Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Расчет показателей тесноты связи

Содержание

Введение 3

Расчет показателей тесноты связи - дисперсии, ковариации

и корреляции. 4

Парный регрессионный анализ. 12

3. Оценка качества регрессионной модели 16

4. Множественная линейная регрессия 18

5. Гетероскедастичность 21

Заключение 32

Литература 33

Введение

Экономические процессы все время усложняются, что требует

создания и совершенствования особых методов изучения и анализа. Актуальность темы заключается в том, что эконометрика позволяет найти количественное подтверждение того или иного экономического закона или гипотезы, помогает построить прогнозы по различным экономическим показателям. С помощью эконометрического анализа можно дать оценку вероятности банкротства предприятия, провести анализ рыночного спроса. Цель данной работы – построение эконометрической модели. Предметом является эконометрическое исследование. Объектом – выявление взаимозависимости между уровнем среднедушевого дохода и расходов на питание и одежду на одного члена семьи в месяц. Для достижения данной цели необходимо решить ряд следующих задач:

сделать расчет показателей тесноты связи между доходом потребителей и расходом на питание;
определить и графически изобразить регрессионную зависимость между рассматриваемыми показателями;
построить регрессионную модель с двумя объясняющими переменными – расходы на питание и расходы на одежду;
сделать анализ ряда данных на наличие гетероскедастичности.

Для решения вышеперечисленных задач была использована учебная литература.

Расчет показателей тесноты связи между доходом

потребителей и расходами на питание и одежду.

1. Многие экономические показатели определяются несколькими числами, являясь по сути многомерными случайными величинами. Значения ряда экономических показателей предопределяют величины других показателей. Поэтому одна из центральных задач – выявить наличие и определить силу взаимосвязи между различными экономическими показателями. В нашем случае - между доходом и потреблением. В следствие этого при проведении эконометрического анализа одно из главных мест занимает исследование взаимосвязи случайных величин, при которых реализация одной из случайной величины влияет на вероятность определенной реализации других случайных величин.

Случайной величиной называют величину, которая в результате наблюдения принимает то или иное значение, заранее не известное и зависящее от случайных обстоятельств. Различают дискретную и непрерывную случайные величины. Дискретная случайная величина – это величина, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Непрерывную случайная величина – это величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка.

Для определения численных характеристик случайных величин используют оценки:

1. Способ оценивания (общее правило или формула)

2. Значение оценки (конкретное число).

Важнейшими из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение средней величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению. Для решения многих задач достаточно знать эту величину.

Среднее значение исследуемой величины определяется по следующей формуле:

x=1/n Σx_i

где n – количество единиц в совокупности

Вычисления производим на основании таблицы № 1.

а) по доходу x = 1/7 14,0 = 2,0

б) по расходу на питание y = 1/7 4,965 = 0,709

в) по расходу на одежду z = 1/7 4,394 = 0,628

Таким образом, математическое ожидание рассчитывается в тех случаях, когда желают определить возможное среднее значение исследуемой величины. Однако для детального анализа значения средней величины явно не достаточно. Существуют отличные друг от друга случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания. Следовательно, нужна числовая характеристика, которая оценивает разброс возможных значений средних величин относительно ее среднего значения. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения средних величин от ее математического ожидания. Она рассчитывается по формуле:

å_i(x -`x)²

s_x² = ¾¾¾¾¾

а) по доходу

14,8

s_x² = ¾¾¾ = 2,114

б) по расходу на питание

1,572

s_у² = ¾¾¾¾ = 0,225

в) по расходу на одежду

1,605

s_z² = ¾¾¾¾ = 0,229

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности средней величины. Для того чтобы представить разброс значений средних величин в тех же единицах, что и сама средняя величина, выводится другая числовая характеристика – среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением называют квадратный корень из дисперсии

å_i(x -¯x)²

s_x = ¾¾¾¾¾

а) по доходу

s_x = 2,114 = 1,454

б) по расходу на питание

s_у = 0,225 = 0,474

в) по расходу на одежду

s_z = 0,229 = 0,479

Таблица №1

1.1. Расчет ковариации и корреляции

Часто построение закона распределения многомерной случайной величины является задачей достаточно громоздкой и в ряде случаев излишней. Кроме того, информация о каждой из составляющих случайной величины и о их взаимосвязи в этом случае не является очевидной. Для анализа степени взаимосвязи случайной величины обычно используют числовые характеристики, смешанные моменты распределения, ковариацию и коэффициент корреляции.

