Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [-1;0] с

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [-1;0] с шагом h=0.2: а) методом Эйлера б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенного решений. y'=yt-1+3(t-1)e3ty-1=-2e-3

А) Метод Эйлера.
yi+1=yi+h∙fti, yi=yi+h∙yiti-1+3(ti-1)e3ti
Вычисления сведем в таблицу:
i ti
yi
f(ti;yi) hf(ti;yi) yi(точное)
0 -1,0 -0,0996 -0,2489 -0,0498 -0,0996
1 -0,8 -0,1494 -0,4069 -0,0814 -0,1633
2 -0,6 -0,2307 -0,6492 -0,1298 -0,2645
3 -0,4 -0,3606 -1,0075 -0,2015 -0,4217
4 -0,2 -0,5621 -1,5073 -0,3015 -0,6586
5 0,0 -0,8635 -2,1365 -0,4273 -1,0000
Точное решение уравнения:
y'=yt-1+3t-1e3t
Сделаем замену y=uv, y'=u'v+uv'
u'v+u(v'-vt-1)=3t-1e3t
v'-vt-1=0
v=t-1
u'(t-1)=3t-1e3t
u=e3t+C
y=(e3t+C)(t-1)
y=(t-1)e3t+C(t-1)
Из условия y-1=-2e-3, C=0
Тогда y=(t-1)e3t
Построим график точного и приближенного решения.
б) Метод Рунге-Кутты 2 порядка.
yi+1=yi+h2∙fti, yi+fti+1, yi+h∙fti, yi
Результаты вычислений сведем в таблицу:
h=0.2
i ti
yi
yi(точное)
0 -1 -0,0996 -0,0996
1 -0,8 -0,1652 -0,1633
2 -0,6 -0,2690 -0,2645
3 -0,4 -0,4299 -0,4217
4 -0,2 -0,6715 -0,6586
5 0 -1,0176 -1,0000
h=0.1
i ti
yi
yi(точное)
0 -1 -0,0996 -0,0996
1 -0,9 -0,1279 -0,1277
2 -0,8 -0,1638 -0,1633
3 -0,7 -0,2089 -0,2082
4 -0,6 -0,2656 -0,2645
5 -0,5 -0,3362 -0,3347
6 -0,4 -0,4237 -0,4217
7 -0,3 -0,5311 -0,5285
8 -0,2 -0,6617 -0,6586
9 -0,1 -0,8186 -0,8149
10 0,0 -1,0042 -1,0000
Оценим погрешность приближенных решений по правилу Рунге:
ε=maxyih-y2ih/22p-1
где p- порядок точности метода, h=0.2
p=2
ε=max y0h-y0h2y1h-y2h2y2h-y4h2y3h-y6h2y4h-y8h2y5h-y10h2 3=max-0,0996+0,0996=0-0,1652+0,1638=-0,0014-0,2690+0,2656=-0,0034-0,4299+0,4237=-0,0062-0,6715+0,6617=-0,0098-1,0176+1,0042=-0,01343≈0,0045
Построим график точного и приближенного решения.