Введение в физику

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования 

ТУЛЬСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

Кафедра физики 
 
 

Конспект  по дисциплине «Введение в физику» 
 
 

     Выполнил  студент гр.660702с__________Усков Д.А.

Принял:__________________                     Левин Д.М. 
 
 
 
 
 

Тула 2012

Равенство векторов.

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют  равные модули.

Иначе, .

Равные  векторы можно обозначать одной  буквой (с чертой или со стрелкой): . В этом случае говорят, что вектор ā отложен от точки А. Если , то говорят, что вектор ā отложен от точки С. Таким образом, любой вектор можно отложить от любой точки пространства S.

Замечание. На самом деле, понятие равенства  векторов расширяет само понятие  вектора. Если первоначально под  вектором мы понимали упорядоченную  пару точек пространства S, т.е. направленный отрезок, то теперь под вектором мы будем понимать множество  всех направленных отрезков, сонаправленных друг с другом и имеющих одинаковую длину. Если один и тот же вектор отложить от двух различных точек, например, , то направленный отрезок   можно совместить с направленным отрезком    с помощью параллельного переноса. Часто направленные отрезки и   называются представителями одного и того же вектора ā.

Сложение  векторов.

Сложение  двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника. 

Правило треугольника. Для сложения двух векторов  и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов  и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

А модуль (длину) вектора суммы |u+v| = u+v  определяют по теореме косинусов 

|u+v| = sqrt(|u|² + |v|² - 2*|u|*|v|*cos a) 

где a —  угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула 

|u+v| = sqrt(|u|² + |v|² + 2*|u|*|v|*cos a) 

теперь a — угол между векторами, выходящими из одной точки.

Сложение  двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых  они расположены, пересекаются. Тогда  каждый из векторов переносится вдоль  своей прямой в точку пересечения  этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение  двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют  общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма. 

Умножение вектора на скаляр 

Умножение вектора а на скаляр m даёт вектор, модуль которого в m раз отличается от модуля вектора а, и направленный в сторону а, если m > 0 и в противоположную, если m < 0. Символически эта операция записывается в виде равенства, например, 

с = ma. 

 Рисунок 1 иллюстрирует эту операцию.

Рис.1 

 Рассматриваемая  операция удовлетворяет соотношению 

m (a + b) = ma + mb. 

 В  этом случае говорят, что умножение  вектора на скаляр дистрибутивно,  то есть для него выполняется  распределительный закон.  

 В  векторной алгебре рассматривается  не только умножение вектора  на скаляр, но и умножение векторов. Следует иметь в виду, что возможны  различные способы умножения  векторов. Из всего многообразия  этих способов мы рассмотрим  только два, поскольку они чаще  других применяются при изучении  физических явлений. 

Разность  двух векторов 

Разность  двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение  векторов

Векторным произведением вектора  на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними

• вектор  ортогонален каждому из векторов и
• вектор  направлен так, что тройка векторов  является правой.
• в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов  .

Обозначение:

Скалярное произведение

Скалярным произведением в векторном пространстве над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

для любых  и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное  линейное пространство со скалярным  произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Векторы в декартовой системе  координат

Пусть в пространстве задана точка O и три  некомпланарных вектора .

Декартовой  системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих  из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат  в направлении базисных векторов, называются осями координат –  осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси  координат, называют координатными  плоскостями.

Рассмотрим  в выбранной системе координат  произвольную точку M. Введём понятие  координаты точки M. Вектор , соединяющий начало координат с точкой M. называется радиус-вектором точки M.

Вектору  в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты  радиус-вектора точки M. называются координатами точки M. в рассматриваемой  системе координат. M(x,y,z). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично  определяются, декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе  координат каждая точка имеет  определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел  найдётся единственная точка, имеющая  эти числа в качестве координат.

Если  векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно  перпендикулярны, то система координат  называется декартовой прямоугольной  системой координат. В этом случае основные векторы принято обозначать буквами  , а оси координат Ox, Oy и Oz.

Таким образом, любой вектор в декартовой прямоугольной системе координат  можно записать в виде: .

Таблица основных неопределенных интегралов

Таблица производных простейших элементарных функций

Элементарные  функции — это все, что перечислено  ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что  заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные  элементарных функций:

Кинематика  поступательного  и вращательного  движения

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ УСКОРЕНИЯ И ИХ СВЯЗЬ  С ЛИНЕЙНОЙ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором  любая прямая жестко связанная с  телом перемещается параллельно  самой себе.

