Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [e;e+1] с

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [e;e+1] с шагом h=0.2: а) методом Эйлера б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное

Решение.
а) Метод Эйлера.
yi+1=yi+h∙fti, yi=yi+h∙yitilnti+lntiti
Вычисления сведем в таблицу:
i ti yi f(ti;yi) hf(ti;yi) yi(точное)
0 2,7 1,0000 0,7358 0,1472 1,0000
1 2,9 1,1472 0,7340 0,1468 1,1470
2 3,1 1,2940 0,7296 0,1459 1,2934
3 3,3 1,4399 0,7232 0,1446 1,4387
4 3,5 1,5845 0,7156 0,1431 1,5825
5 3,7 1,7276 0,7070 0,1414 1,7247
Точное решение уравнения:
y'=ytlnt+lntt
Сделаем замену y=uv, y'=u'v+uv'
u'v+u(v'-vtlnt)=lntt
v'-vtlnt=0
v=lnt
u'lnt=lntt
u=lnt+C
y=(lnt+C)lnt
y=(lnt)2+Clnt
Из условия ye=1, C=0
Тогда y=(lnt)2
Построим график точного и приближенного решения.
б) Метод Рунге-Кутты 2 порядка.
yi+1=yi+h2∙fti, yi+fti+1, yi+h∙fti, yi
Результаты вычислений сведем в таблицу:
h=0.2
i ti yi yi(точное)
0 2,718282 1,0000 1,0000
1 2,918282 1,1470 1,1470
2 3,118282 1,2933 1,2934
3 3,318282 1,4386 1,4387
4 3,518282 1,5824 1,5825
5 3,718282 1,7246 1,7247
h=0.1
i ti yi yi(точное)
0 2,718282 1,0000 1,0000
1 2,818282 1,0736 1,0736
2 2,918282 1,1470 1,1470
3 3,018282 1,2203 1,2203
4 3,118282 1,2934 1,2934
5 3,218282 1,3662 1,3662
6 3,318282 1,4386 1,4387
7 3,418282 1,5108 1,5108
8 3,518282 1,5825 1,5825
9 3,618282 1,6538 1,6538
10 3,718282 1,7246 1,7247
Оценим погрешность приближенных решений по правилу Рунге:
ε=maxyih-y2ih/22p-1
где p- порядок точности метода, h=0.2
p=2
ε=max y0h-y0h2y1h-y2h2y2h-y4h2y3h-y6h2y4h-y8h2y5h-y10h2 3=max1-1=01.147-1.147=01.2933-1.2934=-0,00011.4386-1.4386=01.5824-1.5825=-0,00011.7246-1.7246=03≈2.6∙10-5
Построим график точного и приближенного решения.