Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [0;1] с. 3

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [0;1] с шагом h=0.2: а) методом Эйлера б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенного решений. y'=-ytgt-sin2ty0=2

А) Метод Эйлера.
yi+1=yi+h∙fti, yi=yi+h∙-yitgti-sin2ti
Вычисления сведем в таблицу:
i
ti
yi
f(ti;yi) hf(ti;yi) yi(точное)
0 0,0 2,0000 0,0000 0,0000 2,0000
1 0,2 2,0000 -0,7948 -0,1590 1,9211
2 0,4 1,8410 -1,4957 -0,2991 1,6967
3 0,6 1,5419 -1,9869 -0,3974 1,3624
4 0,8 1,1445 -2,1780 -0,4356 0,9708
5 1,0 0,7089 -2,0134 -0,4027 0,5839
Точное решение уравнения:
y'=-ytgt-sin2t
Сделаем замену y=uv, y'=u'v+uv'
u'v+u(v'-vtgt)=-sin2t
uv'-vtgt=0 u'v=-sin2t
v=cost
u'=-2sint
u=2cost+C
y=2cost+Ccost=2cos2t+Ccost
Из условия y0=2, C=0
Тогда y=2cos2t
Построим график точного и приближенного решения.
б) Метод Рунге-Кутты 2 порядка.
yi+1=yi+h2∙fti, yi+fti+1, yi+h∙fti, yi
Вычисления сведем в таблицу:
h=0.2
i
xi
yi
yi(точное)
0 0 2,0000 2,0000
1 0,2 1,9205 1,9211
2 0,4 1,6963 1,6967
3 0,6 1,3632 1,3624
4 0,8 0,9748 0,9708
5 1 0,5941 0,5839
h=0.1
i
xi
yi
yi(точное)
0 0 2,0000 2,0000
1 0,1 1,9800 1,9801
2 0,2 1,9210 1,9211
3 0,3 1,8253 1,8253
4 0,4 1,6968 1,6967
5 0,5 1,5406 1,5403
6 0,6 1,3629 1,3624
7 0,7 1,1708 1,1700
8 0,8 0,9722 0,9708
9 0,9 0,7748 0,7728
10 1 0,5867 0,5839
Оценим погрешность приближенных решений по правилу Рунге:
ε=maxyih-y2ih/22p-1
где p- порядок точности метода, h=0.2
p=2
ε=max y0h-y0h2y1h-y2h2y2h-y4h2y3h-y6h2y4h-y8h2y5h-y10h2 22-1=max y0h-y0h2y1h-y2h2y2h-y4h2y3h-y6h2y4h-y8h2y5h-y10h2 3=max 2-21,9205-1,92101,6963-1,69681,3632-1,36290,9748-0,97220,5941-0,58673=max 0-0,0005-0,00050,00030,00270,0075 3≈
≈0,0025
Построим график точного и приближенного решения.