В принципе ковариация может служить индикатором наличия положительной (переменные изменяются в одном направлении) либо отрицательной (переменные изменяются в разных направлениях) связи между случайной величиной – ковариация в этом случае положительна либо отрицательна. Однако существенным недостатком ковариации является ее зависимость от размерностей рассматриваемых случайных величин. Поэтому при различных единицах измерения случайной величины одна и та же зависимость может выражаться различными значениями ковариаций. Кроме того, ковариация не позволяет определить силы (строгости) зависимости между рассматриваемыми случайными величинами.

Выборочная ковариация COV(x,y) является абсолютным показателем связи и рассчитывается по формуле:

COV(x,y) = 1/n (х – х)(у - у)

а) по расходу на питание

COV(x,y) = 0,665

б) по расходу на одежду

COV(x,z) = 0,687

Свойства ковариации имеют вид:

1. COV(x,y) = COV(у,х)

y=V+W, то COV(x,y)=COV(x,y)+СOV(x,w)

3. y=az COV(x,y)= a COV(x,z), где а=соnst

4. y=a a=const COV(x,y)=0

Также рассматривается теоретическая ковариация popcov(x,y), которую можно определить как математическое ожидание произведения отклонений двух средних значений (смотрим таблицу №1).

Для устранения недостатков вводится относительная мера взаимосвязи (безразмерная величина) – коэффициент корреляции. Различают теоретический и выборочный коэффициент

теоретический (S_х,у)

рор cov(x,у)

S_х,у =

s_x²s_y²

выборочная корреляция

cov(x,у)

r_x,y =

var(x) var(y)

где var(x) – выборочная дисперсия

(х – х)²

var(x) =

а) по расходу на питание

var(x) = 2,114 var(у) = 0,225

0,665

r_ху = = 0,964

2,114 0,225

б) по расходу на одежду

var(x) = 2,114 var(z) = 0,229

0,687

r_хz = = 0,987

2,114 0,229

Получены следующие свойства коэффициента корреляции

а) по расходу на питание: -1 £ S_xe £ 1

б) по расходу на одежду: S_xz» 1

которые изображены на графике

а) по расходу на питание

S_xy » 0,7 – 0,9

0 х

б) по расходу на одежду

S_xz » 1

0 x

На графиках взаимосвязь между хy и хz близка к линейной и прямая достаточно хорошо соответствует эмпирическим точкам. Поэтому в данном случае в качестве зависимости между ху и хz целесообразно выбрать линейную функцию.

Парный регрессионный анализ.

Поведение и значение любого экономического показателя зависит практически от бесконечного количества факторов и все учесть нереально. Но в этом нет необходимости. Обычно лишь ограниченное количество факторов действительно существенно воздействуют на исследуемый экономический показатель. Доля влияния остальных факторов столь незначительна, что их игнорирование не может привести к существенным oтклонениям в поведении исследуемого объекта. Выделение и учет в модели лишь ограниченного числа реально доминирующих факторов и является серьезной предпосылкой для качественного анализа, прогнозирования и управления ситуацией.

Можно указать два варианта для рассмотрения взаимосвязей между двумя перечисленными х и у. В первом случае обе переменные считаются равноценными в том смысле, что они не подразделяются на первичную и вторичную переменные. Основным в этом случае является вопрос о наличии и силе взаимосвязи между этими переменными.

Другой вариант рассмотрения взаимосвязей выделяет одну из величин как независимую, а другую как зависимую. В этом случае изменение первой из них может служить причиной для изменения другой.

В нашем случае рост дохода ведет к увеличению потребления. Однако такая зависимость не является однозначной в том смысле, что каждому конкретному значению объясняющей переменной соответствует некоторое вероятное распределение зависимой переменной. Поэтому анализируют как объясняющая переменная влияет на зависимую переменную «в среднем». Зависимость такого типа выражается соотношением:

M(у/х) = f(x)

называется функцией регрессии y и х. При этом х называется независимой (объясняющей) переменной- регрессором, у–зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении зависимости двух случайных величин говорят о парной регрессии. Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним) значением зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.

