Сучасні концепції розвитку логічного знання

Зміст:

Вступ.

1. Етапи розвитку логічної науки.

2. Сучасний етап розвитку  логічних знань.

3. Основні концепції сучасного логічного знання.

4. Значення  сучасної логіки.

Висновки.

Список використаної літератури.

Вступ

Термін “логіка” сьогодні загалом застосовується у трьох  головних значеннях. По-перше, ним позначають будь-яку необхідну закономірність у взаємозв’язку об’єктивних  явищ – “логіка фактів”, “логіка  історичного розвитку” тощо. По-друге, словом “логіка” позначають закономірності у зв’язках і у розвитку думок  – “логіка міркування”, “логіка  мислення”. Нарешті, логікою називають  окрему науку, яка розглядає мислення з позиції його формальної правильності. Назва логіки походить від грецького слова logos – “думка”, “слово”, “закон” і т.д. Але на відміну від інших наук, що вивчають мислення людини, наприклад, фізіології вищої нервової діяльності чи психології, логіка вивчає мислення як засіб пізнання. Логіка, яка вивчає мислення і застосовується як засіб пізнання, виникла і розвивалась як філософська наука і в теперішній час являє собою складну систему знань, що включає дві відносно самостійні науки: логіку формальну і логіку діалектичну (усне пояснення).

Перш ніж ми будемо рухатися далі, потрібно з’ясувати, у чому полягає  загальна природа власне феномену мислення.

З курсу філософії та психології відомо, що мислення є видом пізнання – процесу або діяльності, спрямованої  на отримання, збереження і переробку інформації (знань). Нам також відомо, що процес пізнання у живій природі (фауні) може протікати у формі практичного (чуттєвого) пізнання, яке триває при безпосередній дії предметів та об’єктів на сенсори організму. Цей вид пізнання домінує у більшості тварин, для дорослої ж людини він є другорядним.

Принципово іншим видом  пізнання є пізнання теоретичне (власне мислення). Воно є опосередкованим, тобто непрямим – здійснюється без  необхідності контакту з предметами і явищами. Спроможність до мислення дає людині безліч переваг над  іншими видами тварин. Пристосованість  до цього виду пізнання і налаштованість саме на нього є найдосконалішою  формою адаптації. Іншими словами, людина не має надзвичайно розвиненого  слуху, зору, фізичної сили, природної  досконалої термоізоляції тощо, але  вона має мислення, завдяки чому вид Homo Sapiens домінує над живою  і неживою природою.

Опосередкований характер теоретичного пізнання (мислення) виявляється у  тому, що доросла людина, як правило, маніпулює не самими предметами, а  їх знаками-посередниками – поняттями, судженнями і подумки отримує  попередній план майбутніх практичних дій.

Мислення подібно до пізнання практичного, протікає трьома етапами (має три основні форми): поняття, судження, умовивід. Саме ці основні  форми мислення, а також його принципи (закони) вивчає окремий розділ логіки, який має назву “формальна” і  складає змістову основу академічної  дисципліни “Логіка”.

Мислення людини підкоряється логічним законам і протікає в  логічних формах незалежно від науки  логіки. Вона є лише наслідком існування  певного закономірного стану речей і є його систематизоване і упорядковане відображення. Так як для фізики причиною її виникнення є закони Всесвіту, так логіці передують закони мислення. Як фізика, вона знаходиться в постійному становленні і розвитку, тому що можливості і предмет її дослідження і відображення безмежно широкі, і не пізнані. Багато людей мислять логічно, не знаючи правил логіки, так само як для падіння (комусь або чомусь) необов’язково знати закони тяжіння або для розмови – закони граматики.

Таким чином логіку можна  визначити також як науку про  закони і форми теоретичного пізнання на рівні абстрактного мислення.

1. Етапи розвитку  логічної науки

Для науки її історія є  путівником з минулого в майбутнє, корисним уроком, що допомагає знаходити  нові й оригінальні варіанти вирішення  того, що вже відоме й ще непізнане, але вже освоюється. Історичні кореням і розвитку сучасної символічної логіки сягають далекої давнини, а прогрес відбувається у кілька етапів.

