Знакомство с количественной характеристикой натуральных чисел

Методика преподавания математики - наука, предметом которой  является обучение математике, причём в широком смысле: обучение математике на всех уровнях, начиная с дошкольных учреждений и кончая высшей школой. Методика преподавания математики развивается  на базе определённой психологической теории обучения, т.е. Методика преподавания математики представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в методике преподавания математики должна отражаться специфика предмета обучения - математики.

В период своего формирования система, направленная на общее развитие школьников, естественно сложилась  с ориентацией на начало обучения в школе детей семилетнего  возраста. Исходя из общей цели, стоящей  перед обучением, начальный курс математики должен решать следующие задачи:

- способствовать продвижению  ученика в общем развитии, становлению  нравственных позиций личности  ребенка, не вредить его здоровью;

- дать представление  о математике как науке, обобщающей существующие и происходящие в реальной жизни явления;

- сформировать знания, умения и навыки, необходимые  ученикам в жизни и для успешного  продолжения обучения в основном  звене школы.

Максимальное внимание к личности ученика, выявление и  использование всех его потенциальных возможностей служит психолого-педагогической основой, как для его развития, так и для полноценного усвоения знаний, умений и навыков. Основным содержанием программы в начальных классах являются понятия натурального числа и действий с этими числами.

Цель  данной работы: рассмотреть методику изучения нумерации целых неотрицательных чисел.

1. Знакомство с количественной характеристикой натуральных чисел

Натуральное число  выступает для школьника начальных  классов на первом этом этапе как  целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов. Первые представления детей о числе связаны с его количественной характеристикой, и ребёнок может отвечать на вопрос: «Сколько?», не владея операцией счёта.

При знакомстве с натуральными числами необходимо создать условия для осознания школьниками:

- принципа построения  натурального ряда чисел;

- состава числа  в пределах 10;

- чтения и записи  чисел (по концентрам);

- новых счетных  единиц;

- разрядного состава  числа (по концентрам);

- соотношения между разрядными единицами;

- поместного значения  цифр.

Количественная характеристика предметных групп осознаётся ребёнком и в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными  множествами (выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше»). Для этого можно использовать: 1) наложение предметов одного множества на предметы другого; 2) расположение предметов одного множества под предметами другого; 3) соединение каждого предмета одного множества с каждым предметом другого. Данная операция связана с выделением отдельных элементов и подготавливает к сознательному владению счётом.[3,с.85]

На первом этапе  счёт выступает для ребёнка как  установление взаимно-однозначного соответствия между предметной совокупностью  и совокупностью слов-числительных. Для овладения операцией счёта необходимо запомнить порядок слов-числительных, что закрепляется в результате выполнения упражнений типа «Сколько…?» и других упражнений: 1) что изменилось/не изменилось? 2) чем похожи/отличаются рисунки? 3) Хватит ли мишкам орехов, если каждому дать по 1/2/3 ореха? 4) По какому признаку подобраны пары картинок? 5) Покажи «лишнюю» картинку?

Усвоение детьми последовательности слов-числительных позволяет перейти  к формированию операции счёта и  знакомству учащихся с цифрами. Чтобы учащиеся отличали числа от цифр, полезно познакомить их с другими цифрами (римскими).

Трудно довести  до сознания тот факт, что каждое число, названное при счёте, является одновременно и порядковым, т.к. указывает  на порядок предмета при счёте. Для осознания взаимосвязи между порядковым и количественным числом можно использовать задания с полоской (это пятый кружок, сколько кружков на полоске и т.д.).

Важно, чтобы дети понимали, что, как бы мы ни нумеровали предметы данной совокупности, ответ на вопрос «Сколько?» будет всегда одинаковым, при этом нумерацию надо начинать с 1, не пропускать ни одного предмета и не указывать на один предмет дважды. Для этого можно использовать разноцветные круги и считать их, начиная с разных, или же переставляя номера кругов при счёте.

