Визначення розмірності простору вкладення при реконструкції атрактора

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Львівський національний університет імені Івана Франка

Економічний факультет

Кафедра економічної кібернетики

РЕФЕРАТ

на тему:

«Визначення розмірності  простору вкладення при

реконструкції атрактора»

Виконала:

студентка групи

ЕККс-61з

Русяк Н.Р.

Перевірила:

доц. Зомчак Л.М.

Львів – 2013

   Найважливіший метод дослідження еволюційних процесів в природознавстві 
полягає в побудові математичних моделей досліджуваних систем 
та їх аналізі. Як сказав один з великих мислителів минулого, будь-яке 
твердження істинне настільки, наскільки воно базується на математиці. 
Наявність математичної моделі досліджуваної системи істотно розширює 
можливості її вивчення, дозволяючи вирішувати завдання передбачення 
поведінки системи в часі і залежно режимів її функціонування 
від параметрів. Таким чином, одним з центральних задач 
математичного моделювання, рішення якої дає можливість 
здійснення наукового прогнозу функціонування системи в часі, 
що є однією з головних проблем в природознавстві. 
   Рішення задачі моделювання теоретично не містить проблем, 
якщо реальна система задана. Добре відомий приклад - коливальний 
LС - контур. На основі знання схеми контуру і електричних законів не 
створює труднощів записати основоположні співвідношення та отримати 
рівняння консервативного осцилятора:

   Рішенням рівняння (1) є гармонійний коливальний в часі 
процес, частота якого визначається параметрами контуру L і С. 
При заданих початкових умовах x(t₀) і (t₀) стан системи (1) 
буде однозначно відомо для будь-якого часу t ≥ t₀. 
Однак дуже часто доводиться стикатися з більш складною ситуацією, 
коли детальні відомості про систему або відсутні зовсім, 
або явно недостатні. Єдина інформація про властивості системи 
міститься лише в експериментальній залежності однієї з координат 
стану системи в часі. Така залежність a(t), виміряна протягом 
кінцевого часу t₀, називається спостережуваною (або реалізацією) 
системи, а при дискретизації з кроком ∆t:  a( i∆t ) = a_i, i = 1 , . . . , N; , вона називається одномірний часовий ряд. Робиться 
припущення про те, що спостережувана a(t) є детермінованою 
певної, тобто являє собою одновимірну проекцію фазової траєкторії, 
породжуваної деякою динамічною системою. Однією з 
завдань реконструкції динамічної системи є відновлення модельної 
динамічної системи, рішення якої з відомим ступенем точності відтворює 
одновимірну спостережувану a(t) на заданому інтервалі часу t₀ 
і для t > t₀. Дана проблема належить до класу обернених задач, рішення 
яких не може бути однозначним.

   Насправді, термін реконструкція включає досить широке 
коло завдань, і відновлення модельної динамічної системи являє собою лише одну з них (причому найбільш складну, іноді звану «глобальною» 
реконструкцією). Це, мабуть, завдання - максимум при аналізі автоколивальних систем за експериментальними даними. До числа інших проблем, також об'єднаних терміном «реконструкція», можна віднести відновлення фазового портрету динамічної системи по спостережуваній а(t), розрахунок характеристик складних режимів динаміки, за якими можна було б судити про геометрію хаотичних атракторів (фрактальні розмірності), про швидкість розходження фазових траєкторій або про ступінь передбачуваності досліджуваного режиму динаміки (показники Ляпунова і різні варіанти визначення помилки передбачення). У рамках цієї лекції ми обмежимося 
коротким розглядом різних завдань, які можна віднести до проблематики 
реконструкції: від простих до більш складних. Зокрема, ми 
обговоримо проблему отримання модельної динамічної системи у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь або дискретних відображень по 
одномірному часовому ряду. Важливо при цьому не забувати, що часовий 
ряд a(i∆t) передбачається детерміновано визначеним, тобто 
відображає еволюційний процес реальної динамічної системи, керованої детермінованими динамічними законами. Природно, що таке припущення 
звужує клас розглянутих сигналів. Якщо часовий ряд є наслідком 
абсолютно випадкового ( шумового ) процесу, то говорити про реконструкцію 
не має сенсу. Спробуємо зрозуміти основні проблеми, з якими пов'язане рішення задачі реконструкції. Перша обумовлена ​​необхідністю введення 
будь-яким чином координат стану системи. Адже нам відома залежність 
в часі (на кінцевому інтервалі!) лише однієї з координат 
реальної системи а(t). Як ввести нові координати і скільки їх повинно 
бути? Припустимо, що нам вдалося якось вирішити цю проблему. Але 
відразу ж виникають нові запитання. Наприклад, як визначити швидкість 
розходження фазових траєкторій? Якби нам були відомі рівняння, які генерують досліджуваний сигнал a(t), то можна було б перейти 
до рівнянь у варіаціях, розглядаючи нескінченно малі збурення. 
Але в нашому розпорядженні знаходиться лише тимчасова залежність однієї 
з координат стану, і всю інформацію про складний режим коливань 
ми повинні взяти тільки з неї. Звернувшись до більш складної проблеми - відновлення модельної динамічної системи, доведеться шукати відповідь ще на цілий ряд серйозних питань, зокрема, як записати самі рівняння? Який вид модельного оператора еволюції, який у разі звичайних диференціальних рівнянь визначається правими частинами системи n диференціальних рівнянь першого порядку ? Дати обґрунтовані відповіді на ці питання, по суті справи, і є зміст розділу теорії динамічних систем , що розглядає проблему реконструкції динамічної системи за одномірними часовими рядами.

