Дана кривая g:r=et+1;3et-2;lnt+1 и точка t0=0. 1. Установить параметризацию кривой. 2. Найти уравнения: касательной прямой, прямой

Дана кривая g:r=et+1;3et-2;lnt+1 и точка t0=0. 1. Установить параметризацию кривой. 2. Найти уравнения: касательной прямой, прямой главной нормали, прямой бинормали в точке t0. 3. Найти уравнения: соприкасающейся плоскости, нормальной плоскости, спрямляющей плоскости в точке t0. 4. Найти тройку базисных векторов в точке t0. 5. Найти кривизну кривой в точке t0. 6. Установить, при каком t кривизна равна 0. 7. Найти кручение кривой в точке t0.

1. Кривая, собственно, уже задана радиус-вектором:
r=et+1;3et-2;lnt+1
Потому укажем только область аргумента, на которой эта параметризация имеет место быть: поскольку rz=lnt+1, то t>0. Поэтому параметризация кривой g:
r=et+1;3et-2;lnt+1,t>0
Отмечаем, что заданная точка t0=0 не принадлежит кривой g, поэтому, предполагая опечатку в условии, в дальнейших расчетах примем t0=1.
2. Найдем координаты векторов r,r.
Находим частные производные:
- первого порядка:
xt=etyt=3etzt=1t
- второго порядка:
xt=etyt=3etzt=-1t2
Тогда:
rt=et;3et;1t
rt=et;3et;-1t2
Находим координаты направляющего вектора касательной:
T=r=et;3et;1t
Находим координаты направляющего вектора бинормали:
B=r,r=ijkxyzxyz=ijket3et1tet3et-1t2=
=3et1t3et-1t2i-et1tet-1t2j+et3etet3etk=
=-3ett21+ti+ett21+tj+0k
Таким образом, вектор B имеет координаты:
B=-3ett21+t; ett21+t;0
Находим координаты вектора главной нормали:
N=r,r,r=ijk-3ett21+tett21+t0et3et1t=
=ett21+t03et1ti--3ett21+t0et1tj+-3ett21+tett21+tet3etk=
=ett31+ti+3ett31+tj-10e2tt21+tk=
Таким образом, вектор N имеет координаты:
N=ett31+t;3ett31+t;-10e2tt21+t
Уравнение касательной находим по формуле в точке t0:
t:x-x0T1t=t0=y-y0T2t=t0=z-z0T3t=t0
Т.е.:
t:x-e1+1e1=y-3e1-23e1=z-1
Аналогично уравнение бинормали:
b:x-x0B1t=t0=y-y0B2t=t0=z-z0B3t=t0
Т.е.:
b:x-e1+1-6e1=y-3e1-22e1=z-10
И уравнение главной нормали:
n:x-x0N1t=t0=y-y0N2t=t0=z-z0N3t=t0
Т.е.:
n:x-e1+12e1=y-3e1-26e1=z-1-20e2
3