Последовательно рассматриваются  отрезки натурального ряда чисел: 1,2; 1,2,3; и т.д. до 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. При этом на каждом отрезке выполняется однотипная работа по добавлению/убавлению совокупности предметов на 1.

Учащиеся переходят от счёта предметов к записи цифр. При этом натуральный порядок чисел не соблюдается. После того, как они научились писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весть отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9 (посчитай слоников, запиши цифрами все числа, которые ты называешь; проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1,2,3,…,9; подумай, как ты получил каждое следующее число). Таким образом, дети получают отрезок натурального ряда чисел.

Математическую основу действий учащихся при изучении отрезка от 1 до 9 составляет связь чисел с конечными множествами. Для усвоения натурального рядя чисел и принципами его образования, они постоянно обращаются к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации (тучка закрыла звёзды, пирамидка и т.д.).

Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет  выполнить присчитывание и отсчитывание по 1. В отличие от счёта, особенность  этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.

Операция присчитывания осваивается легче, в этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счёте. Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся упражняются только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано с решением практических задач. Для того, чтобы они осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением числа от большего к меньшему: 1) ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при этом все предметы находятся перед ним и он может воспользоваться счётом (почтальон); 2) часть предметов скрыта от глаз, поэтому счёт осуществить невозможно (кинотеатр). [3,с.97]

Для записи отношений между числами учитель знакомит учащихся со знаками >, <, = и с математическими записями, которые называются равенствами и неравенствами.

В качестве символической  модели используется отрезок натурального ряда. В качестве графической модели используем числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам.

2. Изучение десятичной  системы счисления

Изучение натуральных  чисел происходит по следующим концентрам: однозначные числа, двузначные числа, трехзначные числа, числа в пределах класса тысяч, числа в пределах класса миллионов. Выделение таких концентров связано с тем, что одной из главных задач изучения этой темы является осознание принципа построения той системы счисления, которой в настоящее время пользуются в большинстве стран мира - позиционной десятичной. В этой системе числа десять, сто, тысяча и т.д. являются основными системообразующими и, следовательно, должны занимать особое место в процессе изучения, а не возникать как рядоположенные по отношению к остальным натуральным числам. Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход, который позволяет максимально использовать дошкольный опыт учеников, сложившиеся у них представления о механизме возникновения чисел как результата пересчета предметов. [6,с64]

Умение, а затем  навыки читать и записывать числа  в десятичной системе счисления  формируются у младших школьников поэтапно и тесно связаны с  такими понятиями, как число, цифра, разряд, класс, разрядные единицы, разрядные  десятки, разрядные сотни и т.д., разрядные слагаемые.

Работа, целью которой  является формирование представления  о десятичной системе счисления, начинается в концентре «Сотня», который разбивается на две ступени - 11-20 и 21-100. На каждой ступени сначала  изучается устная нумерация, а затем письменная. Одновременно ведётся работа, связанная с усвоением натурального ряда чисел.

Дальнейшее изучение нумерации продолжается в концентре  «Тысяча». Особенности десятичной системы  счисления позволяют младшим  школьникам осуществлять перенос умения читать и записывать двузначные числа на область трёхзначных. Появление нового разряда - сотен связывается с введением новой счётной единицы (сотни). В концентре «Многозначные числа» дети учатся читать и записывать четырёхзначные, пятизначные и шестизначные числа. В этом концентре вводится понятие «класс». Для усвоение структуры многозначного числа и терминологии, связанной с названием разрядов и классов, учащиеся упражняются в чтении чисел, записанных в таблицу, которая называется таблицей разрядов и классов, или записывают в неё числа, которые называет учитель.

