Дана круглая пластина постоянной толщины, имеющая жесткую заделку по внешнему контуру и нагружена равномерно

Дана круглая пластина постоянной толщины, имеющая жесткую заделку по внешнему контуру и нагружена равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 1). Исходные данные приведены в таблице 1. Материал пластины – сталь. Механические характеристики материала: модуль упругости Е = 200 ГПа, коэффициент Пуассона ν = 0.3, допустимое напряжение [σ] = 120 МПа, допустимый прогиб [W] = 10 мм. Требуется определить функции и значения прогибов φ = φ(r), радиального момента Mr = Mr(r), окружного момента Mt = Mt(r), функции прогиба W = W(r). Построить их графики по радиусу r с шагом 0,5. Определить максимальный прогиб, опасное сечение в пластине. Оценить ее прочность и жесткость. Таблица 1. Исходные данные. Вариант q, кН/м2 R, м h, м 4 -1,5 4,0 0,2 Рис. 1

С учетом знака, распределенная нагрузка направлена сверху вниз, как показано на рис. 1.
Проверим условие, соотношение толщины и радиуса для сплошной пластины: h < R/3;
0,2 м < 4 м / 3 = 1,333 м
Условие соблюдается, следовательно можно применять линейную теорию осесимметричного изгиба круглой пластины.
Уравнение углов наклона нормалей к серединой плоскости круглой пластинки с защемленным краем и равномерно распределенной нагрузкой выглядит следующим образом:
Вычислим цилиндрическую жесткость пластинки:
Окончательно запишем уравнение углов наклона нормалей к серединой плоскости пластинки:

Определим функции радиального и окружного момента:
Определим функцию прогиба пластинки:
Построим эпюры найденных функции по радиусу при помощи Excel с шагом 0,5 м

0 0 0 1.952 1.952
0.5 -1.2696E-06 5.03843E-06 1.8745 1.9075
1 -4.95845E-06 0.000009597 1.642 1.774
1.5 -1.07067E-05 1.31959E-05 1.2545 1.5515
2 -1.79144E-05 1.53552E-05 0.712 1.24
2.5 -2.5742E-05 1.55951E-05 0.0145 0.8395
3 -3.31097E-05 1.34358E-05 -0.838 0.35
3.5 -3.86979E-05 8.39738E-06 -1.8455 -0.2285
4 -4.09472E-05 0 -3.008 -0.896
Максимальный прогиб находится в центре пластинки и равен:
Проверим жесткость пластинки исходя из условия: , так как максимальный прогиб удовлетворяет данному условию, то условие жесткости соблюдается