   Раніше вважалося, що для вивчення динаміки автоколивальної системи 
в термінах фазового простору необхідне знання всіх координат, 
які визначають її стан. Однак на початку 1980 - х років дане подання 
піддалося перегляду. Зокрема, в 1980р. була опублікована 
робота Н. Пакарда, в якій показано, що фазовий портрет динамічної 
системи може бути відновлений по скалярному тимчасовому ряду 
a_i, якщо в якості відсутніх координат вектора стану використовується 
той самий ряд a_i, взятий з деяким запізненням. У 1981р. була 
доведена теорема, яка стверджує, що за одномірною реалізацією a(t) динамічної системи, яка володіє атрактором А, що належить гладкому d - мірному різноманіттю, методом затримки можна отримати n - мірну реконструкцію А_R 
вихідного атрактора як безліч векторів в R_n при n ≥ 2d + 1 
(теорема Такенса ):

   Згідно з теоремою, відображення Λ_n: А → А_R є гладким і оберненим 
на А_R майже при кожній затримці τ (якщо N → ). 
Спробуємо розібратися у змісті теореми Такенса. Вона обгрунтовує 
введення у якості нових координат стану системи значень 
реалізації a(t), взятих через деякий інтервал часу τ:

   Оскільки на комп'ютері аналізується ряд значень змінної 
a(t) в дискретні моменти часу i∆t, реконструйована множина векторів 
також є дискретною (i∆t), а величина τ має вигляд τ = k∆t, де k - ціле число. Іншими словами, на практиці рівність (2) може 
бути переписано наступним чином:

де нижній індекс i відповідає моменту часу i∆t. 
Техніка реконструювання полягає у виборі значень затримки τ, 
розмірності простору вкладення n і у формуванні масиву векторів 
(i∆t). Передбачається, що повний час спостереження Т_obs = N∆t і кількість 
точок N досить великі, щоб по траєкторії можна було судити 
про найважливіші властивості даного нас атрактора. 
   Як приклад розглянемо рівняння моделі Лоренца:

при значеннях параметрів = 10, r = 28, b = 8/3, відповідних 
режиму динамічного хаосу. Проекція фазового портрету хаотичного 
режиму на площину (х,у) зображена на рис. 1.1. З часової залежності 
x(t) рівнянь (5), що розглядається в якості аналізованої 
реалізації, можна здійснити реконструкцію методом затримки (2) рис. 
1.1. Відповідно до теореми Такенса ми очікуємо, що по відновленому 
атрактору (див. рис.1.1) можуть бути обчислені такі 
характеристики аналізованого режиму динаміки (див. рис. 1.1), як 
фрактальні розмірності .

   Через роботу з кінцевим числом точок N необхідно ретельно вибирати 
параметр , оскільки якість реконструкції буде помітно відрізнятися 
при його варіації. З точки зору положень теорії затримка 
, може бути довільною. Проте абсолютно зрозуміло, що якщо , занадто 
мале (рис. 1.2), то i-та і i+1 координати точок фазової траєкторії 
практично не відрізняються один від одного. В цьому випадку атрактор, який реконструюється розташовується поблизу головної діагоналі простору вкладення («лінії ідентичності»). А цього допускати не можна в силу визначення: координати стану є незалежні змінні, однозначно визначають 
стан системи. З іншого боку, якщо час затримки дуже 
великий (рис. 1.2), координати виявляються некорельованими, і реконструйований атрактор не відображає істинної динаміки. На основі експериментів встановлено, що оцінка оптимального часу затримки 
може бути отримана з розрахунків автокореляційної функції () = 
= , яка для складних неперіодичних процесів буде 
спадаючою в часі . Значення , відповідне часу досягнення 
першого нуля функції (), використовується в експериментальних дослідженнях для оцінки затримки в (2) при введенні нових координат стану.

