Збудження круглого хвилеводу

Зміст

 

Вступ                                                                                                                        3

Завдання  до курсової роботи                                                                                 4

Теоретичні  відомості                                                                                               5

Розрахунок  параметрів хвилеводу                                                                       11

Структура хвилі Н₃₁ в круглому хвилеводі                                                         14

Збудження круглого хвилеводу                                                                           16

Висновок                                                                                                               17

Список використаної літератури                                                                         18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Останнім часом на практиці широкого поширення набули прямокутні і круглі хвилеводи.

Хвилевід – це засіб зосередження електромагнітної енергії в певному просторі і передачі її в заданому напрямі. По хвилеводах електромагнітна енергія передається принципово за тими ж законами, що і в атмосфері, але тільки в хвилеводах ця передача має строго заданий напрям і, крім того, обмежена по частоті. Такі хвилеводи більш широкосмугові, дешевше і простіше у виготовленні, мають високу електричну міцність необхідну для передачі великої потужності, високу механічну міцність, що забезпечує високу надійність, тривалий термін служби і стійкість до механічних дій, мінімальні втрати енергії.

Круглим хвилеводом є  порожнистий металевий циліндр, стінки якого виготовлені з добре  провідного матеріалу.

На надвисоких частотах хвилеводи мають ту вирішальна перевага, що загасання хвиль, що розповсюджуються в них, може бути набагато менше, ніж в інших системах, наприклад,  в коаксіальній або двухпровідній лініях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання  до курсової роботи

Розрахувати такі параметри хвилеводу:

1. Розмір поперечного перерізу хвилеводу.
2. Смугу робочих частот.
3. Довжину хвилі у хвилеводі.
4. Фазову та групову швидкості.
5. Хвилевий опір.
6. Максимальну потужність, яку можна передавати по цьому хвилеводу.
7. Сталу затухання.

Зобразити в аксонометрії протікання струмів по стінках хвилеводу

Зобразити збудження до цього  хвилеводу

 

 

 

Дані для виконання курсової роботи:

1. Форма хвилеводу – круглий.
2. Тип хвилі – H₃₁.
3. Середня довжина хвилі – 2 мм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретичні  відомості

Хвилевід є  металевою трубою довільного перерізу, усередині якої розповсюджуються електромагнітні хвилі. Найчастіше застосовують хвилеводи прямокутного і круглого перетинів, рідше — хвилеводи складнішого перетину, наприклад П-образні та Н-образні.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.Круглий хвилевід

 

Введемо циліндричну систему координат ( ), приведену на рисунку1.

В цій системі координат рівняння для компонент  мають вигляд:

 

(1.1)

 

 

(1.2)

 

 

 

Інші компоненти визначаються за допомогою формул:

 

(1.3)

 

 

(1.4)

 

 

(1.5)

 

 

(1.6)

 

Тут коефіцієнт поглинання, хвильове число.

 

 

Хвилі типу Е( =0, 0) в хвилеводах круглого перерізу

Рівняння(1.1) в частинних похідних розв’язується методом діленням змінних, шляхом представлення в вигляді:

(1.7)

де  . Підставляючи (1.7) в (1.1) отримуємо:

(1.8)

 

Перетворимо (1.8) таким чином, щоб  члени, залежні від  знаходились в різних частинах рівняння:

  

(1.9)

 

В (1.8) і (1.9) перша і друга похідна функції по змінній . Прирівнюємо ліві і праві частини рівняння (1.9) до однієї величини :

Рівняння (1.10) має вигляд:

 

(1.10)

 

Функція повинна мати одне і те ж значення при . Це можливо, якщо ціле число або нуль. Неважливо, як виразити функцію , через або    . Заміна рівносильна зміні початку відліку на Далі скрізь будемо виражати функцію через .

(1.11)

 

(1.12)

 

Рівняння (1.11) має розв’язок:

(1.13)

             - функція Бесселя другого роду.

Таким чином:

(1.14)

Підставляючи в рівняння (1.3)–(1.6)  =0 і замість його значення із (1.14), маємо:

 

 

 

 

(1.15)

 

 

 

(1.16)

 

 

 

(1.17)

 

 

(1.18)

 

 

В цих рівняннях:

 

(1.19)

 

Якщо стінки хвилеводу виготовлені  із ідеального провідника ( ), то виконується гранична умова дотична (тангенсіальна) складова вектора . При дотриманні цієї умови із (1.14) випливає рівність, із якої можна визначити

(1.20)

Функція Бесселя перетворюється в  нуль при нескінченно великому числі  значень аргумента. Це так звані корені функції Бесселя. В таблиці 1 Приведені корені функції Бесселя для деяких значень m i n.

 

Таблиця 1.

 

 

 

 

 

 

 

Кожному значенню Відповідає своє значення Кожному значенню  відповідає визначена структура поля в хвилеводі. Для хвиль типу структура поля в хвилеводі круглого перерізу приведена на рисунку 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.

