Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Колебания пластины (пластин)

Министерство образования и науки

ФГБОУВПО Пермский национальный исследовательский политехнический университет.

Кафедра «Строительно-дорожные машины»

Реферат по дисциплине: «Прикладная теория колебаний»

Тема: «Колебания пластины (пластин)»

Выполнил:

студент группы СДМу-12

Латышев С.М.

Зачетная книжка №12104

Проверил:

доцент

Кычкин В.И.

Пермь 2014

Основные определения и допущения

Пластиной называется тело призматической или цилиндрической формы, у которого один размер (толщина h) значительно меньше других (а и b), измеренных в плоскостях оснований (рис. 39). В технике широко используются круглые и прямоугольные пластины; иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.

Рис. 39

Примером круглой пластины может служить днище Д цилиндрического сосуда - бака, котла, трубы (рис. 40,а) - или поршень П, движущийся в цилиндре (рис. 40,б). Примером прямоугольной пластины, защемленной одной кромкой, может служить каждая из вертикальных стенок ссечения, составленного из листов, при значительной жесткости полки п (рис. 40,в), а примером пластины, упруго защемленной тремя кромками, - стенка прямоугольного резервуара (рис. 40,г).

Плоскость, находящаяся на равных расстояниях от верхнего и нижнего оснований и делящая пополам толщину h пластины постоянной толщины (рис. 39), называется срединной плоскостью. После изгиба срединная плоскость превращается в срединную поверхность изогнутой пластины.

При изучении пластин принимается система координат, при которой начало координат и оси х и у лежат в недеформированной срединной плоскости пластины, а ось z направлена перпендикулярно к срединной плоскости. В общем случае на пластину могут действовать различно направленные силы. Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: действующую в срединной плоскости и перпендикулярную к ней. Совокупность составляющих усилий в срединной плоскости, называемых цепными усилиями, вызывает деформацию только в этой плоскости, а совокупность составляющих, перпендикулярных к срединной плоскости, изгибает пластину. В дальнейшем предполагается, что нагрузка, испытываемая пластиной, перпендикулярна к ее срединной плоскости, т. е. составляющие нагрузки в срединной плоскости равны нулю.

а	б

в	г

Рис. 40

При определении усилий и деформаций для пластин средней толщины принимаются следующие допущения:

1. Перпендикуляр AD к срединной плоскости, опущенный из любой точки D пластины (рис. 41), остается после изгиба прямым и нормальным к изогнутой срединной поверхности (А₁D₁). Это допущение, называемое допущением о прямых нормалях, соответствует гипотезе плоских сечений, на котором основана теория изгиба балок.

Влияние на величину перемещений некоторого искривления нормали, происходящего вследствие сдвигов, не учитывается. Оно значительно меньше, чем перемещения или , вызываемые поворотом нормали вследствие искривления срединной плоскости при изгибе.

2. Нормальными напряжениями , действующими по площадкам, параллельным срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями и принять

(4.1)

Это допущение называется допущением об отсутствии поперечного давления.

Рис. 41

Для относительных деформаций можно использовать формулы

. (4.2)

При изучении поперечного изгиба пластины средней толщины считаем: 1) срединную плоскость свободной от цепных усилий, 2) линейные и угловые деформации в срединной поверхности изогнутой пластины - отсутствующими. Перечисленные допущения применимы только при малом прогибе пластины.

Пластину можно условно отнести к тому или иному виду в зависимости от отношения толщины h к наименьшему размеру а пластины в плане (рис. 39). Существует три вида пластин, принципиально отличающихся друг от друга характером распределения напряжений и способом расчета:

1. Плиты - толстые пластины, имеющие отношение

У этих пластин (рис. 42) высота настолько велика по сравнению с пролетом и они настолько жестки, что касательные напряжения , возникающие по сечениям С - С от перерезывания под действием нагрузки, имеют тот же порядок, что и нормальные напряжения , вызванные изгибом. Плоскость, свободная от цепных усилий и от деформаций, смещается по отношению к срединной плоскости, а нормальные напряжения распределяются по высоте сечения уже не по прямолинейному, а по криволинейному закону.

Рис. 42

Допущения, перечисленные выше, при расчете плит неприменимы.

2. Пластины средней толщины, имеющие отношение

Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пластина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w (рис. 43) не превосходит толщины h и опертая пластина способна нести вертикальную нагрузку. Эпюра нормальных напряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна. Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.