Становлення європейської логічної науки тісно пов'язане з ім'ям великого грецького філософа Арістотеля (384— 322 до н. е.), який не розглядав логіку як самостійну науку, а логічний аналіз вважав тільки необхідним інструментом будь-якої науки. Описуючи й характеризуючи логічний інструментарій мислення, філософ користувався словом «аналітика», що відбилося у назвах двох його трактатів — «Перша Аналітика», «Друга Аналітика». У цих трактатах було викладено вчення про умовивід і доведення.

Розглядаючи логічну проблематику, Арістотель прагнув виявити за допомогою аналізу основні закони усякого спору, що веде до істини. Ці закони він розумів як закони мислення. Звідси й веде свою традицію розгляд формальної логіки як науки, що вивчає мислення, точніше — логічні форми мислення. Прихильники такої, можна сказати, «мертвої традиції», самі того не бажаючи, відходять у бік психології мислення і тим самим віддаляються від вивчення «мови» науки і «мови» техніки. Однак є вчені, які під формальною (символічною) логікою розуміють теорію слідування, доведення, вивідності одних тверджень з інших у процесі міркувань (В. М. Костюк).

Важливий етап у розвитку ідей і методів логіки пов'язаний з філософською школою античних стоїків, фундатором якої був Зенон з Кітіона (333—262 до н. е.). Деякі сучасні вчені (П. С. Попов, М. І. Стяжкін) не без підстав вважають, що досягнення стоїків у певному розумінні переважають те, що зробив Арістотель у цій галузі. Найціннішим у логічній спадщині стоїків є їхня ідея аксіоматичної будови логічних учень і внесок у розробку логіки модальностей. Не можна не підкреслити й той факт, що саме завдяки стоїкам до філософського лексикону увійшов термін «логіка» для позначення власне логічного розділу філософського знання.

Вельми високим був  рівень розвитку логічної техніки у  схоластичній логіці середньовічної Європи. Тому варто відразу застерегти тих, хто цікавиться історією логіки, від  недооцінки інтелектуального генія  вчених Середньовіччя.

Саме у середні віки логіка стає однією з основних дисциплін  тогочасної освіти. Вона входить до тривіуму – циклу із трьох наук, до котрого окрім логіки включалися ще граматика і риторика. Вивчення цих трьох дисциплін у тогочасних навчальних закладах було обов’язковим. До речі, логіка була обов’язковим предметом  вивчення у Києво-Могилянській академії.

Фундатором філософської схоластики в Західній Європі вважають шотландця Іоанна Скота Еріугену (бл. 810—877 ), який визначав логіку як науку про форму пізнання й про правила, якими має керуватися будь-яка наукова дисципліна.

Схоластична логіка сформувалася в XIII ст. До цього періоду належить діяльність талановитого філософа й  логіка Іоанна Дунса Скота (бл. 1266— 1308), з чиїм ім'ям, до речі, пов'язана  поява термінології, яка розрізняє  абстрактні й конкретні поняття. Саме йому належить теоретичне уточнення  поняття інтенції, широко вживаного  в філософській і логічній літературі. До нього це поняття вживалося  як синонім слова «увага».

Видатні представники середньовіччя  дуже високо оцінювали логіку як науку. Ось як писав про неї відомий  логік кінця ХІ ст., візантійський  письменник, філософ , державний діяч Михайло Псьолл (1018 – 1090): “Логіка  – це мистецтво мистецтв та наука  наук, яка вказує шлях до початку  усіх методів”. Цю точку зору на оцінку методологічного значення логіки підтримувала більшість філософів-схоластів середньовіччя.

Слідом за Дунсом Скотом великий внесок у розвиток логіки зробили Уїльям Оккам (бл. 1285— 1349), Раймунд  Луллій (бл. 1235— 1315) та ін. Філософи Середньовіччя досягли успіхів у тонкощах логічного аналізу, у вдосконаленні абстрактної аргументації, а також у побудові досить цікавих логічних класифікацій. Завдяки цьому вони визначили наперед багато ідей сучасної символічної логіки, у тому числі ідеї логічної семантики й модальної логіки. Багато яскравих мислителів XIX— XX ст. належним чином оцінили досвід філософів Середньовіччя й використали його для розв'язання деяких сучасних теоретичних задач.