Увеличение концентратов: «Однозначные числа», …, «Пятизначные и шестизначные числа» способствует пониманию детьми различий между  числом и цифрой. На первом этапе  у учащихся формируются представления о количественном и порядковом числе. Запись числа 10 вводится в теме «Двузначные числа», когда детям предлагается считать десятками и сообразить о целесообразности данного счёта. Затем предлагается считать десятками и единицами сразу, что наводит на осознание того, что двузначные числа состоят из десятков и единиц (в качестве модели десятка предлагается треугольник, на котором 10 кружков). Последующая работа связана с установлением соответствия между предметной моделью двузначного числа и его символической записи. Для этой цели предлагаются задания: «Запиши цифрами числа, которые соответствуют каждому рисунку», «Увеличь число 30 на 2 десятка, 3 десятка. Наблюдай! Какая цифра изменяется в числе 30?»

Для формирования умения читать и записывать трёхзначные  числа детям предлагаются задания: 1) на выявление признаков сходства и различия двузначных и трёхзначных  чисел; 2) на запись трехзначных чисел определёнными цифрами; 3) на сравнение чисел; на классификацию; на выявления правила построения ряда чисел.

Умение называть количество единиц, десятков, сотен, тысяч в  числе требует как усвоения разрядного состава числа, так и осознания того, что каждая разрядная единица в числе (за исключением разряда единиц) содержит десять единиц низшего разряда. Например, для определения количества десятков, нужно закрыть цифры в разряде единиц и т.д. в любом числе.

3. Формирование представлений о смысле сложения и вычитания целых неотрицательных чисел

На данном этапе  проводим истолкование сложения и вычитания  целых неотрицательных чисел, в  соответствии с которым сложение связано с операцией объединения, вычитание - с операцией разбиения.

Деятельность учащихся сначала сводится к переводу предметных действий на язык математики, а затем к установлению соответствия между различными моделями (под картинкой, где дети выпускают рыбок в один аквариум на писано символическое выражение действия 2+3).

Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения: 1) увеличение данного предметного множества на несколько предметов; 2) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному; 3) составление одного предметного множества из двух данных.

При формировании у  детей представлений о вычитании  можно условно ориентироваться  на следующие предметные ситуации: 1) уменьшение данного предметного  множества на несколько предметов; 2) уменьшение множества, равночисленного  данному, на несколько предметов; 3) сравнение двух предметных множеств. [11,с.97]

В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о  вычитании как о действии, которое  связано с разбиением количества предметов.

На этом же этапе  знакомим детей с числом нуль. Число нуль является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того, чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать следующие методические приёмы:

- установление соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов. Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представлений о количественном числе;

- знакомство учащихся  с нулём как результатом вычитания. Для этой цели им предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают, а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами.

Число 0 следует рассмотреть  как результат операций (2-2, 3-3 и  др.). Можно предложить задания с  формулировкой «Что изменилось?» и изображением количественной и пустой совокупностей предметов. Возможно познакомить детей с числом нуль как с компонентом арифметического действия, предложив задание с формулировкой «Что изменилось» и с двумя одинаковыми совокупностями предметов. 4=4, 4+0=4 и 4-0=4.

При формировании у  детей представлений о смысле сложения полезно предлагать им такие  ситуации для предметных действий, при выполнении которых они сами подмечают закономерность, связанные  с переместительным свойством сложения. Например: «на одной тарелке 4 апельсина, на другой - 3»; «сколько апельсинов на обеих тарелках?»; «на одной тарелке 3 апельсина, на другой - 4»; «сколько апельсинов на обеих тарелках?». [11,с.118]

В основе усвоения взаимосвязи  между компонентами и результатами сложения и вычитания лежит осознание учащимися предметного смысла этих действий. При этом следует учитывать, что особую трудность для некоторых детей представляет вычленение и удаление части множества, т.е. осознание тех предметных действий, которые связаны со смыслом вычитания.