Рис. 43

3. Мембраны - пластины, имеющие отношение

Мембраны тонки и гибки, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их часто закрепляют на контуре (рис. 44).

Рис. 44

При этом нагрузка поддерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений. Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину h.

Мембраны широко применяются в различных акустических аппаратах и гидравлических устройствах.

В зависимости от характера конструкции любая кромка пластины (рис. 45)

Рис. 45

может быть защемлена (кромка 1), свободно оперта (кромка 2) или свободна от закреплений (кромки 3 и 4). Возможно также упругое закрепление кромки пластины, промежуточное между свободной кромкой и защемлением, которое дает возможность срединной поверхности под действием нагрузки в той или иной степени поворачиваться на упруго защемленной кромке. Примыкание кромки пластины 1 к любому упругому элементу 2 (рис. 46) представляет собой упругое ее закрепление; возможный угол поворота на кромке обратно пропорционален жесткости элемента 2, к которому она прикреплена.

Рис. 46

Указанный выше признак деления пластин на плиты, пластины средней толщины и мембраны следует считать условным. Главное различие между этими классами заключается в соотношении между величиной цепных и изгибных усилий, которое может быть установлено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от величины отношения продольных сил к изгибающим моментам и от способа закрепления на контуре может быть отнесена к тому или иному классу.

Цепные продольные усилия, вызывающие равномерно распределенные по толщине напряжения, могут появиться при поперечном нагружении пластины, закрепленной на контуре, вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пластины.

Наличие продольных усилий сказывается на элементах изгиба: прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы тем больше, чем меньше отношение . Растягивающие продольные силы уменьшают, а сжимающие увеличивают элементы изгиба от заданной поперечной нагрузки. Это влияние для защемленной на контуре пластины меньше, чем для опертой.

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах

В общем случае изгиба пластины произвольного очертания нагрузкой q (х, у), распределенной на ее поверхности по произвольному закону (рис. 47),

Рис. 47

по граням прямоугольного элемента, имеющего размеры dx и dy в плане, выделенного из пластины двумя парами сечений, действуют погонные изгибающие моменты М_хи M_у, погонные поперечные силы Q_xи Q_yи погонные крутящие моменты Н_xи Н_y(рис. 48).

Возникновение крутящих моментов можно объяснить так. Если рассечь опертую по контуру пластину на ряд полос 1, 2, 3, .... (рис. 49,а), каждая из которых представляет собой балку, опертую по концам, то сила Р, приложенная к точке А пластины, вызовет прогиб только той балки 2, к которой относится точка А. В пластине, не рассеченной на полосы, полоса 2 поддерживается соседними полосами 1 и 3, которые в свою очередь испытывают со стороны полосы 2 направленные вниз усилия Р' (рис. 49,б). Со стороны примыкающих к полосам 1 и 3 частей а пластины эти полосы испытывают поддерживающее усилие Р". Усилия Р' и Р", действующие на каждую из полос 1 и 3, можно привести к равнодействующей R, приложенной в центре тяжести сечения полосы, и к паре Н, скручивающей полосу (рис. 49,б).

Рис. 48

а	б в

Рис. 49

Задачу решаем в перемещениях. Из первого допущения теории пластин о возможности пренебречь относительными сдвигами и ,

(4.3)

На основании второго допущения w не зависит от z. Интегрируя равенства (4.3) по z, находим

или, так как при z = 0 у нас u = v = 0,

(4.4)

С учетом зависимостей (4.4) относительные деформации выразятся через перемещение w следующим образом:

. (4.5)

Так как на основании второго допущения напряжением можно пренебречь, из формул (1.20) закона Гука, полагая = 0 и учитывая выражения (4.5), получаем

(4.6)

, (4.7)

. (4.8)

Пользуясь дифференциальными уравнениями равновесия (1.2), можно найти также напряжения . Хотя мы условились считать их малыми, но производные этих напряжений, входящие в уравнения (1.2), не малы, так как по толщине пластины напряжения изменяются резко. Из первых двух уравнений (1.2), пренебрегая проекциями объемных сил и интегрируя по z, получаем

Функции f₁и f₂находим из граничных условий, составленных для нижней и верхней граней пластины: при

Тогда

Из третьего уравнения (1.2) следует

. (4.9)

Нагрузка интенсивностью q (x, у) приложена к верхней грани пластины и направлена вниз, т. е. напряжение - сжимающее. Поэтому для определения функции f₃(x, у) можем написать граничные условия:

(4.10)

Из первого условия найдем функцию f₃(x,y) и, подставив ее в (4.9), получим

Подставив это выражение во второе условие (4.10), получим дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины

, (4.11)

где

(4.12)

- цилиндрическая жесткость пластины, аналогичная жесткости EJ балки, характеризующая способность пластины деформироваться. Размерность цилиндрической жесткости представляет собой произведение единицы силы на единицу длины. По величине D >EJ.