Для отражения того факта, что реальные значения зависимой переменной не всегда совпадают с ее условиями математическими ожиданиями и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной, фактическая зависимость должна быть дополнена некоторым слагаемым Е, которое по существу является случайной величиной и указывает на стохастическую суть зависимости. Из этого следует, что связи между зависимой и объясняющей переменными выражается соотношениями:

У = M(y/x) + E

У =M(y/x₁,x₂,…,x_m) + E

называемыми регрессионными моделями.

2. Методы определения параметров

в уравнении регрессии.

Парная линейная регрессия.

Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Модель линейной регрессии является наиболее распространенным и простым видом зависимости между экономическими переменными. Кроме того, построение линейного уравнения может служить начальной точкой экономического анализа.

Задачи линейного регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным (х_i,y_i) i=1,2,…,n, для переменных х и у:

а) получить наилучшие оценки неизвестных параметров b₀ и b₁;

б) проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

в) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными.

Для линейной функции:

а) по расходу на питание

а = 0,709 / 2,0 = 0,354

б) по расходу на одежду

а = 0,628 / 2,0 = 0,314

Метод проб.

Метод проб заключается в том, что всем параметрам кроме одного задают ориентировочные числовые значения. Затем методом средних вычисляется неизвестный параметр, в дальнейшем можно фиксировать его значение и методом средних найти другой параметр.

а₀ = у –х

а₁ =1/х (у – а₀)

а) по расходу на питание

а₀ =0,709 – 2,0 = -1,291

а₁ = 1/2,0 (0,709 + 1,291) = 1

б) по расходу на одежду

а₀ = 0,628 – 2,0 = -1,372

а₁ = 1/2,0 (0,628 + 1,372) = 1

Метод наименьших квадратов.

Этот метод оценки является наиболее простым с вычислительной точки зрения:

- оценки метода наименьших квадратов, являются функциями от выборки, что позволяет их легко рассчитывать;

- оценки метода наименьших квадратов, являются точечными оценками теоретических коэффициента регрессии;

- эмпирическая прямая регрессии обязательно проходит через точку (x,y);

- эмпирическое уравнение регрессии построено таким образом, что сумма отклонений åе_i, а так же среднее значение отклонения e равны нулю;

случайные отклонения е, не коррелированы наблюдаемыми значениями у_i зависимой переменной y.

а) по расходу на питание

y - .

1611 -

986 - .

906 - .

715 - .

316 - .

241 - . ^.

190 -

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` x

0 400 800 1200 1600 2000 3000 5000

б) по расходу на одежду

1650 - _.

966 - _.

508 -

444 - ^. _.

405 -

210,211 - . .

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` x

0 400 800 1200 1600 2000 3000 5000

По расположению точек на корреляционном поле полагаем, что зависимость между х и у линейная: у = в₀+ в₁х

Вычисления производим на основании таблицы № 2.

Таким образом уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

ху – х у

в₁=

х² – х²

в₀ = у – в₁ х

а) по расходу на питание

2,084-2,0 0,709

в₁= = 0,315

6,114 – 4,0

в₀ = 0,709 – 0,315 2,0 = 0,079

б) по расходу на одежду

1,943 -2,0 0,628

в₁= = 0,325

6,114 – 4,0

в₀ = 0,628 – 0,325 2,0 = - 0,022

Таким образом уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

а) по расходу на питание

у = 0,079 + 0,315х

б) по расходу на одежду

z = -0,022 + 0,325х

В нашем примере коэффициент в₁ может трактоваться как предельная склонность к потреблению(МРС₁» 0,315);(МРС₂» 0,325).

Фактически он показывает на какую величину изменятся объем потребления, если располагаемый доход возрастет на единицу. Свободный член в₀ уравнения регрессии определяет прогнозируемое значение у при величине располагаемого дохода х, равной нулю (т.е. автономное потребление). В нашем случае значение в₀=0,079 говорит о том, что при нулевом располагаемом доходе расходы на потребление составят в среднем 79 тысяч рублей. Следует помнить, что эмпирические коэффициенты регрессии в₀ и в₁ являются лишь оценками теоретических коэффициентов b₀ и b₁, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Индивидуальные значения переменных в силу различных причин могут отклоняться от модельных значений.

Расчет показателей тесноты связи 📙 Реферат → 🆔 234309