Рассмотрим некоторые  методические приёмы, в которых учитываются  особенности младших школьников:

1. Работая у доски  с рисунками и дидактическими  пособиями, полезно сначала предложить  ученику показать предметные  совокупности, с которыми он действует, а затем уже назвать число предметов в них;

2. Выполняя задания  с рисунками, к которым дана  запись вида -=, рекомендуется заполнять  «окошки» не только в прямом  порядке, но и начиная с любого;

3. Можно использовать  задания такого же рода, но со срытыми количествами. При их выполнении внимание учащихся сосредотачивается на соотнесении элементов схемы и предметных совокупностей;

4. Можно предложить  трём ученикам взять со стола  карточки (например, всего 5), соответствующие  выражению (например, 5-2=3);.

5. Можно предлагать  комплексные задания с карточками  и со схемами.

Разрешение таких  «противоречий» в игровой форме  помогает детям усвоить взаимосвязь  между компонентами и результатами действий сложения и вычитания. Однако, осознавая «предметную» взаимосвязь компонентов и результатов действий, не все дети могут описать её, пользуясь математической терминологией: слагаемые, значение суммы, уменьшаемое, вычитаемое, значение разности. В этом случае целесообразно использовать понятия целого и части и соотношение между ними (часть всегда меньше целого; если убрать одну часть, то останется другая).

Понятие целого и части  позволяет как бы «материализовать»  такие термины, как слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое (например, устанавливая соответствие между рисунком и математической записью).

Формирование вычислительных умений и навыков - одна из основных задач начального курса математики. Вычислительное умение - это развёрнутое  осуществление действия, в котором  каждая операция осознаётся и контролируется. В отличие от умения навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.

В начальном курсе  математики учащиеся должны усвоить на уровне навыка: таблицу сложения (вычитания) в пределах 10; таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и соответствующие случаи вычитания; таблицу умножения и соответствующие случаи деления.

Подход к формированию навыков сложения и вычитания в пределах 10 предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное или произвольное запоминания в процессе специально организованной деятельности. Осознанное составление таблиц может обеспечиваться теоретической линией курса, предметными действиями, методическими приёмами и наглядными средствами. Для произвольного и непроизвольного запоминания таблиц используется специальная система упражнений.

Таблицы сложения и  вычитания в пределах 10 можно  условно разделить на четыре группы, каждая из которых связана с теоретическим обоснованием и соответствующим способом действия: 1) принцип построения натурального ряда чисел - присчитывание и отсчитывание по 1; 2) смысл сложения и вычитания - присчитывание и отсчитывание по частям; 3) переместительное свойство сложения - перестановка слагаемых; 4) взаимосвязь сложения и вычитания - правило: если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.

Составление таблиц 1) группы не вызывает затруднения. При  формировании вычислительных навыков для случаев сложения и вычитания, представленных во 2), 3), 4) группах, работа организуется в соответствии с определенными этапами: 1 - подготовка к знакомству с вычислительным приёмом; 2 - ознакомление с вычислительным приёмом; 3 - составление таблиц с помощью вычислительных приёмов; 4 - установка на запоминание таблиц; 5 - закрепление таблиц в процессе тренировочных упражнений.

В формировании вычислительных навыков в школьной практике используются различные подходы: а) выучивание таблиц; б) знакомство с различными вычислительными приёмами a составление таблиц a непроизвольное запоминание в процессе выполнения упражнений; в) после использования предметных действий и вычислительных приёмов, ученику даётся установка на запоминание. [15,с.44]

В отличие от традиционной системы внетабличное сложение и вычитание строится не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании основных положений, лежащих в фундаменте алгоритма их выполнения: поразрядности выполнения каждой из этих операций и использования таблицы сложения для вычислений в каждом разряде. Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев. 
Необходимо иметь в виду, что мы принципиально стоим на позиции формирования общего понятия о выполнении операций на базе небольших чисел, с которыми детям сравнительно легко работать, операции с которыми без значительной затраты сил и времени они могут выполнить практически, проверив правильность выдвинутых предположений на легко обозримом материале. В этом случае у формируемого понятия есть прочная база личного практического опыта, что не мешает достижению высокого уровня обобщения, а, наоборот, способствует его достижению.