Основные виды чисел и формирование понятия об арифметических действиях

Оглавление

Введение

1. Основные виды чисел и формирования понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами

1.1. Историческая справка

1.2. Основные виды чисел

1.3.  Натуральные числа

1.4. Арифметические действия над натуральными числами

1.5. Рациональные числа

1.6. Арифметические действия над натуральными числами

2. Практические задачи по теме «Основные виды чисел и формирования понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами»

2.1. Натуральные числа

2.2. Рациональные числа

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Заключение

Список использованной литературы:

Приложение

Введение

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Актуальность темы обусловлена тем, что для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел.

Цель  данной работы – проанализировать основные виды чисел и сформировать понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами. Для  достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:

- рассмотреть основные виды чисел, а именно: натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные;

-  раскрыть свойства натуральных и рациональных чисел, их множество, запись и аксиомы;

- подробно разобрать арифметические действия над натуральными и рациональными числами, такие как сложение, умножение, вычитание, деление и натуральная степень числа;

-  рассмотреть примеры с подробными решениями;

-  подобрать задачи для самостоятельного решения.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы в курсовой работе использовались следующие методы исследования:

-  теоретический анализ математической, историко-математической литературы и научных изданий;

- анализ и обобщение знаний, полученных многими учеными в процессе развития науки математика;

-  подробное рассмотрение формул, аксиом и законов, на которых строится научный материал по заданной теме;

-  подробный разбор примеров заданий с решениями.

Структура и содержание данной работы состоят в следующем: курсовая работа состоит из введения; двух глав, первая из которых содержит теоретический анализ материала, вторая – практическое решение задач и заданий для самостоятельного решения; заключения, приложения и библиографического списка.

1. Основные виды чисел и формирования понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами

1.1. Историческая справка

Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4, … и так далее, возникли еще в доисторические времена из потребности счета конкретных предметов.

Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и тому подобное. Эта задача в процессе развития человеческого общества была постепенно достигнута параллельно с развитием письменности: понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в знаменитых памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда

Появление дробных (положительных рациональных) чисел был связано с необходимостью производить измерения, т.е. процедуру, в которой какая-либо величина сравнивается с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона (единицы измерения). Но так как единица измерения не всегда укладывалась в целое число раз в измеряемой величине, и пренебречь этим обстоятельством в ряде случаев было нельзя, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, нежели натуральные. Это и было источником возникновения наиболее «простых» дробей, таких как половина, треть, четверть и т. д. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже не только непосредственной практической деятельностью человека, но и следствием развития математики.

Число – это важнейшее математическое понятие. Возникновение понятия натурального числа относится к первобытному обществу, и было обусловлено необходимостью счета в практической деятельности человека. Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало – число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали, и в языке первобытных народов существовали различные словесные обороты для обозначения числа разных предметов. Отвлеченное понятие натурального числа (т.е. числа, не связанного с пересчетом конкретных предметов) появляется и закрепляется вместе с развитием письменности и введением для обозначения чисел определенных символов.

Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Отрицательные числа систематически употреблялись индийскими математиками еще в VI – XI веках. В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь после работ Р.Декарта в XVII веке, давшего их геометрическое истолкование.

Множество рациональных чисел оказывается достаточным для удовлетворения большинства практических потребностей – с помощью рациональных чисел измерения можно выполнять с любой степенью точности.

Дальнейшее расширение понятия числа произошло в XVII веке в период зарождения современной математики, когда возникла необходимость ввести четкое определение понятия числа. Такое определение было дано одним из основоположников математического анализа И.Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка дает единое определение действительного числа, как рационального, так и иррационального. (О существовании несоизмеримых отрезков, отношение которых есть число иррациональное, было известно еще ученым Древней Греции.) В дальнейшем, в 70-х годах XIX века строгая теория действительного числа была развита в работах Р.Дедекинда, Г.Кантора и К.Вейерштрасса.

Основными математическими объектами с незапамятных времен являются числа, множества и элементы множества, их свойства. Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Современная математика оперирует несколько другими математическими понятиями. Если внимательно проанализировать их суть, то они в общем–то являются эквивалентными или изоморфными понятиям "число", "множество", "отображение", "свойство".