Уравнение (4.11) может быть сокращенно записано через оператор Лапласа:

Первый член, стоящий в скобках уравнения (4.11), учитывает прогиб, зависящий от изгиба в плоскости хz, третий член - в плоскости yz, а второй — прогиб, зависящий от кручения.

Решение уравнения (4.11) дает уравнение изогнутой срединной поверхности пластины

Если оно найдено, погонные изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы, приходящиеся на единицу длины кромки пластины, определяют исходя из условий равновесия полосы пластины шириной, равной единице (рис. 50).

Составим условие равновесия моментов относительно оси у и подставим в него значение из формулы (4.6):

Рис. 50

Отсюда, с учетом формулы (4.12), для погонного изгибающего момента получим

. (4.13)

Аналогично из условия найдем погонный изгибающий момент

. (4.14)

При действии одних только погонных изгибающих моментов М_хи M_у(рис. 51) пластина испытывает чистый изгиб в двух взаимно перпендикулярных

Рис. 51

направлениях. Срединная плоскость ее превращается в изогнутую поверхность с главными радиусами кривизны (в сечении плоскостью, параллельной плоскости х0z) и (в сечении плоскостью, параллельной плоскости у0z). Соответствующие главные кривизны срединной поверхности

. (4.15)

Составим, учитывая (4.8), условия равенства крутящих моментов сумме моментов усилий, возникающих от напряжений , и найдем погонные крутящие моменты:

. (4.16)

При действии одних только погонных крутящих моментов пластина испытывает чистое кручение.

Составим, учитывая (4.8), условия равенства проекций поперечных сил сумме проекций усилий, возникающих от напряжений (рис. 52).

Рис. 52

Найдем погонные поперечные силы:

. (4.17)

Цилиндрический и сферический изгиб пластины

Цилиндрическим изгибом называется изгиб пластины по цилиндрической поверхности (рис. 53). Чтобы получить такой изгиб, закрепление двух параллельных кромок пластины должно обеспечивать неподвижность пластины, а две другие кромки должны быть свободны. Нагрузка должна иметь постоянную интенсивность в направлении, параллельном закрепленным кромкам (на рис. 53 параллельно оси у), а в перпендикулярном направлении может быть произвольной.

Рис. 53

На рис. 53 представлен цилиндрический поперечный изгиб под действием распределенной нагрузки. Интенсивность нагрузки и реакция вдоль линии, параллельной закрепленной кромке (оси у), постоянны, а кромки, параллельные оси х, свободны. На рис. 54 показан цилиндрический чистый изгиб, который происходит под действием моментов М₁и постоянной интенсивности, распределенных по кромкам, параллельным оси у.

Рис. 54

Для определения усилий, возникающих при чистом цилиндрическом изгибе, рассматривается пластина, нагруженная по кромкам моментами М₁и (рис. 54). Размерность изгибающего момента М₁приходящегося на единицу длины кромки, т. е. погонного изгибающего момента,

Пластину нужно представить себе рассеченной на ряд полос шириной, равной единице, сечениями, параллельными оси х (рис. 55). Каждую из полос можно рассматривать как балку, опертую своими концами и нагруженную по концам моментами М. Отличие таких балок от полос пластины заключается в том, что у первых поперечные деформации их сечений ничем не стеснены, тогда как поперечной деформации полосы пластины (рис. 56) препятствуют соседние полосы, которые тоже стремятся деформироваться в поперечном направлении. Для полос, вырезанных на некотором расстоянии от кромок а,

Рис. 55

можно считать, что относительная линейная деформация e_уравна нулю, т. е. состояние пластины - плоское деформированное. При пользовании формулами подразд. 1.10 следует в соответствии с системой координат, принятой для пластин, заменить в них координату z на у, а координату у - наz.

