-умению ставить цели, организовывать свою деятельность для их достижения и оценивать результаты своих действий; 2) формирование личностных качеств; 3) формирование картины мира адекватной современному уровню знаний и уровню образовательной программы. Поставленная цель реализуется посредством использования дидактической системы деятельностного метода, разработанной в программе «Школа 2000...». Технология деятельностного метода и дидактические принципы программы «Школа 2000...» синтезируют идеи развивающего обучения (П.Я. Гальперин, Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Н.Я. Виленкин и др.).

Принципы  обучения

1. Принцип  деятельности. Формирование личности  ученика и продвижение его в развитии осуществляется не тогда, когда он воспринимает готовое знание, а в процессе его собственной деятельности, направленной на «открытие» им нового знания. Основным механизмом реализации целей и задач развивающего обучения является включение ребенка в учебно-познавательную деятельность. Обучение, реализующее принцип деятельности, называют деятельностным подходом.

2. Принцип  целостного представления об  окружающем мире. У ребенка должно  быть сформировано обобщенное, целостное представление о мире (природе – обществе – самом себе), о роли и месте каждой науки в системе наук. Этот принцип тесно связан с принципом научности в традиционной системе. Однако речь здесь идет не просто о формировании научной картины мира, но и о личностном отношении учащихся к полученным знаниям, а также об умении применять их на практике.