Подальший розвиток логіки пов'язаний з іменами таких видатних західноєвропейських мислителів, як Р. Декарт, Г. Лейбніц, І. Кант і ін. Французький філософ Р. Декарт (1569-1650рр.) виступив із критикою середньовічної схоластики, він розвив ідеї дедуктивної логіки, сформулював правила наукового дослідження, викладені у творі "Правила для керівництва розуму". В 1662 р. в Парижі вийшла книга "Логіка, або Мистецтво мислити", написана послідовниками Декарта А. Г.,О. Арно й П. Ніколем, відома також за назвою "Логіка Пор - Рояля" (тому що автори були членами релігійної корпорації, що влаштувався в монастирі Пор - Рояль).

Сучасний етап розвитку логіки визначають як сучасна формальна  логіка. Вона сформувалася наприкінці XІX - початку ХХ століття і засновником її вважають видатного німецького вченого Г.Лейбніца. Він  започатковує вчення про раціональну основу індукції. Рік виходу у світ твору Лейбніца "Про комбінаторне мистецтво" - 1666 р.- сучасна символічна (математична) логіка вважає роком свого народження. 

На початку XVІІІ в. філософія  Лейбніца була перетворена Христианом Вольфом (1679-1754). Спрощуючи, він популяризував  філософію Лейбніца, підносячи її в ясній, систематичній формі. Так  виникла так звана лейбніце - вольфіанська філософія, яка зайняла пануюче  положення в університетах.

Першу формалізовану мову створив Готлоб Фреге у 1879 р. Сучасна  логіка широко застосовується у математиці, лінгвістиці, праві, філософії, психології, економіці, інформатиці тощо.

З початком застосування математики логіку називають класичною. Її засновниками також були Джордж Буль (1815-1864), Огастес (Августус) де Морган (1806-1871), Готлоб Фреге (1848-1925) та ін. Назвемо лише деяких видатних учених, які внесли істотний вклад  у її розвиток.

Джордж Буль (1815—1864) —  один із засновників математичної логіки. Поклавши в основу своїх досліджень аналогію між алгеброю і логікою, він розробив відповідне логічне  числення, в якому застосував закони й операції математики (додавання  класів, множення тощо). Алгебро-логічний метод дав можливість Булю виявити  нові типи висновків, які не враховувались  у традиційній силогістиці. Він  детально проаналізував закони комутативності, асоціативності, дистрибутивності.

Огастес де Морган (1806—1871) —  засновник логічного аналізу  відношень, зокрема запропонував формулу  суджень відношення, яка нагадує  сучасну формулу «аRЬ». Він сформулював  основні принципи логіки висловлювань і логіки класів. У розробленій  ним алгебрі відношень аналізував операції додавання, множення тощо. В  математичній логіці Морган сформулював  закони, які носять його ім'я —  «закони де Моргана».

Готлоб Фреге (1848—1925) заклав основи логічної семантики. У своїй фундаментальній праці «Основні закони арифметики» він побудував систему формалізованої арифметики на основі розробленого ним розширеного числення предикатів з метою обґрунтування ідеї про зведення математики до логіки.

Ідеї Фреге багато в  чому наперед визначили розвиток логіки XX ст.: він увів поняття логічної функції й розрізнення властивостей речей і відношень (а відповідно одномісних і багатомісних логічних функцій); вперше увів символи для  позначення кванторів; увів поняття  істиннісного значення тощо.

Фреге систематично досліджував  відношення між мовними виразами і предметами, які позначаються цими виразами; розкрив відмінність між  значенням і смислом мовних виразів. Його праці розцінюються як початок  нового етапу в розвитку математичної (символічної) логіки.

Чарлз-Сандерс Пірс (1839—1914) — родоначальник семіотики (загальної  теорії знаків). У своєму численні він  використовував як строгу, так і  нестрогу диз'юнкції. Пірс сформулював  закони матеріальної імплікації. Тривалий час його праці не були відомі широкій  науковій громадськості.