В теоретико–множественном смысле числа являются классом множеств с определенными свойствами. Эти свойства выражаются через тип упорядоченности, размерность, топологические и метрические свойства основанных на них множеств. Основное свойство чисел – это их мощность, которая может быть конечной, счетной или континуальной. Соответственно, числа могут быть представителями любого класса множеств с подходящей мощностью. Даже множества с мощностью больше континуума можно представить как множество всех функций, определенных на числовом множестве. В этом проявляется универсальность понятия "число".

Другое важное свойство чисел – это их размерность. Есть несколько классов чисел с различающимися свойствами. Есть линейные (одномерные) числа – это натуральные N, положительные N+, целые Z, рациональные R и вещественные Q числа. Есть составные многомерные или гиперкомплексные числа – это комплексные числа C, кватернионы H, бикватернионы B, невырожденные квадратные матрицы M, числа Клиффорда K и другие.

Выводы:

В параграфе 1.1. были рассмотрены следующие вопросы:

-  история появления и развития определения числа;

-  задачи арифметики;

-  расширение понятия числа;

-  основные математические объекты – числа;

-  размерность чисел.

1.2. Основные виды чисел

Самыми простыми числами являются целые, рациональные, вещественные и комплексные числа. Они коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

Основными видами чисел, обладающими похожими свойствами, являются четыре вида чисел. Это действительные числа, комплексные, кватернионы и октавы. Коммутативность умножения для последних двух видов чисел не выполняется. Но они все обладают алгебрами без делителей нуля.

Дальнейшие расширения чисел могут не иметь и свойство ассоциативности. Дистрибутивность соблюдается.

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N. Таким образом, (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N = {0, 1, 2, 3, …}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {–2, –1, 0, 1, 2, …}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа C, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — так называемая мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: N  Z  Q  R  C.

Гипердействительные числа – это числа вида

1)      a + e, где a – обычное число, a - бесконечно малое число;

2)      ∞ = 1/e – бесконечно большое число.

Гипердействительные числа не являются числами в обычном понимании. Они применяются во многих разделах математики, особенно в дифференциальном и интегральном исчислениях, а также везде, где используются предельные числовые последовательности, даже при определении вещественных чисел.

Выводы:

В параграфе 1.2. были рассмотрены:

-  общие сведения об основных видах чисел;

-  натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа, их представление, обозначение и особенности;

-  гипердействительные числа.

1.3.  Натуральные числа

Понятия "число" и "элемент множества" появилось у человечества в связи с необходимостью счета и различения различных предметов. Множество чисел, необходимых для этого, объединяются понятием "натуральные числа" – N+. Обычно под натуральными числами понимаются числа от единицы до бесконечности. Иногда к ним присоединяется и число "ноль". Число "ноль" означает отсутствие чего–бы то ни было в счете.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

        Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

        Натуральные числа имеют две основные функции: характеристика количества предметов и характеристика порядка предметов, размещенных в ряд. В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Четыре аксиомы натуральных чисел:

1) существует минимальное натуральное число "единица" = 1, но иногда это число "ноль" = 0. Они отличаются своими свойствами.

2) для каждого числа существует единственное следующее число: a → a'. Отношение «следующее число» является отношением частичного порядка.

3) Можно определить и понятие единственного «предыдущего числа», но оно определено не для всех чисел: минимальное число не имеет предыдущего числа.

4) Закон дедукции: если какое–то утверждение верно для числа n, и из этого следует, что оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для любого большего числа (закон дедукции).

Свойства натуральных чисел:

Для натуральных чисел определены понятия "сложение чисел" и "умножение на число". Интуитивно они понятны каждому человеку, знакомому со счетом. Эти операции определены индуктивно на основе соотношений, присущих числам 0 и 1:

Для числа "единица" = 1 определены свойства:

1) a + 1 = a' – это определение следующего числа;

2) a ∙ 1 = a.

Для числа "нуль" = 0 определены свойства:

3) a + 0 = a (при наличии нуля во множестве натуральных чисел. Но ноль необходимо ввести во множество натуральных чисел, чтобы было решение уравнения a + x = a. Такое множество чисел называется множеством положительных чисел);

4) a ∙ 0 = 0;

5) отсутствие делителей у нуля.