Рис. 1.1 Проекція фазового портрету хаотичного атрактора системи Лоренца, часова залежність координати x(t), реконструйований атрактор.

Рис. 1.2 Результат реконструкції  при малій затримці, великій затримці

   Припустимо, що в результаті експерименту отримані значення фізичної величини а, а тобто набір а_і   а(і∆t), і = 1, …N. Будемо вважати, що часовий ряд а_і породжується деякою динамічною системою з неперервним чи дискретним часом, представляючи собою дискретизовану з кроком ∆t одномірну проекцію фазової траєкторії. Ця траєкторія належить атрактору системи, розмірність якого дорівнює d. Згідно з Такенсом, задати вектор стану можна по методу (2).

   Спочатку необхідно визначити розмірність атрактора d. Існують різні варіанти її оцінки. Згідно строгим математичним результатам, 
для опису складної геометрії хаотичних атракторів доцільно 
розглядати розмірність Хаусдорфа, яка обчислюється таким 
чином. Передбачається, що аналізована множина S в просторі 
R_n покривається кубиками {B_i} з величиною ребра, що не перевищує 
деяке значення ε. При цьому кожна точка множини S повинна 
обов'язково потрапити в той чи інший кубик. Тоді міра Хаусдорфа l_δ вводиться 
наступним чином:

   Тут inf - мінімальне значення (нижня грань) по всіх можливих покриттях 
К (ε) множини S кубиками {B_i}; ׀Bi׀ - величина ребра кубика 
(׀B_i׀≤ε). Зазначена межа залежить від параметра δ. Розмірність Хаусдорфа 
d_H являє собою таке значення а, при якому величина 
l_δ (S) є кінцевою:

   Згідно цьому визначенню, d_H може приймати нецілі значення. 
У загальному випадку, якщо розмірність є нецілою, її називають 
фрактальною . Відповідно, об'єкти, які характеризуються нецілою розмірністю, 
називають фракталами. Наявність нецілої розмірності є типовою особливістю хаотичних атракторів. Поняття розмірності Хаусдорфа добре визначено з точки зору математики, але її надзвичайно складно вирахувати. Тому зазвичай використовують більш «практичні» визначення фрактальних розмірностей. 
Одним з таких «практичних» визначень є ємність ( або ємнісна 
розмірність D₀). Нехай S - деяка множина в просторі Rⁿ, 
яка покривається кубиками розміру ε. Якщо позначити через N(ε) число 
кубиків, необхідних для покриття всієї множини, то ємність являє 
собою максимум такого вигляду:

   По суті, ця величина характеризує, як змінюється число злементов 
покриття при зміні ε:

   Якщо в якості S розглядається єдина точка, то N (ε) = 1 і не 
залежить від ε:

   Якщо аналізується відрізок лінії довжини L, то

   Для поверхні площі Р:

   У всіх цих випадках ємність D₀ є цілим числом. В якості 
прикладу об'єкта з дробовою розмірністю D₀ ( фрактального об'єкта) розглянемо канторову множину. Процедура його побудови полягає в наступному. Береться відрізок одиничної довжини [0,1], розбивається на 3 рівні частини, і середня з них викидається. У результаті на першому кроці процедури побудови канторової множини ми отримуємо два відрізки [0,1/3] 
та [2/3,1] довжиною ε = 1/3 (рис. 1.3). На наступному кроці кожен з цих 
відрізків знову розбивається на 3 рівні частини, і знову викидається середня 
частина. Така процедура триває з усіма відрізками, які залишились. 
Якщо для покриття множини на деякому кроці k використовуються кубики 
з величиною ребра ε = 1/3^k, то необхідна кількість кубиків складе 
N(ε) = 2^k .

                                ε          N

1          1     __________________________

1/2       2     _________                _________

1/4       4     ____  ____                ____  ____

 1/8       8     __ __ __ __               __ __ __ __

Рис. 1.3 Процедура побудови канторової множини.