Давид Гільберт (1862—1943) досяг  значних успіхів у застосуванні методу формалізації в тлумаченні логічних умовиводів, у розробці числення висловлювань і предикатів, у дослідженні аксіоматизації знань. Він здійснив строго аксіоматичну побудову геометрії Евкліда, що наперед  визначило подальший розвиток досліджень з аксіоматизації наукового знання, запропонував розгорнутий план обґрунтування  математики шляхом її повної формалізації. Щоправда, ця програма виявилась нездійсненною, проте її ідеї спричинили виникнення метаматематики (теорії доведень).

Альфред-Норт Уайтхед (1861—1947) у співавторстві з Б. Расселом написав тритомну працю «Принципи  математики», яка внесла значний  вклад у розвиток математичної логіки.

Бертран Рассел (1872—1970) має  великі заслуги у сфері розробки мови сучасної логічної символіки. Він  систематично виклав теорію числення висловлювань і теорію класів. У  книзі «Принципи математики»  разом з Уайтхедом розвинув математичну  логіку способом аксіоматизації й формалізації числень висловлювань, класів і предикатів, а також теорію типів як способу  переборення парадоксів. Крім того, Рассел досліджував логічний аспект проблеми існування, логічний статус дескрипції, природу деяких парадоксів тощо.

Платан Порецький (1846—1907) першим у Росії розробив і читав  курс математичної логіки. Він узагальнив і розвинув досягнення Дж. Буля, У.-С. Джевонса, Е. Шредера у сфері алгебри  логіки. Значне місце у працях Порецького займала «теорія наслідків». Ним  узагальнена теорія силогістики  традиційної логіки, проаналізовані деякі несилогістичні міркування тощо.

Значним є внесок у розвиток сучасної логіки і деяких інших учених, зокрема представників львівсько-варшавської  школи, до якої належали К. Твардовський, Я. Лукасевич, С. Лесьневський, А. Тарський, Т. Котарбіньський, К. Айдукевич та ін. Вони багато зробили для розвитку логічної семантики, теорії множин, модальної  й багатозначної, математичної логіки, для розв'язання металогічних і методологічних проблем тощо.

На XX століття припадає бурхливий  розквіт різних розділів логічної науки, активна участь логіків у розв'язанні нагальних практичних завдань, зумовлених особливостями сучасного науково-технічного прогресу. Плеяда вчених, яким належать значні успіхи в галузях логіки, математики, філософії, становить золотий  фонд науки XX ст. До їх числа належать: німецький математик і логік  Давид Гільберт (1862— 1943), німецький  філософ і логік Рудольф Карнап (1891— 1970), австрійський вчений Людвіг Вітгенштейн (1889— 1951), англійські філософи й логіки Алфред Норт Уайтхед (1861— 1947) і Бертран  Рассел (1872— 1970), американські вчені Персі Уїльямс Бріджмен (1882- 1961) і Кларенс Ірвінг Льюїс (1883- 1964), польські філософи й логіки Ян Лукасевич (1878— 1956), Казі-меж Айдукевич (1890— 1963) і Альфред Тарський (1902— 1983), а також інші всесвітньо відомі вчені. Завдяки їхній копіткій праці логіка перетворилася на могутню й багатофункціональну дисципліну, яку ефективно використовують як теоретики сучасної науки, так і практики.

В Україні сучасна логіка почала розвиватися на початку ХІХ  ст. Так, наприкінці XVIII - на початку XIX ст. проблеми логіки вивчав П. Лодій, який опублікував результати своїх досліджень у працях "Логические наставляння" і "Теория общих правил". Значний  внесок у розвиток логіки зробив О. Потебня.

У період радянської влади  в Україні формальну логіку тривалий час ігнорували, а то й критикували  як основу метафізичного методу. Тільки в другій половині 40-х років за таємничих обставин її було реабілітовано ("мовчки"), і курс формальної логіки введено до програм не лише вузів, а й середніх шкіл та деяких спеціальних середніх закладів освіти. А через певний час курс логіки вилучили з програм середніх навчальних закладів і більшості вузівських. Сучасну ж логіку, зокрема логіку висловлювань і логіку предикатів, зневажливо називали логістикою. Лише у 1961 р. Є. Войшвілло прочитав у Київському державному університеті для викладачів логіки курс лекцій з логіки висловлювань і логіки предикатів. У той самий час в Інституті філософії АН УРСР розпочинали свою роботу М. Попович і С. Кримський (а в Одесі - А. Уйомов). 