Рис. 56

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности и выражения для изгибающих моментов могут быть получены из соответствующих выражений подразд. 4.2, если учесть, что при цилиндрическом изгибе прогиб w не зависит от координат у и z. Тогда уравнение (4.11) примет вид

. (4.18)

Проинтегрировав выражение (4.18) дважды, получим

. (4.19)

Уравнение (4.13) для погонного изгибающего момента примет вид

. (4.20)

Нормальное напряжение, параллельное оси х,

, (4.21)

где – момент инерции полосы прямоугольного сечения шириной, равной единице.

Так как на некотором расстоянии от свободных кромок пластина испытывает плоскую деформацию,

Напряжение

. (4.22)

Выражение (4.21) для ничем не отличается от выражения для нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки при ее чистом изгибе. Отличие цилиндрического изгиба пластины от изгиба балки заключается в том, что в пластине, кроме напряжения , возникает еще напряжение . Прогибы w пластины при цилиндрическом изгибе вычисляются путем двукратного последовательного интегрирования дифференциального уравнения (4.19). Они оказываются меньше, чем для балки-полосы, так как цилиндрическая жесткость D, стоящая в знаменателе правой части уравнения (4.19), больше, чем жесткость балки EJ.

Если пластина подвергается действию равномерно распределенных моментов по окружности (рис. 57), она изгибается по сферической поверхности.

Рис. 57

Главные радиусы кривизны в любом сечении одинаковы:

поэтому на основании (4.15)

. (4.23)

Заменив вторые производные в уравнениях (4.13) и (4.14) кривизной, на основании формулы (4.23) получим изгибающий момент при сферическом изгибе

и выражение для кривизны

Дифференциальное уравнение (4.11) и выражения для крутящего и изгибающих моментов и для поперечных сил получены в предположении, что в срединной поверхности отсутствуют цепные погонные усилия: продольные N_хи N_уи сдвигающие Т_хуи Т_ух. Дифференциальные уравнения изгиба пластины конечной жесткости при наличии цепных усилий и выражения для усилий М, N, Q, Н и Т получены Карманом:

. (4.24)

Эта система может быть сведена к системе двух совокупных дифференциальных уравнений с помощью введения некоторой непрерывной функции , называемой функцией напряжений. Если выразить продольные и сдвигающие силы N и Т через функцию напряжений

, (4.25)

то можно убедиться, что первые два уравнения системы (4.24) будут тождественно удовлетворены при любом виде функции .

Подставив выражения (4.25) для цепных усилий N и Т во второе и третье уравнения системы (4.24) и заменив изгибающие и крутящие моменты М и Н их выражениями (4.13), (4.14), (4.16) получим следующую систему дифференциальных уравнений Кармана в частных производных:

. (4.26)

Уравнения (4.26) применяют для расчета гибких пластин большого прогиба w > h/2. Если цепные усилия оказывают малое влияние на изгиб, то в системе (4.26) следует пренебречь членами, зависящими от . Первое уравнение системы (4.26) отпадает, а второе принимает вид

Этим уравнением мы и пользуемся для расчета плит и пластин средней толщины.

При расчете мембран, обладающих малой жесткостью на изгиб, в системе уравнений (4.26) следует пренебречь членами, пропорциональными цилиндрической жесткости. Тогда первое уравнение этой системы остается в силе, а второе уравнение примет вид

В частном случае, когда сдвигающая сила Т равна нулю, продольные силы N_х= N_у= N и для определения w можно составить следующее дифференциальное уравнение:

Решение дифференциального уравнения (4.11) в конечной форме получено для эллиптической и круглой пластин, защемленных на контуре и нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. В остальных случаях пользуются приближенными решениями.

Интеграл дифференциального уравнения (4.11), представляющего собой уравнение четвертой степени в частных производных от двух независимых переменных, должен удовлетворять восьми граничным условиям на контуре. На каждой кромке можно составить по два условия, исходя из равенства нулю соответствующих двух величин из числа следующих: прогиба w, угла , изгибающих моментов М_хили M_у, обобщенных поперечных сил или .