Обратных элементов по этим операциям нет, и поэтому это множество является моноидом по этим операциям.

Операции "сложение чисел" и "умножение на число" обладают свойствами:

6,7) коммутативности: a  b = b a;

8,9) ассоциативности: (a b) c = a (b c);

10) дистрибутивности: (a + b) ∙ c = a ∙ с + b ∙ c.

Множество натуральных чисел обладает нейтральными элементами по обеим операциям:

На множестве натуральных чисел определено отношение порядка < со стандартными свойствами. Это отношение определяется на основе свойства, которым обладает отношение «следующее число» по закону индукции на основе транзитивности отношения:

15) a < a’.

Свойства этого отношения:

a) a, b  Q: (a b)  (b  a)  a = b;

b) x, y, z  Q: (x < y)  (y < z) → x < z (транзитивность порядка);

Они являются логическими утверждениями.

В теоретико–множественном смысле множество натуральных чисел счетно. Это определение в принципе тавтология, потому что счетность определяется через изоморфность множеству натуральных чисел.

Запись натуральных чисел:

При записи чисел у разных народов в разные времена применялись разные способы записи чисел. В их основе применялись позиционные и непозиционные способы записи чисел. В современном мире применяется позиционный десятичный способ записи натуральных чисел. Способ записи чисел называют нумерацией или счислением.

В основе современного позиционного способа записи чисел лежит способ, применяемый в древней Индии, с помощью десяти цифр. Вначале индийских цифр было всего 9: 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифра 0 появилась заметно позже, – скорее всего, около 500 года нашей эры. А поначалу, если оказывалось, что в каком–то разряде нет единиц, то между соседними разрядами оставляли пробел. Например, число 209 писали так: 2 9. Понятно, что при подсчете таких пробелов очень легко ошибиться. Чтобы избавиться от этих неприятностей, сначала вместо пустого разряда стали ставить точку, а потом – маленький кружочек, который постепенно превратился в цифру 0.

Согласно этому способу, любое натуральное число записывается в виде:

xn xn–1 … x2 x1;

где x – одно из десяти цифр. Число n показывает вес соответствующей позиции:

N(xn) = xn·10n–1.

А само число может быть найдено в соответствии с формулой:

N(xnxn–1… x2x1) = xn·10n–1 + xn–1·10n–2 + … + x2·101 + x1·100.

Несмотря на то, что натуральных чисел бесконечное множество и то, что мы можем записать только не бесконечно большие числа, можно считать, что мы можем записать любое число указанным выше способом, потому что любое число явно не бесконечное и запись ее будет содержать конечное число символов.

Множество натуральных чисел:

Натуральные числа – это числа, используемые для счета:

1,2,3,4,…,n,…                                                (1)       

Из любых двух соседних чисел в записи (1) число, стоящее справа, называется последующим относительно числа, стоящего слева.

Натуральные числа (1) образуют множество, называемое множеством натуральных чисел. Множество всех натуральных чисел обозначается символом  N:

N = {1; 2; 3; …; n;…}.

Множество натуральных чисел является упорядоченным множеством, т.е. для любых двух натуральных чисел m и n имеет место одно из следующих соотношений:

либо m=n (m равно n),

либо m<n (m меньше n),

либо n<m (n меньше m).

Наименьшим натуральным числом является 1 (единица).

Выводы:

В параграфе 1.3. были рассмотрены:

-  применение термина «натуральное число»;

-  четыре аксиомы натуральных чисел;

-  свойства натуральных чисел;

-  запись натуральных чисел;

-  множество натуральных чисел.

1.4. Арифметические действия над натуральными числами

В множестве натуральных чисел вводятся две основные арифметические операции – сложение и умножение. Для обозначения этих операций используются соответственно символы + и   или .

Сложение натуральных чисел.

Каждой паре натуральных чисел (n; p) ставится в соответствие натуральное число s, называемое из суммой. Сумма s состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах n и p. О числе s говорят, что оно получено в результате сложения чисел n и p, и пишут

s=n+p.                                                         (2)

Числа n и p в записи (2) называются слагаемыми. Операция сложения натуральных чисел подчинена правилам:

1)     коммутативность: n+p = p+n ;

2)     ассоциативность: (n+p)+k = n+(p+k).