 
Ці київські вчені та їх учні - С. Васильєв та Є. Ледніков - зробили певний внесок у розвиток символічної логіки, логічної семантики та семіотики  і пробудили цікавість до цієї сфери знань.

 
В останні десятиліття в Україні  виросла ціла когорта вчених, які  плідно працюють над проблемами сучасної логіки. Це насамперед А. Ішмуратов, В. Омельянчик та інші.

2. Сучасний етап розвитку логічних знань

Сучасний етап у розвитку науки логіки характерний такими особливостями:

1. Поширення предмета  дослідження логіки, що зумовлено  дослідженнями нових типів і  способів міркувань (розумово-мовленнєвої  діяльності людей). У цьому сенсі  нова логічна теорія узагальнює  практику мислення людей на  певному етапі історичного розвитку  суспільства.

2. Логіка як складова  частина філософського знання  досліджує зміну парадигм філософського  мислення та моделює особливості  філософських міркувань. Це спричинило  виникнення нових типів модальної  логіки, зокрема логіки зміни,  логіки причинності, логіки соціальної  взаємодії та інших, а також  напряму логічних досліджень - філософської  логіки.

3. Взаємозв'язок логіки  з сучасними конкретними науками  зумовив, з одного боку, зростання  методологічної функції логіки  в конкретно-наукових дослідженнях; з іншого - зміну методології наукових  досліджень, зміну наукових парадигм. Зростання інтегративних (міждисциплінарних)  процесів у науці спричинило  зміну напрямів сучасних логічних  досліджень, активізувало необхідність  розроблення нових логічних теорій  загальнотеоретичного і прикладного  характеру, в тому числі паранесуперечливої  логіки, логіки соціальних комунікацій,  комп'ютерної логіки, логіки смислу  та ін.

Сучасна логіка розвивається в таких напрямах:

1. Теоретична  і прикладна логіка.

Теоретична логіка - сукупність логічних теорій (логічних систем знання), що виникли історично як певна  ступінь розвитку науки логіки, а  саме, традиційна логіка, символічна логіка (класична та некласична). На сучасному  етапі розвитку до теоретичної логіки належать нові напрями формальних і  неформальних логічних досліджень.

Прикладна логіка - сфера  застосування науки логіки; різноманітність  практичного використання логічних теорій, унаслідок чого логіка виконує  методологічну функцію і набуває  прикладного значення. Практичне  використання логічних теорій має форму  інтерпретації. Інтерпретована в певній сфері практичної та пізнавальної діяльності людей логічна теорія називається  моделлю.

До прикладних логік належать комп'ютерна логіка, логіка науки, логіка дискурсу, юридична логіка й інші напрями  формальних і неформальних логічних досліджень, пов'язаних із конкретною сферою наукового пізнання та практичного  використання логічного знання.

2. Формальна і  неформальна логіка.

Формальна логіка - логіка, яка  вивчає формальну структуру мислення, абстрагуючись від його змісту, процес міркувань, відокремлюючи їх абстрактні форми, виражені певною мовою.

Сфера досліджень сучасної формальної логіки - це особливості  побудови формальних систем (логічних числень) і можливостей їх інтерпретації.

Неформальна логіка - новий  напрям сучасних логічних досліджень, спрямований на моделювання мовленнєвих  актів - міркувань, що створює людина в повсякденному житті певною мовою. Неформальна логіка трактується  як "реанімація" традиційної логіки Арістотеля, зокрема тих його логічних праць ("Топіка", "Про софістичні спростування"), які уособлюють сферу  повсякденних міркувань (А. Шуман). Предметом  дослідження сучасної неформальної логіки (теорії мовленнєвих актів) є  логічна структура повсякденної мови, способи використання природної  мови; аналіз висловлювань як виявлення  ментального стану людини.

3. В історичному розвитку  кожної науки відокремлюють рівень  метатеорії, яка виникла унаслідок  рефлексивних досліджень науково-пізнавальної  діяльності вчених і наукового  знання як результату цієї  діяльності. На сучасному етапі  розвитку конкретної науки зазначають  її метарівень - метаматематика, метапсихологія, метабіологія, металогіка.