Все точки  тела движущегося поступательно  в каждый момент времени имеют  одинаковые скорости и ускорения, а  их траектории полностью совмещаются  при параллельном переносе, поэтому  кинематическое рассмотрение поступательного  движения абсолютно твердого тела сводится к изучению движения любой его  точки. В самом общем случае поступательно  движущееся тело обладает тремя степенями  свободы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Движение абсолютно твердого тела, при котором две его точки A и B остаются неподвижными, называется вращением, или вращательным движением  вокруг неподвижной прямой AB, называемой осью вращения.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси  все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны  ей. Тело, вращающееся вокруг неподвижной  оси, обладает одной степенью свободы. Его положение определяется заданием угла φ поворота из некоторого начального положения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Угловой скоростью вращения абсолютно  твердого тела называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы он совпадал по направлению с поступательным движением Буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом.

Линейная  скорость определяется по формуле Эйлера:

Наряду  с угловой скоростью вращения тела пользуются понятиями периода  и частоты вращения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Периодом вращения называется промежуток времени в течение которого тело, вращаясь с угловой скоростью ω, совершает один полный оборот. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частотой вращения называется число  оборотов, совершаемых телом за 1 секунду при равномерном вращении с угловой скоростью ω. 

В связи  с этим:

Угловым ускорением называется вектор ε равный первой производной по времени от угловой скорости или второй производной  от угла поворота:

При вращении тела вокруг неподвижной оси изменения  вектора ω обусловлены изменениями  его численного значения. 

Вектор  ε направлен вдоль оси вращения, в ту же сторону что и вектор ω при  при  движении равноускоренном и – в противоположную сторону при движении равнозамедленном.

Запишем функцию, связывающую угловые величины с линейными:

При равномерном  вращении ε = 0, ω = const, φ = φ0±ωt.

При равнопеременном  движении

Тангенциальное  и нормальное ускорение, радиус кривизны

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 2. Тангенциальное ускорение. 
 

 Направление  вектора тангенциального ускорения _т (см. рис.2) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное  ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис.2). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой _n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Радиус  кривизны. Нахождение радиуса кривизны траектории – одна из важных тем школьного курса физики, т.к. решение ряда задач динамики связано с нахождением радиуса кривизны траектории. Однако в курсе физики средней школы данная тема не выделяется в отдельную. В результате чего изучение темы в школе остаётся на уровне движения по окружности, причём зачастую равномерного.

Существует  несколько способов нахождения радиуса  кривизны, один из которых связан с  использованием дифференциального  исчисления, а другой основан на применении физических понятий. Первый метод не доступен учащимся 9 классов, в то время как второй – кинематический метод нахождения радиуса кривизны – опирается на основные понятия  базового школьного курса физики и не вызывает особых затруднений  у учащихся.

Основная  идея кинематического метода нахождения радиуса кривизны заключается в  том, чтобы геометрическую кривую представить  как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и  исследовать это движение методами кинематики и динамики.



Приближение участков криволинейной

траектории  дугами окружностей



Небольшой участок любой криволинейной  траектории всегда можно представить  как часть некоторой окружности. Радиус этой аппроксимированной окружности и называется радиусом кривизны траектории в данном месте. Поэтому выражение  для нормальной составляющей ускорения a_n=v²/R   можно использовать для определения радиуса кривизны траектории R. Величину 1/R называют кривизной траектории в рассматриваемой точке.

Таким образом, радиус кривизны траектории в  данной точке – это радиус такой  окружности, с элементарной дугой  которой совпадает участок криволинейной  траектории в малой окрестности  той точки, где находится движущаяся материальная точка.

Опираясь  на вышесказанное, можно сформулировать приблизительный алгоритм решения  задач по определению радиуса  кривизны траектории в данной точке:

1.  Определить  направление и величину скорости  тела V относительно Земли в данной  точке.

2.  Определить  направление и величину ускорения  тела в данной точке относительно  Земли а.

3.  Выделить  направление, перпендикулярное вектору  скорости, и спроецировать на  это направление вектор ускорения,  т.е. определить нормальную составляющую  полного ускорения a_n.

4.  Пользуясь  формулой a_n=v²/R  и полученными значениями V и a_n , определить радиус кривизны траектории в данной точке. 

Прямая  и обратная задачи кинематики

Задачи  кинематики. Описание движения в произвольной СО. Проанализируем произвольное прямолинейное движение в неподвижной системе отсчета  S. В мире событий оно описывается заданием графика движения  x = f(t) или непрерывной мировой линией произвольной формы. Представляют интерес задачи двух типов: прямая и обратная.  

• По известной мировой линии найти частные (дополнительные) характеристики движения - прямая задача кинематики.
• По известным частным характеристикам движения найти мировую линию частицы - обратная задача кинематики.

Прямая  задача кинематики. Непрерывность МЛ означает наличие в любой момент времени не только определенного значения координаты частицы, но и ее производной. Исходя из определения производной, имеем:  

x' = lim Dx/Dt  = dx/dt. 

Величина v_x = x' называется проекцией мгновенной скорости частицы на ось OX (в нашем случае - просто скоростью частицы) и характеризует направление развития процесса (направление движения вдоль оси OX). В общем случае приращение координаты dx за бесконечно малый промежуток времени dt , а, следовательно, и величина мгновенной скорости зависят от времени (см. рис. 3). На графике это проявляется в изменении тангенса угла наклона, образуемого касательной к МЛ и осью Ot.

