Дана плотность вероятности fx непрерывной случайной величины X, имеющая две ненулевые составляющие формулы. Требуется: 1) проверить

Дана плотность вероятности fx непрерывной случайной величины X, имеющая две ненулевые составляющие формулы. Требуется: 1) проверить свойство -∞∞fxdx=1 2) построить график fx; 3) найти функцию распределения Fx; 4) найти Pα≤X≤β для данных α=-1; β=1,5; 5) найти М(Х), D(X), σX. fx=0, x≤0x, 0<x≤1;-x+2, 1<x≤2;0, x>2.

1.
-∞∞fxdx=-∞00dx+01xdx+12-x+2dx+0∞0dx=x2201+-x22+2x12=
=12-2+4+12-2=1
Таким образом, свойство 2 плотности вероятности для заданной fx выполняется.
fx может считаться плотностью вероятности, ибо fx>0, в чем убедимся при построении кривой распределения.
Рис. 1.
2. График fx состоит из четырех участков, задаваемых разными уравнениями:
а) при x≤0 y=0, т. е. нулевая постоянная;
б) при 0<x≤1 y=x- прямая;
в) при 1<x≤2 y=-x+2- прямая;
г) при х x>2 y=0, т. е. опять нулевая постоянная.
2832265201105 x≤0
x 0 1 2 x
x≤0
x 0 1 2 x
Плотность вероятности, изображена на рис

. 1. Площадь под кривой равна единице.
77190104470 x≤0 0<x≤1 1<x≤2 x>2
0 1 2 x
x≤0 0<x≤1 1<x≤2 x>2
0 1 2 x
Рис 2. Рис 3.
3. Находим F(x)=-∞xf(x)dx. Строим схему основных положений точки х (рис. 2).
Четыре положения точки х, соответствующие разбиению оси абсцисс на интервалы, дадут четыре формулы:
a) случай x≤0. Интегрируем на промежутке, заштрихованном на рис. 3, и имеем
F(x)=-∞x0dx=0
б) случай 0<x≤1. Получаем сумму двух интегралов (рис. 4):
Fx=-∞00dx+0xx dx=x220x=x22
280699596136 1<x≤2
0 1 x 2 x
1<x≤2
0 1 x 2 x
-7974421067690<x≤1
0 x 1 2 x
0<x≤1
0 x 1 2 x
119253011601500
Рис 4