Обобщенные поперечные силы представляют собой поперечные силы на свободных кромках пластины, заменяющие одновременное действие погонных крутящих моментов и поперечных сил

Таким образом, общее число условий составляет 2 х 4 = 8. Например, для пластины (рис. 58) следует составить следующие восемь условий:

Рис. 58

- кромка АВ

1) при 0 < х < а у = 0, w = 0;

2) при 0 < х < а у = 0, = 0;

- кромка AD

3) при 0 < y < b x = 0, w = 0;

4) при 0 < y < b x = 0, М_х= 0;

- кромка DC

5) при 0 < х < а у = b, = 0;

6) при 0 < х < а у = b, М_у= 0;

- кромка ВС

7) при 0 < у < b у = a, = 0;

8) при 0 < х < b у = а, М_х= 0;

Обычно геометрические граничные условия, относящиеся к прогибам w и углам поворота сечений , выполняются точно, а статические граничные условия, относящиеся к изгибающим моментам М и обобщенным поперечным силам Q⁰, - лишь в интегральной форме. После того как будут найдены погонные изгибающие моменты, поперечные силы и крутящий момент, напряжения можно определить по формулам сопротивления материалов

. (4.27)

Наибольшие нормальные напряжения от изгиба и и касательные напряжения от кручения возникают в точках верхней и нижней граней пластины. Наибольшие касательные напряжения и от перерезывания возникают в срединной плоскости.

4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины

Если круглая пластина (рис. 59,а) подвергается действию нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси z, проходящей через центр О пластины и называемой центральной осью, то изогнутая срединная поверхность ее представляет собой поверхность вращения, симметричную относительно оси z. Поэтому сечение пластины любой радиальной вертикальной плоскостью хОz, изображенное на рис. 59,б, окажется также симметричным относительно оси z. На рис.59 через х обозначена любая ось, лежащая в срединной плоскости и совпадающая с радиусом пластины; все точки А, лежащие на окружности радиусом х, испытывают одинаковое усилие, их вертикальные прогибы w (перемещения, параллельные оси z) тоже одинаковы.

Рис. 59

Если координата х получила приращение dx, то прогиб w получит соответствующее приращение dw. Отношение

(4.28)

представляет собой приближенно, ввиду малости w, угол наклона, который составляет касательная ТТ, проведенная в точке А, к изогнутой срединой поверхности пластины. При заданном направлении оси z тангенс угла и, следовательно, и угол - отрицательны. Как известно, криволинейная поверхность имеет в любой точке А два главных радиуса кривизны и , из которых один наибольший, а другой наименьший. Радиусы кривизны в данной точке совпадают с главной нормалью, т. е. с нормалью, лежащей в плоскости кривизны и перпендикулярной к касательной плоскости, проведенной в точке А к криволинейной поверхности.

Для круглой симметрично нагруженной пластины (рис. 60) главный радиус кривизны характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в плоскости хОz. Центр C₁кривизны может находиться выше или ниже плоскости Ох в зависимости от изгиба пластины: выпуклостью вниз или вверх.

Рис. 60

Радиус кривизны характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, и представляет собой образующую конуса, вершина которого C₂лежит на оси z, а радиус основания равен х. На основании приближенного выражения аналитической геометрии и зависимости (4.28) главная кривизна

. (4.29)

Из прямоугольного треугольника АВС₂видно, что

откуда вторая главная кривизна

. (4.30)

Подстановка значений (4.29) и (4.30) в формулы (4.13), (4.14) с учетом (4.15) дает выражения для погонных изгибающих моментов радиального М_rи окружного М_T:

. (4.31)

Для дальнейших выводов понадобится еще выражение производной погонного радиального изгибающего момента

. (4.32)

4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины

Это уравнение может быть получено из уравнения (4.11) путем преобразования его на основании формул перехода от прямоугольных координат к полярным. Применительно к осесимметричной задаче той же цели можно достигнуть при непосредственном рассмотрении элемента круглой пластины. Для этого выделим из круглой пластины толщиной h, испытывающей распределенную нагрузку, симметричную относительно центральной оси z, двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол , и двумя окружными сечениями с радиусами х и х + dxэлемент, заштрихованный на рис. 61 и показанный отдельно на рис. 62. Этот элемент подвергается действию не показанной на рис. 62 распределенной нагрузки, погонных поперечных сил Q и Q + dQ и погонных изгибающих радиальных моментов M_rи М_r+ dM_rпо окружным сечениям, а также погонных окружных изгибающих моментов М_Tпо радиальным сечениям.

Колебания пластины (пластин) 📙 Реферат → 🆔 121021