   Таким чином:

   Якщо говорити про геометрію даного об'єкта , то канторова множина є 
щось більше, ніж точка (для якої D₀ = 0), але щось менше, ніж 
інтервал ( D₀ = 1). На жаль, у багатьох випадках, що представляють практичний інтерес, визначення D₀ безпосередньо за формулою (8) часто ускладнюється 
дуже повільною збіжністю відношення lgN(ε)/lg(1/ε) до максимума 
ε→0 (якщо мова йде про розрахунок ємності об'єкта у фазовому просторі 
розмірності n > 2). Крім того, D₀ не залежить від імовірності відвідування 
тих чи інших областей фазового простору, тобто не враховує 
статистичні властивості потоку, зумовлені динамікою аналізованої 
системи. Тому на практиці замість ємності воліють обчислювати 
кореляційну розмірність D_c, яку можна легше і швидше оцінити 
чисельно. Для об'єктів з цілою розмірністю D_c = D₀. У більш загальному 
випадку D_c ≤ D₀.

   Для обчислення D_с використовують формулу:

де  – кореляційний інтеграл, ε - розмір 
комірки розбиття фазового простору, N - кількість точок , що використовуються 
для оцінки розмірності, v - функція Хевісайда. Для 
визначення D_c будують залежність lg С (ε,N) від lg ε і шукають на ній лінійну 
ділянку, нахил якої і визначає шукане значення розмірності. 
   Крім того, іноді аналізують залежність D_c(n) і збільшують n до 
тих пір, поки D_c не досягне насичення. Відомо, що при обчисленні D_c існують обмеження на величину ε. Якщо ε наближається до розмірів атрактора ε_max, то лінійна залежність lg С (ε,N) від lg ε пропадає, що пояснюється впливом границь атрактора, де число сусідів у кожної точки зазвичай менше , ніж у «середині». У максимумі, якщо ε = ε_max, то lg С (ε,N) = 1. З іншого боку, при 
зменшенні значення ε існує деяке ε_min, таке що для ε < ε_min 
структура атрактора залишається невирішеною. Як наслідок, знову порушується лінійна залежність lg С (ε,N) від lg ε. 
Однією з проблем при розрахунку розмірності є вибір величин N i Δt. Існують різні оцінки мінімальної кількості точок для правильного 
визначення D_c. Аргументи на користь тієї чи іншої оцінки злегка 
варіюються в різних дослідженнях , але всі вони засновані на припущеннях 
про однорідність атрактора. Атрактори в динамічних системах 
майже ніколи не бувають однорідними, проте ці оцінки корисні і дають, принаймні, загальне уявлення про можливості визначення розмірності за експериментальними даними. При розрахунку D_c можна виділити 3 важливі характеристики масиву даних: повний час спостереження Т_obs, число точок N і крок між ними Δt. Вони пов'язані співвідношенням Т_obs = NΔt, і їх слід розглядати разом, оскільки однієї характеристики недостатньо: велика Т_obs при малому N може бути настільки ж погано, як і мале Т_obs при великому N.    Можливість розрахунку кореляційної розмірності за даними тільки про одну траєкторію заснована на добре відомій властивості хаотичних атракторів: траєкторія, що проходить через будь-яку точку, протягом деякого часу блукає по атрактору, але потім ( через інтервал часу Т_R) вона повертається в ε – окружність цієї точки. Чим менше ε, тим більше має бути Т_R. При одному і тому ж ε величина Т_R зазвичай змінюється від однієї точки до іншої, проте можна ввести деякий середній час повернення. Щоб визначити D_c, точки атрактора повинні мати достатнє число «сусідів». Для різних точок число ε - сусідів 
буде відрізнятися, але передбачається, що ε_min відповідає ситуації, коли 
в середньому у точки атрактора існує близько одного сусіда всередині 
кулі радіуса ε_min. Відповідне Т_obs повинно бути таким, щоб для 
більшості точок траєкторія встигла повернутися в їх ε_min – окружність 1-2 
рази. Таким чином, якщо розглянути покриття атрактора кулями розміру 
ε_min (число яких дорівнює М), то більшість з них траєкторія 
відвідає 1 -2 рази. Для даного Т_obs існує деяка оптимальна кількість точок N, 
необхідна для того, щоб забезпечити дозвіл на масштабі ε_min (ця 
кількість має бути близькою до M ). Так як швидкість уздовж траєкторії 
змінюється, при однорідному розбитті траєкторії за часом t_i щільність 
точок у фазовому просторі однорідною не буде, але цим ефектом можна 
знехтувати. Якщо NМ, то вирішуваний масштаб буде обмежений 
вже величиною N замість Т_obs, а в разі NМ на малих масштабах 
(ε < ε_min) алгоритм буде вимірювати розмірність не атрактора, а самої 
траєкторії, якщо не вжити спеціальних застережних заходів. отже , 
щоб дозволити масштаб ε_min, необхідно NМ. 
Зазвичай поступають таким чином. Вибирається довільно мале 
значення розмірності простору вкладення n і обчислюють D_c по 
нахилу лінійної ділянки графіка С (ε,N) від lg ε. Потім збільшують 
n на одиницю і знову визначають D_c. Таким чином, аналізується 
залежність результатів розрахунку кореляційної розмірності від вибору 
простору вкладення. Цей прийом дозволяє зробити висновок про існування 
маломірної динаміки ( D_c < 4): при її наявності залежність D_c( n ) швидко досягає насичення і при подальшому збільшенні n не змінюється 
в межах точності обчислень. Якщо маломірна динаміка відсутня, 
то D_c збільшується із зростанням n. У цьому випадку при досить великих n 
можливо насичення, яке обумовлено фундаментальними обмеженнями 
на значення кореляційної розмірності, пов'язаними з кінцевою 
довжиною аналізованого часового ряду:

