Тонкое плоское кольцо, внутренний и внешний радиусы которого равны 20 и 40 см, соответственно, равномерно заряжено до 0.6 мкКл. Определить потенциал поля в точке, лежащей на перпендикуляре, проведенном через центр кольца, и отстоящей на 25 см от центра этого кольца. (Решение → 38947)

Заказ №38691

Тонкое плоское кольцо, внутренний и внешний радиусы которого равны 20 и 40 см, соответственно, равномерно заряжено до 0.6 мкКл. Определить потенциал поля в точке, лежащей на перпендикуляре, проведенном через центр кольца, и отстоящей на 25 см от центра этого кольца. Постройте график модуля вектора напряженности поля E(z). Дано

Решение

R1 = 20 см = 0,2 м R2 = 40 см = 0,4 м r = 25 см = 0,25 м Найти: Для решения задачи обратимся к рис.1, на котором изображено кольцо равномерно заряженное и ось ОZ. Для определения напряжённости E  и потенциала  в некоторой точке А на оси ОZ, координата которой z, разобьём кольцо конечной ширины на бесконечно тонкие кольца ширины dr и радиусы r как показано на рис.1. 21 R₁ R₂ dr E A Z • z O → рис.1 Бесконечно тонкое кольцо радиуса r можно представить как совокупность точечных противоположно лежащих зарядов (элементов кольца) равной величины: dq1  dq2  dq как показано на рис.2. Эти точечные заряды создают напряженность E1 d  и E2 d  в точке А, направленные по линиям, соединяющим заряды с точкой А. dr dE2z A Z • z O → dq₁ dq₂ → r dE1 → dE2 → Y dE2y → dE1y → dE1z → dEA → рис.2 Для анализа проведём через точку А ось Y перпендикулярно оси ОZ. Как видно из рис.2, проекции dE1y , y dE2 векторов E1 d  и E2 d  равны, но имеют разные знаки. Следовательно, элементы бесконечно тонкого кольца dq1 и dq2 создают в точке А вектор напряжённости EA d  направленный по оси ОZ. По принципу суперпозиции проекция вектора EA d  на ось ОZ равна:   cos 4 ( ) 1 2 2 2 0 1 2        r z dq dEA dE z dE z где  - угол между векторами E1 d  , E2 d  и осью ОZ, 2 2 cos r z z    . 2 3 2 2 0 2 2 2 2 0 ( ) 4 2 4 ( ) 1 2 r z dq z r z z r z dq dEA             , (1) Вектор напряженности dE  от всего бесконечно тонкого кольца будет направлен в точке А вдоль оси ОZ. По принципу суперпозиций проекция вектора dE  на ось ОZ определяется выражением: 2 3 2 2 0 0 0 2 3 2 2 0 0 2 3 2 2 0 0 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 4 2 0 0 r z z q r z z q dq r z z dE dE q q A                   , (2) 2 3 2 2 0 2 (r z ) r z dr dE          где q0  r dr - заряд бесконечно тонкого кольца радиуса r .