Критична довжина хвилі типу Е визначається за формулою:

(1.21)

 

Фазова швидкість поширення  хвилі:

(1.22)

 

Тут с – швидкість електромагнітної хвилі у вакуумі, λ -- довжина хвилі ТЕМ в середовищі без втрат з параметрами . Швидкість розповсюдження енергії:

(1.23)

 

Значення критичних довжин для  хвиль типу Е при різних значеннях  m i n приведені в таблиці 2.

 

Таблиця 2

 

 

 

 

 

 

Хвилеві опора  хвиль типу Е рівні:

(1.24)

 

хвильовий опір для хвиль типу ТЕМ:

 

 

Хвилі типу Н( ) в хвилеводі круглого перерізу

Аналіз структури поля хвиль типу Н подібний аналізу структури поля хвилі типу Е. Використовуються рівняння (1.2)-(1.6), в яких полягають . Вираз для складових поля хвиль типу Н наступні:

(1.25)

 

(1.26)

 

 

(1.27)

 

 

(1.28)

 

 

 

(1.29)

 

 

Для визначення структури поля в хвилеводі використаємо рівняння, отримане із умови рівності нулю складової на поверхні хвилевода. Із (1.27) випливає:

(1.30)

Рівняння (1.30) має нескінченне число  коренів. Позначимо їх через  . В таблиці приведені для різних значень .

 

Таблиця 3

 

 

 

 

 

 

Кожному значенню відповідає відповідна структура електромагнітного поля приведена на рисунку 2.

Фазова швидкість поширення  хвилі типу рівна:

(1.31)

 

Швидкість поширення енергії:

(1.32)

Критична сума хвиль:

(1.33)

 

Хвильовий опір хвиль типу Н:

(1.34)

 

В таблиці 4 наведені значення для хвиль типу Н при різних значеннях .

 

Таблиця 4.

 

 

 

 

 

 

 

Із таблиці видно,що саму низьку частоту в хвилеводі круглого перерізу має хвиля типу Н_11. Структура поля цієї хвилі близька до структури поля хвилі Н₁₀ в хвилеводі круглого перерізу. при заданій довжині хвилі λ розповсюдження енергії в хвилеводі круглого перерізу можливо, якщо його радіус більше

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розрахунок  параметрів хвилеводу

1. Розрахуємо  критичну довжину хвилі для  хвиль магнітного типу Н_mn:

                                                (1.1)

де  – корінь рівнянн Бесселя -- радіус хвилевода

Скористуємось таблицею 1 для знаходження  кореня

            Таблиця 1

	1	2	3
0	3,832	7,016	10,173
1	1,841	5,331	8,536
2	3,054	6,706	9,969
3	4,201	8,015	11,346

Розрахуємо критичну довжину хвилі  H₃₁, використовуючи формулу (1.1)

  [м]

З рисунка видно, що найближчим вищим типом хвилі в круглому хвилеводі є хвиля Н₁₂

 

 

 

 

 

Рисунок 3.Спектр хвиль круглого хвилеводу

Згідно з формулою (1.1) розрахуємо критичну довжину хвилі для Н_12. :

  [м]

Хвилі типу Н₁₂ не можуть існувати при умові:

                                          (1.2)

Для того щоб у хвилеводі існувала хвиля типу H₃₁, і не виникали хвилі вищих магнітних типів, потрібно щоб виконувалася така нерівність:

                                 (1.3)

Запишемо нерівність (1.3)в іншій формі:

                                               (1.4)

Нерівності(1.3) та(1.4) – умови існування  хвилі H₃₁ магнітного типу в круглому хвилеводі.

Отже, згідно (1.4) радіус хвилеводу лежить в таких межах:

З даного проміжку виберемо певне  значення радіусу хвилеводу. Нехай = .

2.Смугу робочих частот  розрахуємо, використовуючи (1.3), знаючи, що λ= та = :

Отже, смуга робочих частот лежить в діапазоні 

3.Довжину хвилі в хвилеводі обчислимо за формулою:

                                               (3.1)

Розрахуємо  згідно (1.1) , врахувавши, що = :

  м

Обчислимо згідно (3.1):

4.Фазова швидкість  обчислюється:

                                                       (4.1)

де  .

Розрахуємо  згідно формули (4.1)

Групова швидкість:

                                                    (4.2)

Розрахуємо  згідно формули (4.2)

 

5.Хвилевий опір для хвиль магнітного типу обчислюється за формулою:

                                                      (5.1)

де 

Використавши формулу (6.1) отримаємо:

6.Стала затухання для хвиль  типу Н_mn в круглому хвилеводі:

                             (6.1)

де  – поверхневий опір металу, що обчислюється за формулою:

,                                                      (6.2)

де  -- кругова частота; - абсолютна магнітна проникність середовища; -- провідність.

Обчислимо хвилевий опір, використовуючи (6.1):

7.Розраховуємо максимальну потужність, яку можна передавати по цьому хвилеводу:

                                       (7.1)

де  - пробивна напруженість електричного поля в хвилеводі. Для сухого повітря .