Металогіка - розділ сучасної логіки, що досліджує особливості  побудови формальних систем (логічних теорій, логічних. числень); логічна  метатеорія. Вона формулює принципи і  правила побудови формальних систем, вводить особливу термінологію і  метасимволи, які характеризують металогічний рівень сучасних логічних досліджень. Складові частини металогіки - логічна  семантика, логічний синтаксис, логічна прагматика.

3. Основні концепції сучасного логічного знання

Проблема обґрунтування  підстав науки виникла тоді, коли філософи, логіки, математики, фізики та представники інших наук стали осмислювати  природу науки як різновиду пізнавальної діяльності, спрямованої на отримання  об'єктивно-істинного знання про  світ, специфіку наукового мислення як вияву раціональності, відшуковувати  об'єктивні чинники, що зумовлюють її виникнення, формування та розвиток.

Уперше проблему обґрунтування  підстав науки висунув Арістотель. Він сформулював питання про  початок окремих наук і про  початок усіх наук.

І. Кант у праці "Критика  чистого розуму" для пошуку обґрунтування  підстав науки сформулював свої, що стали класичними, питання: "Як можлива математика?", "Як можливе  природознавство?", "Як можлива  метафізика?" Він обґрунтував  виникнення й існування математики, природознавства, метафізики, апелюючи до "чистого" розуму в межах  створеної ним трансцендентальної логіки.

Пошук підстав своєї науки  вчені здійснюють на метанауковому  рівні (метаматематика, металогіка, метафізика, метабіологія та ін.). Це рефлексивна  діяльність теоретичного мислення вченого, об'єктом дослідження якої постає сама наука як соціокультурне явище  й соціальний інститут, спрямований  на пізнання та накопичення об'єктивно-істинного  знання про світ.

Соціальна сила науки історично  зростає. Вона перетворилася на головний чинник зміни життєдіяльності людей. На підставі отримання наукового  знання, його реалізації в певних технологіях  створюють нові артефакти культури та цивілізації. Людина (людство) робить величезний прорив у техніці й  технології, й те, що раніше здавалося  неможливим, стає можливим. Відтак сама наука перетворюється на об'єкт уваги  суспільства та метанаукових досліджень.

До напрямів метанаукових досліджень належить обґрунтування  підстав конкретної науки. У логічному  аспекті обґрунтування підстав  науки - це виведення певної наукової теорії, певної науки з іншого джерела  за схемою: "В є тому, що є А", де А - підстава, В - наслідок. У процесі такого мотивування виявляється, що жодна наука не виникає сама собою, а зумовлена множинністю чинників.

Обґрунтовуючи підстави конкретної науки, дослідники визначають такі чинники:

- практичні (практична  діяльність людей спричиняє виникнення  певних наук);

- культурологічні (наука  як частина певного типу культури  та цивілізації);

- філософські (в межах  філософії виникли теорії, що  поступово набули автономного  статусу й перетворилися на  самостійні науки, - психологія, логіка, епістемологія та ін.);

- логічні (логічні методи  пізнання, логіка побудови наукових  теорій);

- загальнонаукові (відокремлення  нових об'єктів дослідження, парадигми  наукового мислення, принципи та  методи наукового пізнання, способи  пояснення й обґрунтування).

В історичному аспекті  пошук підстав конкретних наук здійснювали  від монізму до плюралізму, тобто  від визнання лише однієї підстави до розуміння, що не існує такої єдиної підстави й залежно від прийнятого науковим співтовариством у певний історичний час парадигми наголошували на тій або іншій підставі.

Розглянемо пошук підстав  науки на прикладі математики та логіки як наук, що різняться від усіх інших  предметом і методами дослідження. Математику та логіку визначають як універсальні підстави для виведення інших  наук. А що є підставою.