   Дана формула означає, що алгоритм розрахунку розмірності не може 
дати значення більше, ніж D_max при заданому числі точок N. Іншими 
словами, якщо r = 0.1 і N = 1000, то D_max ≤ 6; якщо N = 100000, 
то D_max ≤ 10. Наявність фундаментальних обмежень створює серйозні 
проблеми, якщо проводиться порівняння складних, але детермінованих режимів динаміки в системах з досить великим числом ступенів свободи 
і випадкових процесів. При вивченні динаміки маломірних систем 
таких проблем не виникає.

   Практична реалізація алгоритму розрахунку розмірності D_c припускає 
складання програми обчислення кореляційного інтеграла 
в широкому діапазоні по параметру ε і знаходження локальних нахилів 
Залежно lg С (ε,N) від lg ε. Володіння розмірності дозволить нам реконструювати атрактор методом (2), як було описано вище.

   Метод затримки Такенса є найбільш відомим, але не єдиним 
способом завдання вектора стану. Альтернативою йому служить 
так званий метод послідовного диференціювання, що має 
певні переваги при вирішенні завдання реконструкції математичної 
моделі. Ідея даного методу наступна. Нехай є часовий 
ряд а(iΔt) = ai, i = 1,. . . , N. Завдання вектора стану у фазовому 
просторі проводиться таким чином:

   Оскільки відомі значення a_i тільки в дискретні моменти часу 
iΔt, координати x_j вектора визначаються шляхом чисельного диференціювання вихідного часового ряду по наближених математичних 
формулах. Очевидно, що точність обчислення похідних буде 
визначатися найменшою величиною кроку дискретизації Δt. Недоліком методу 
є підвищена чутливість до шуму, що обмежує його 
застосування для просторів вкладення великої розмірності (принаймні, без проведення попередньої процедури фільтрації).

   На даний момент розроблений ще ряд способів задання вектора 
стану, наприклад, метод інтегральної фільтрації:

   При його використанні  забезпечується згладжування вихідної  реалізації 
і фільтрація шуму. Різновидом даного методу є метод ковзаючого 
середнього:

де k - постійний параметр. Даний метод також дозволяє проводити 
згладжування сигналу. Іноді для реконструкції атрактора використовується 
відразу кілька методів (для різних координат вектора стану).

   Відзначимо, що при розрахунку розмірності зазвичай обмежуються методом затримки, інші варіанти відновлення траєкторії у фазовому просторі 
застосовуються в більш складних завданнях, наприклад, при побудові 
рівнянь руху по часовому ряду.

Список використаної літератури

1. Анищенко В.С. Лекции по нелинейной динамике: учебное пособие для вузов// Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. – М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»., 2011. – 516с.
2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах// Анищенко В.С. – М.: УРСС, 2009. – 324с.
3. Кузнецов А.П. Нелинейные колебания. Учебное пособие для вузов// Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. – М.: Физматлит, 2002. – 457с.
4. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны// Ланда П.С. – М.: Наука, 1997. – 145с.
5. Малинецкий Г.Г. Хаос, структуры, вычислительный експеримент// Малинецкий Г.Г. – М.: УРСС, 2001. – 238с.
6. Мун Ф. Хаотические колебания// Мун Ф. – М.: Мир, 1990. – 453с.
7. Стратонович Р. Л. Случайные процессы в динамических системах// Стратонович Р.Л. – М. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. – 345с.
8. Табор М. Хаос і інтегрованість в нелінійній динаміці// Табор М. - М.: Едіторіал УРСС, 2001. - 318с.
9. Данилов Ю. А. Лекції з нелінійної динаміки// Данилов Ю.А. - М.: Постмаркет, 2001. - 184с.