Структура хвилі Н₃₁ в круглому хвилеводі

Двухвимірне рівняння Гельмгольца  в  циліндричних координатах має  вигляд:

(4.1)

 

Розв’язок шукаємо в вигляді добутку                                              Після цієї підстановки, розкривши дужки, маємо:

(4.2)

 

В результаті перетворень отримаємо  два звичайні диференційні рівняння:

 

(4.3)

 

(4.4)

 

Звичайне диференційне рівняння(4.3)– це рівняння Бесселя при

Запишемо його загальний розв’язок:

 

(4.5)

 

Розв'язок (4.4):

(4.6)

 

Отже, знайдений загальний вигляд рівняння T=RA. Перейдемо до розвязування крайової задачі в випадку області, показаної на рисунку 4. Оскільки при цьому в (4.5),(4.6) – ціле число або нуль.

Вибираючи розв’язок в формі першого рядка (4.5),

помноженої на А (4.6) ми повинні відразу  покласти В=0,

тому що в протилежному випадку  Т опиниться 

необмеженим в центрі круга . Таким чином                          Рисунок 4.

(4.7)

Гранична умова Т=0 на         веде за собою:

(4.8)

Це значить, що                     , тобто                                                                   (4.9)

В результаті ми можемо записати розвязок крайовой задачі. Як видно, систему розвязків утворюють власні функції, отримані при підстановці χ (4.9) в (4.7). Запишемо вирази цих функцій разом з відповідними їм власними значеннями:

 

(4.10)

 

Тут лінійні  комбінації (4.5) представлені в формі  стовбців: вибір однієї із позицій стовбця дає варіант власної функції.

 Розвязуючи для тієї ж області  другу краєву задачу, знову приходимо  до формули розв'язку (4.6). Гранична умова                                   дає:

(4.11)

Тому                                  і                                                                                (4.12)

Отже, отримаємо замість (4.10):

(4.13)

 

 

 

Розглядаючи Н-хвилі, випишемо власні функції і власні значення; вони для кругового контура     були отримані, використовуючи (4.13):

 

(4.14)

 

 

 

де A_mn – корені рівняння (4.11).

На рисунку 5 показана структура поля Н₃₁. В цьому випадку із (4.14):

  ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5.

 

 

 

Збудження круглого хвилеводу

Для роз’яснення умови збудження хвилеводу використаємо принцип взаємності. Виходячи з цього принципу, можна стверджувати, що конструкції приладів, призначених для збудження в хвилеводі хвилі визначеного тип, або для видобуття енергії із хвилеводу з хвилею того ж типу, повинні бути однаковими.

Отже, представимо, що в хвилеводі рухається хвиля визначеного типу. яким чином можна видобути максимальну енергію із цього хвилеводу?

Відомі наступні способи розв’язку цієї задачі.

1.В хвилеводі потрібно помістити прямий провід так, щоб він знаходився  в точці, де напруженість електричного поля має максимальне значення, і орієнтувати провід так, щоб його вісь співпадала з напрямком напруженості електричного поля. При такій орієнтації провода індуктивні в ньому ЕРС буде максимальна.

2.В хвилеводі потрібно помістити рамочну антену(виток), зорієнтувавши її так, щоб нормаль до плоскості рамки співпадала з напрямком вектора напруженості магнітного поля. При цьому рамку потрібно розташувати там, де нормальна до її площини напруженість магнітного поля має максимальне значення.

Виходячи із вище розказаного  і основуючись а принципі взаємності, приходимо до наступних правил збудження в хвилеводі хвилі того чи іншого типу.

1.Необхідно встановити структуру  поля хвилі, яку бажано збудити.

2.Для збудження хвилі в хвилевід  можна помістити провідник або  систему провідників зі струмом, розмістивши їх вздовж напрямку вектора напруженості електричного поля в тих точках, де це поле повинно мати максимальне значення.

 

На рисунку 6 показані пособи збудження хвиль Н (а,б) та Е(в) типу штирем та петлею.

 

 

 

                              а                                                        б     

 

 

в

Рисунок 6.

Таким чином, збуджуючий елемент створює в хвилеводі множину полів різних типів. Більш того, ми можемо стверджувати, що збудити в хвилеводі поле тільки одного типу, очевидно, неможна.

Висновок

В ході розрахунку курсової роботи були знайдені такі параметри  хвилі H₃₁:

1. Розмір поперечного перерізу хвилеводу.
2. Смуга робочих частот.
3. Довжина хвилі у хвилеводі.
4. Фазова та групова швидкості.
5. Хвилевий опір.
6. Максимальна потужність.
7. Стала затухання.

 

Отже, ми ознайомилися з фізичними  процесами в хвилеводах. Розглянули класифікацію і структуру хвиль в круглому хвилеводі. У хвилеводах можуть розповсюджуватися лише хвилі вищого порядку: електричні Е і магнітні хвилі Н, що мають подовжні складові відповідно Еz і Hz. А також розглянули структуру хвилі Н₃₁ в круглому хвилеводі та збудження хвилеводу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаної літератури

1. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. Изд. 2-е, перераб. и дополн. – М.: Изд-во «Советское радио». 1971. – 664с.
2. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 544с.
3. Федоров Н. Н. Основы электродинамики: Учеб. пособие для вузов. – М.: «Высш. школа», 1980. – 399с.