Обґрунтування підстав математики - напрям металогічних і метаматематичних досліджень, який виник наприкінці XIX - початку XX ст. Пошук логіками та математиками теоретичних підстав  математики (математичних теорій) зумовили виникнення таких концепцій:

• формалізм
• логіцизм
• інтуїціонізм
• конструктивізм
• онтологізм
• гносеологізм
• психологізм
• антипсихологізм
• конвенціоналізм

Формалізм - історично перша  концепція обґрунтування підстав  математики, з погляду якої математика - суто формальна система, створена зі штучних символів методом формалізації. Тому формальна система передбачає низку критеріїв (принципів) побудови; несуперечність, повнота, незалежність, розв'язуваність.

Концепцію формалізму сформулював  німецький математик Д. Гільберт на підставі своєї програми. Ця програма визначалася як подальший розвиток аксіоматичного методу в математиці через уведення поняття "формальна  система" і мала на меті повну  формалізацію математичної теорії та побудови загальної теорії або метатеорії всіх математичних теорій на підставі принципу формалізму.

Концепція формалізму виявилася  недостатньою, коли німецький логік  і математик К. Гьодель сформулював  дві теореми про неповноту  формальної системи. З них випливає: неможливо повністю формалізувати  арифметику, а отже, класичну математику загалом; неможливо довести несуперечність будь-якої формальної системи арифметики, а отже, класичної математики засобами цієї системи.

Теореми Гьоделя про неповноту  формальної системи є мета-теоремами, котрі визначають неможливість повної формалізації змістовної частини певної формальної системи, сформульовану  Д. Гільбертом на підставі своєї програми.

Логіцизм - концепція обґрунтування  підстав математики, з погляду  якої математика виводиться з логіки. Концепцію логіцізму сформулювали і розвинули Г. Фреге, Б. Рассел, Р. Карнап. Зокрема, Г. Фреге виводив  арифметику з логіки через експлікацію  поняття "натуральне число" та доведення  основ теоретичної арифметики на підставі положення: "Всі вихідні  математичні поняття можуть бути визначені в термінах логіки". Б. Рассел виводив усю математику з логіки: "Чиста математика випливає з суто логічних засновків і використовує які визначені в логічних термінах". Р. Карнап стверджував, що логіка становить  підставу побудови метатеорії для математики та єдиної математичної мови, семантично й синтаксично достатньої для  математичних теорій.

Концепція логіцізму була визначена недостатньою з погляду  інтуїціонізму.

Інтуїціонізм - це концепція  обґрунтування підстав математики, яка стверджувала: логіка - частина  математики і, отже, не може слугувати  для ЇЇ обґрунтування, і лише інтуїція є підставою для створення  математичних теорій. Концепцію інтуїціонізму  сформулювали логіки та математики А. Гейтинг і Л. Брауер. Вони визнавали інтуїцію основним критерієм аргументування достовірності математичного знання та єдиним джерелом отримання нового знання в математиці.

У середині XX ст. виокремилася нова концепція обґрунтування підстав  математики, що отримала назву "конструктивізм".

Конструктивізм - концепція  обґрунтування підстав математики, з погляду якої синтез формалізму й інтуїціонізму є підставою  для побудови математичних теорій (конструктивний напрям у математиці). Конструктивізм відокремлює творчий початок  математичного розуму, його винахідливість і є синтетичною концепцією (синтез формалізму й інтуїціонізму). Концепція  конструктивізму сформульована  в працях А. Маркова, Ю. Єршова й інших  математиків.

Отже, визначені математиками та логіками підстави математики засвідчують, що на сучасному етапі розвитку математики не існує моністичного погляду на підставі математики. Виокремлені підстави - формалізм, логіцізм, інтуїціонізм, конструктивізм визначають множинність підстав, кожна з котрих наголошує на складній природі математики як науки.

Обґрунтування підстав логіки - напрям логіко-філософських досліджень, спрямований на виявлення теоретичних  підстав науки логіки (логічних теорій), і постає особливою проблемою, яку  осмислюють на рівні металогіки. Історично  пошук філософами та логіками підстав  науки логіки зумовило виникнення таких  концепцій - онтологізм, гносеологізм, психологізм, анти психологізм, формалізм, конвенціоналізм, лінгвістицізм. Онтологізм і гносеологізм - історично перші  способи обґрунтування науки  логіки. Це зумовлено тим фактом, що логіка - частина філософського  пізнання світу в поєднанні