Рис. 3. Мировая линия и мгновенная скорость. 

Аналогично  вводится понятие мгновенного ускорения: 

a_x = u_x'  = lim Du_x/Dt = du_x/dt. 

Мгновенное  ускорение показывает, как быстро изменится скорость при бесконечно малом изменении времени для  данного момента t.

На практике часто используется понятие средней  скорости

u_{x ср} = Dx/Dt. Средняя скорость не является полной характеристикой движения, т.к. ее значение зависит от Dt. Средняя скорость может быть как положительной, так и отрицательной.

В отличие  от средней скорости, путь s (расстояние вдоль траектории) и его приращение Ds за время Dt могут принимать только положительные значения. Средняя  путевая скорость равна: 

|u_{x ср}| = u_ср = Ds/Dt. 

Понятие среднего ускорения вводится с помощью  соотношения:  

   a_{x ср} = Du_x/Dt. 

Обратная  задача кинематики.  Рассмотрим, как найти график движения (МЛ) по известной зависимости скорости от времени. Из определения скорости найдем величину конечного перемещения частицы Dx за промежуток времени Dt:

(1.1)

Следовательно, положение частицы в любой  момент времени задается уравнением:

(1.2)

Значение  пути Ds, пройденного частицей за время Dt, можно найти, исходя из уравнения:

(1.3)

Используя полученные выражения и определения  средней скорости перемещения v_{x ср}  и средней путевой скорости v_ср,  найдем выражения для их расчета:

(1.4)

(1.5) 

Кинематика  вращательного движения 

Вращательным  называется движение, при котором  все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной  прямой – оси вращения.

1. Характеристики  вращательного движения. 

а) Угловая  скорость . 

Быстрота  вращения характеризуется угловой  скоростью  «омега», которая равна производной от угла поворота тела  по времени  

,

- угол поворота тела за малое  время . 

При равномерном  вращении его быстроту также описывают  частотой оборотов и периодом вращения . Частота оборотов равна числу оборотов, сделанных за единицу времени, 

,

- число оборотов за время  . Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2 , то  и 

.  

Период  вращения  - это время, за которое тело совершает один оборот. Т.к.

, 

то  .

рад/с , об/с , с .

Рис.4. 

б) Угловое  ускорение  . 

Угловое ускорение  «эпсилон» равно производной от угловой скорости по времени , 

,  

 - изменение угловой скорости за время . 

Векторы и направлены по оси вращения тела; вектор угловой скорости  направлен в сторону хода правого винта при вращении винта в направлении вращения тела (рис.3). При ускоренном вращении тела направления векторов  и совпадают, при замедленном – противоположны. 

Связь линейных и угловых  величин в кинематике

Понятно, что линейные и соответствующие  им угловые величины должны быть определенным образом связаны между собой. Найдем эти связи.

Рис. 5. 

При повороте радиуса, проведенного в точку М (см. рис. 5), на угол φ точка пройдет по дуге окружности путь

  . (1) 

За малое  время Δt точка проходит расстояние  , где φ2 и φ1 — углы поворота в конце и в начале интервала Δt. Разделив последнее равенство на Δt и учитывая, что и , получим

  . (2) 

Заметим, что соотношение (2) связывает между  собой линейную и угловую скорости не только при равномерном движении точки по окружности, но- и при  неравномерном движении тоже. Изменение  модуля скорости точки за время Δt есть  , где ω2 и ω1 — угловые скорости в конце и в начале промежутка Δt. Разделим последнее равенство на Δt и учтем, что   и , тогда касательное ускорение

  . (3) 

Соотношения (1), (2) и (3) дают для движущейся по окружности точки простую связь между  линейными и угловыми величинами: линейная величина равна произведению радиуса окружности на соответствующую  угловую величину. Эти соотношения  получены нами для конкретной точки  М колеса троллейбуса, но они справедливы  и для любой другой точки вращающегося (как равномерно, так и неравномерно) тела. 

Сила  как причина изменения  импульса

Одна  из основных идей механики состоит  в том, что сила, приложенная к  телу, есть причина изменения его  скорости. Второй закон Ньютона и  выражает эту идею:

В механике используются еще две величины, связанные  со скоростью. Это — импульс тела (другое, сейчас почти вышедшее из употребления, название этой величины — количество движения) и кинетическая энергия  тела. Импульс тела — векторная величина, равная (по определению) произведению массы тела на его скорость:

Кинетическая  энергия E_k тела — скалярная величина, равная (тоже по определению) половине произведения массы тела на квадрат его скорости:

Поскольку и импульс, и кинетическая энергия  непосредственно выражаются через  скорость тела, а изменение скорости вызывается действующей на тело силой, очевидно, что изменения импульса и кинетической энергии тоже связаны  с силой.

Для импульса тела эта связь следует непосредственно  из второго закона Ньютона, записанного  в виде