Умножение натуральных чисел.

Каждой упорядоченной паре натуральных чисел (n; p) ставится в соответствие натуральное число m, называемое их произведением. Произведение m состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числе n, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе p. О числе m говорят, что оно получено в результате умножения чисел n и p, и пишут

m = np или m = np.                                          (3)

Числа n и p в записи (3)называются сомножителями.

Операция умножения натуральных чисел подчинена правилам:

1)     коммутативность: np = pn;

2)     ассоциативность: (np) k = n(pk).

Операции сложения и умножения натуральных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

(n+p) k = nk + pk.

Таким образом, сумма и произведение любых двух натуральных чисел опять будут натуральными числами. Поэтому говорят, что множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

          Вычитание натуральных чисел. 

Вычитание натуральных чисел есть операция, обратная сложению, т.е. соответствие, которое паре натуральных чисел (n; p) относит такое натуральное число r, что

n = p + r.

О числе r говорят, что оно получено в результате вычитания числа p из числа n, и пишут

r = n – p.

Число r называется разностью чисел n и p; число n в записи называется уменьшаемым, а число p – вычитаемым.

В множестве натуральных чисел разность двух натуральных чисел r=n–p существует тогда и только тогда, когда n  > p; поэтому говорят, что множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания.

Деление натуральных чисел. 

Деление натуральных чисел есть операция, обратная умножению, т.е. соответствие, которое паре натуральных чисел (n; p) относит такое натуральное число q, что

n = p  q.

О числе q говорят, что оно получено в результате деления числа n на число p, и пишут

q = , или q = n / p, или q = n : p.

Число q называется частным натуральных чисел n и p; число n называется делимым, a число p – делителем.

В множестве натуральных чисел частное определено не для любой пары натуральных чисел (n; p), т.е. множество натуральных чисел не замкнуто относительно операции деления. Так, например, положим n = 7, p = 2. Для этой пары натуральных чисел нельзя подобрать такого натурального числа q, чтобы выполнялось равенство

7 = 2 q.

Выводы:

В параграфе 1.4. были рассмотрены:

-  символы (знаки) арифметических операций;

-  сложение натуральных чисел;

-  умножение натуральных чисел;

-  вычитание натуральных чисел;

-  деление натуральных чисел.

1.5. Рациональные числа

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом.

Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности.

Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в XIX в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел.

Рациональными называются числа вида , где на множестве Q рациональных чисел выполняются все 4 арифметические действия. Число , где n0, называют обыкновенной дробью, при этом m называется числителем дроби, а n - её знаменателем.

Среди положительных различают правильные и неправильные обыкновенные дроби. Всякую неправильную дробь можно записать в виде суммы натурального числа и правильной дроби или в виде натурального числа. В такой записи не используют знака «+», а число, записанной таким образом, называют смешанным.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель называется сокращением дроби. Дробь называется несократимой, если её числитель и знаменатель – взаимно простые числа (их НОД равен 1). Всякую дробь можно записать в виде несократимой дроби. Все целые числа являются рациональными.

Каждая обыкновенная дробь может быть единственным образом представлена в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть единственным образом представлена в виде обыкновенной дроби. Следовательно, справедливо определение: всякая бесконечная периодическая десятичная дробь называется рациональным числом.

Выводы:

В параграфе 1.5. были рассмотрены:

-  понятие рационального числа;

-  свойство замкнутости совокупности рациональных чисел;

-  основное свойство дроби;

-  определение рационального числа. 

1.6. Арифметические действия над натуральными числами

Как известно, две дроби и равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk

Очевидно, что для любого целого числа r0:

                                                 = 

Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов.

В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль).

Сумма двух рациональных чисел  и определяется формулой:

+ = .

Произведение двух рациональных чисел  и определяется формулой:

 = .

Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1/3 = 2/6 = 3/9 =   ...  ),    следовало бы показать, что  сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители.

При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:

1) коммутативный  (переместительный) закон сложения: