Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке с шагом. 3

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке с шагом h=0.2: y'=ft,y=yt-1+t2-1, y-1=5 а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка точности с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближённых решений.

А)
Приближенное решение в узлах ti, которое обозначим через yi, определяется по формуле
yi+1=yi+hfti,yi,
ti=1+ih, i=0,1,…,5
Сведём вычисления в таблицу:
i ti
fti,yi
yi
0 -1 -2,5 5
1 -0,8 -2,86 4,5
2 -0,6 -3,095 3,928
3 -0,4 -3,20357 3,309
4 -0,2 -3,18357 2,668286
5 0
2,031571
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка точности (h=0.2)
yi+1=yi+∆yi, i=0,1,…, 5
∆yi=12K1i+K2i
K1i=hfxi,yi
K2i=hfxi+h,yi+K1i
Сведём вычисления в таблицу:
i ti
fti,yi
∆yi
K1i
K2i
yi
0 -1 -2,5 -0,536 -0,5 -0,572 5
1 -0,8 -2,84 -0,5915 -0,568 -0,615 4,464
2 -0,6 -3,06031 -0,62292 -0,61206 -0,63378 3,8725
3 -0,4 -3,16113 -0,63023 -0,63223 -0,62823 3,24958
4 -0,2 -3,1428 -0,61336 -0,62856 -0,59816 2,619355
5 0
2,005995
Метод Рунге-Кутта второго порядка точности (h=0.1)
i ti
fti,yi
∆yi
K1i
K2i
y*i
0 -1 -2,5 -0,2595 -0,25 -0,269 5
1 -0,9 -2,685 -0,27647 -0,2685 -0,28444 4,7405
2 -0,8 -2,84002 -0,29044 -0,284 -0,29688 4,464028
3 -0,7 -2,96505 -0,30141 -0,29651 -0,30632 4,173585
4 -0,6 -3,06011 -0,30938 -0,30601 -0,31274 3,872174
5 -0,5 -3,1252 -0,31434 -0,31252 -0,31616 3,562796
6 -0,4 -3,16033 -0,3163 -0,31603 -0,31657 3,248455
7 -0,3 -3,1655 -0,31526 -0,31655 -0,31397 2,932153
8 -0,2 -3,14075 -0,31121 -0,31407 -0,30835 2,616895
9 -0,1 -3,08608 -0,30416 -0,30861 -0,29971 2,305684
10 0 -3,00153 -0,2941 -0,30015 -0,28804 2,001526
Решим аналитически:
y'-yt-1=t2-1, y-1=5
Имеем линейное дифференциальное уравнение.
y=uv, y'=u'v+uv'
u'v+uv'-uv t-1=t2-1
u'v+uv'- vt-1=t2-1
v'- vt-1=0⟹dvdt= vt-1⟹dvv=dtt-1
lnv=lnt-1⟹v=t-1
u't-1=t2-1⟹u'=t+1
u=t+1dt=t22+t+C
y=t-1t22+t+C
y-1=5⟹-212-1+C=5,C=-2
Точное решение:
yt=t-1t22+t-2
Сравним все решения:
i ti
yЭ
Р-К: yh
Р-К: yh/2
yh-yh/2
yt
0 -1 5 5 5 0 5
1 -0,9
4,7405
4,7405
2 -0,8 4,5 4,464 4,464028 0,00003 4,464
3 -0,7
4,173585
4,1735
4 -0,6 3,928 3,8725 3,872174 0,00033 3,872
5 -0,5
3,562796
3,5625
6 -0,4 3,309 3,24958 3,248455 0,00113 3,248
7 -0,3
2,932153
2,9315
8 -0,2 2,668286 2,619355 2,616895 0,00246 2,616
9 -0,1
2,305684
2,3045
10 0 2,031571 2,005995 2,001526 0,00447 2
Построим график:
Правило Рунге практической оценки погрешности решения для численного метода второго порядка имеет вид
yt-yh/2=13yh-yh/2
Максимальная погрешность при t=0 для h = 0.1 не превышает
εрунге=0.004473≈0.0015
Это примерно соответствует практической погрешности в точке t=0